Эталон ответов по математики 11 кл

Эталон ответов по математики 11 кл.

1. Решим неравенство методом интервалов:

1.  Разложим на множители числитель (вынесем за скобки x), получим

2.  Найдем нули числителя, т. е,

или ,

x=4

Нули числителя равны 0 и 4

3.  Нули числителя 0 и 4 отмечаем на координатной оси точками - эти числа являются решениями данного неравенства.

4.  Найдем значение x при котором знаменатель обращается в нуль,

Нуль знаменателя отметим крестиком на координатной оси.

5.  Определим и расставим знаки. Как определить знаки? Отметили на координатной оси точки 0, 4, В итоге у нас получилось 4 интервала, т. е. , , , . Возьмем любое число из интервала , например 5 и подставим в неравенство вместо x, получим:

видно, у числителя будет знак «+», у знаменателя «-», делим «+» на «-», поучаем «-». Ставим знак «- на интервале , далее знаки чередуются.

У нас неравенство больше нуля (>0), значит записываем только положительные интервалы, т. е. и (скобки круглые, т. к.неравенство строгое)

Ответ: .

2. Решите уравнение

Решение: По определению логарифма ( эквивалентно )

Ответ:

3. Найдите первообразную для функции

Решение: Из таблицы найдем, что первообразной для служит ; первообразной для служит ; первообразной для 8 служит 8x. Значит, первообразной для функции будет служить функция ,

Ответ:

4. Найдите производную функции

Решение:

Используя правило дифференцирования произведения и формулы дифференцирования, найдем производную данной функции:

Ответ:

5. Решите уравнение

Решение: Уравнение вида называется показательным. Решим уравнение

Представим число 625 в виде степени с основанием 5. Уравнение принимает вид: . Основания в левой и правой частях уравнения одинаковы и равны 7, значит можно приравнять показатели, т. е.,

2x-1=4,

2x=3,

.

Ответ: .