Программа дисциплины «Нелинейные задачи математической физики

Ссылка на резервное размещение материала

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Прикладной математики и кибернетики

Программа дисциплины «Нелинейные задачи математической физики»

для специальности 230401.65 «Прикладная математика»

Авторы программы:

, д. ф.-м. н., профессор, *****@***ru.

Одобрена на заседании кафедры «Прикладная математика» 29 июня 2012 г.

Зав. кафедрой

Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2012 г

Председатель [Введите ]

Утверждена УС факультета Прикладной математики и кибернетики «___»___________2012 г.

Ученый секретарь [Введите ] ________________________ [подпись]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 230401.65 «Прикладная математика», обучающихся по специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», изучающих дисциплину «Нелинейные задачи математической физики».

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС 657100 Прикладная математика.

·  Образовательной программой 230401.65 «Прикладная математика».

·  Рабочим учебным планом университета по специальности 230401.65 «Прикладная математика», специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», утвержденным в 2012 г.

Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Нелинейные задачи математической физики» является знакомство с основными типами решений нелинейных уравнений и методами их конструктивного исследования.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать:

- основные типы решений нелинейных уравнений;

- свойства уравнений, приводящие к тому или иному типу решений;

- определения обобщенных решений;

- связь между асимтотиками и решениями предельных задач.

Уметь:

-строить осциллирующие и стабилизирующиеся асимптотические решения;

-строить решения, описывающие взаимодействие нелинейных волн.

Иметь навыки исследования нелинейных математических моделей.

Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач».

Для специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач» настоящая дисциплина является базовой.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

·  «Математический анализ».

·  «Дифференциальные уравнения».

·  «Уравнения с частными производными».

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны:

·  знать и уметь использовать основные разделы математического анализа;

·  владеть навыками решения и анализа основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений;

·  знать основы функционального анализа.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  "Дифференциальные уравнения" (из цикла дисциплин специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач»);

·  "Математические модели наноструктур".

Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Метод ВКБ с точки зрения метода Уизема на примере линейного уравнения Шредингера с малым параметром.	8	2		2	4
2	Метод Уизема на примере нелинейного волнового уравнения (Sin - Гордона)	12	4		4	4
3	Метод Маслова - Уизема построения стабилизирующихся асимптотических решений на примере уравнения Кортевега-де Фриза	13	4		4	5
4.	Введение в теорию гиперболических законов сохранения	9	2		2	5
5.	Вязкая регуляризация гиперболических законов сохранения. Построение асимптотических решений типа ударных волн.	19	5		5	9
6	Обобщенные функции: сходимость в слабом смысле, дифференцирование по параметру. Малые в слабом смысле величины.	7	2		2	3
7	Аппроксимации обобщенных функций гладкими, моментные разложения	5	1		1	3
8	Асимптотитические алгебры обобщенных функций	6	1		1	4
9	Слабые асимптотические решения на примере законов сохранения	8	2		2	4
10	Слабая асимптотика взаимодествия ударных волн для одномерного скалярного закона сохранения	12	4		4	4
11	Образование скачка в результате взаимодействия слабых особенностей. Слабая асимптотика распада разрыва	7	2		2	3
12	Образование разрыва на подмногообразии коразмерности 1	7	2		2	3
13	Слабая асимптотика взаимодействия солитонов в уравнении типа КдФ	12	3		3	6

Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры **
1семестр	2 семестр
Текущий	Контрольная работа	9-я неделя		Письменная работа на 60 минут
Домашнее задание	10-я – 11-я недели		Самостоятельная работа, выполняется в течение двух недель.
Курсовая работа	12-я – 16-я недели		Самостоятельная работа, выполняемая в течение четырех недель, с последующей защитой результатов работы.
Домашнее задание		12-я – 13-я недели	Самостоятельная работа, выполняется в течение двух недель.
Домашнее задание		12-я – 13-я недели	Самостоятельная работа, выполняется в течение двух недель.
Промежу­точный	Зачет по курсовой работе	В конце семестра		Собеседование в устной форме
Итоговый	Экзамен		В конце семестра	Устный экзамен.

1.1  Критерии оценки знаний, навыков

Оценки по всем формам контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

1.2  Порядок формирования оценок по дисциплине
Сдача студентом экзамена оценивается по десятибалльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене, а также с учетом результатов защиты курсовой работы.

Содержание дисциплины

7семестр

№ недели	Тема лекции	Тема практических занятий	Литература (по списку из раздела 9)
1	Метод ВКБ с точки зрения метода Уизема на примере линейного уравнения Шредингера с малым параметром	Примеры асимптотических разложений	1 (глава 1)
2	Уравнение Гамильтона-Якоби как условие разрешимости эталонного уравнения. Уравнение переноса как условие разрешимости уравнения для поправки.	Задача Коши для линейного волнового уравнения	1,2
3	Метод Уизема на примере нелинейного волнового уравнения (Sin - Гордона)	Уравнение Ньютона в случае квадратичного потенциала..	2
4	Вывод эталонного уравнения и условий его разрешимости	Расцепление условий разрешимости для эталонного уравнения	2
5	Уравнение для поправки в случае одномерного коядра	Построение решения уравнения Sin-Gordona	2.5
6	Уравнение для поправки в случае двумерного коядра	Построение решения уравнения Sin-Gordona	2.5
7	Метод Маслова - Уизема для уравнения Кортевега-де Фриза. Основные свойства стабилизирующихся асимптотических решений.	Примеры аддитивных и мультипликативных асимптотик	3
8	Вывод и исследование эталонного уравнения	Эталонное уравнение для уравнений типа КдФ с выпуклой нелинейностью.	5
9	Вывод и исследование уравнений для поправки.	Уравнений для поправки для уравнений типа КдФ с выпуклой нелинейностью.	5
10	Двухсолитонное асимптотическое решение до взаимодействия	Уравнение типа КдФ с малой правой частью.	5
11	Обощенные решения законов сохранения. Интегральное тождество, вывод условий на скачке.	Квадратичный закон сохранения	1,3
12	Построение разрывных решений методом характеристик. Условия разрешимости.	Примеры решения задачи Коши
13	Уравнение с малым параметром Бюргерса, априорные оценки решения.	Замена Хопфа-Коула, примеры построения решений	1 (глава 3)
14	Построение асимптотических решений типа ударных волн. Вывод эталонного уравнения и условий его разрешимости.	Замена Хопфа-Коула, примеры построения решений	2
15	Интегрирование эталонного уравнения.	Решение эталонного уравнения в случае выпуклой нелинейности	2
16.	Вывод уравнения для поправки и анализ его разрешимости	Интегральное представление для решения уравнения для поправки	2
17	Сшивание решений в и вне окрестности разрыва	Интегральное представление для решения уравнения для поправки	2

8 семестр

№ недели	Тема лекции	Тема практических занятий	Литература (по списку из раздела 9)
1-2	Обобщенные функции: сходимость в слабом смысле, дифференцирование по параметру. Малые в слабом смысле величины.	Примеры обобщенных функций и их свойств. Пример Шварца неассоциативности умножения.	4
3	Аппроксимации обобщенных функций гладкими, моментные разложения	Примеры обобщенных функций и их аппроксимаций. Разложения аппроксимаций в асимптотические ряды	4
4	Асимптотические алгебры обобщенных функций	Алгебры гармонических аппроксимаций.	5
5-6	Слабые асимптотические решения на примере законов сохранения в случае скачков постоянной величины	Построение решения в случае общего начального условия	5
7-10	Слабая асимптотика взаимодействия ударных волн для одномерного скалярного закона сохранения.	Вывод условий на скачке с помощью интегрального тождества. Взаимодействие на переменном фоне.	3
11-12	Образование скачка в результате взаимодействия слабых особенностей. Слабая асимптотика распада разрыва	Построение решения в случае общего начального условия	3
13-14	Образование разрыва на подмногообразии коразмерности 1	Решение уравнения для функции, описывающей распад разрыва.	3
15-17	Слабая асимптотика взаимодействия солитонов в уравнении типа КдФ: построение анзатца, вывод основных уравнений, изучение их свойств и асимптотик,	Сравнение анзатца асимптотического решения с точной формулой для уравнения КдФ. Сравнение уравнений, описывающих решение в интегрируемом и неинтегрируемом случае.	5

Образовательные технологии

Рекомендуемые образовательные технологии:

– чтение лекций,

– проведение практических занятий,

- проведение контрольной работы,

- консультирование по вопросам выполнения курсовой работы,

- защита курсовой работы,

- проведение экзамена

Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

1.3  Тематика заданий текущего контроля

1-ая домашняя работа:

Вариант 1. Вывести уравнения, описывающие осциллирующее решение нелинейного волнового уравнения с любой степенной точностью.

Вариант 2. Вывести уравнения, описывающие решение типа ударной волны для уравнения Бюргерса с любой степенной точностью.

2-ая домашняя работа:

Построить решение, описывающее образование скачка для одномерного скалярно закона сохранения с выпуклой нелинейностью.

1.4  Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу:

Метод Уизема для линейного уравнения Шредингера. Метод Уизема для нелинейного волнового уравнения. Решение эталонного уравнения. Решение уравнения для следующего приближения, случай одномерного коядра. Решение уравнения для следующего приближения, случай двумерного коядра. Стабилизирующиеся асимптотические решения, основные свойства. Вывод эталонного уравнения для уравнения Бюргерса. Условия его разрешимости. Вывод уравнения для поправки и его разрешимость. Сшивание и решение в целом. Обобщенные функции: дифференцирование, дифференцирование по параметру,

регуляризация, малость в слабом смысле.

Асимптотические алгебры обобщенных функции с одноточечным и многоточечным сингулярным носителем. Слабое асимптотическое решение уравнения Хопфа. Слабая асимптотика взаимодействия ударных волн. Слабая асимптотика взаимодействия слабых разрывов, образование скачка. Образование скачка в многомерном случае. Анзатц для слабого асимптотического решения, описывающего взаимодействие солитонов. Слабая асимптотика взаимодействия солитонов. Отличие интегрируемого случая от неинтегрируемого.

1.5  Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

По желанию автора программы, приводятся примеры билетов с вопросами и задачами, заданий для зачета или экзамена, тренировочные тесты по дисциплине. ???

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

1.6  Базовый учебник

Дж. Уизем. Нелинейные волны, М., Мир, 1969

1.7  Основная литература

1.. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных

уравнений, М., Наука, 1987

2., Асимптотические методы и теория возмущений, М., Наука, 1988.

3. , , Обобщенные функции и действия над ними, вып.1,

М., Наука, 1970

1.8  Дополнительная литература

Danilov, V. G.; Omelʹyanov, G. A.; Shelkovich, V. M. Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves. Asymptotic methods for wave and quantum problems, 33–163, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 208, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003.

Материально-техническое обеспечение дисциплины

Не используется.