ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРЕДЕЛЫ

Методические указания

по дисциплине «Математика»

РПК «Политехник»

Волгоград

2007

УДК

П 71

Пределы: Методические указания пои дисциплине «Математика» / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 31 с.

Рассматриваются методы нахождения пределов различных функций.

Предназначены для студентов высшего образования, изучающих математический анализ.

Могут быть использованы студентами при выполнении типового расчета.

Библиогр.: 5 назв.

Рецензент

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Ó Волгоградский

государственный

технический

университет, 2007

ЗАДАЧА 1

1. Постановка задачи: Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

План решения:

1. По определению число называется пределом числовой последовательности , если:>=><. Это означает, что неравенство < имеет решение >

2. Зададим число >0 , оно может быть как угодно мало.

3. Найдем, при каких справедливо неравенство <.

4. Если решение имеет вид >, то -предел числовой последовательности . Если решение неравенства < нельзя представить в виде > , то число не является проделом последовательности .

5. Определить целое значение

Пример: Доказать, что (указать )

Решение:

1. По определению число называется пределом числовой последовательности , если

:><,

2. Зададим >0.

3. Найдем, при каких справедливо неравенство < т. е. решим это неравенство относительно .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

<, <, <;

<; т. к. >0 при >1

>; >; >

4. Мы доказали, что 2 является пределом последовательности

5. > > , где - целая часть положительного числа, она может быть меньше рассматриваемого числа, поэтому увеличиваем его на единицу.

Ответ: =

ЗАДАЧА 2

Постановка задачи: Вычислить предел , где

План решения. Здесь многочлен степени (бесконечно большая последовательность порядка ) и - многочлен степени (бесконечно большая последовательность порядка ).

1. Вынести в числителе множитель , получим , где

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим

, где

3. Имеем

4. Получаем:

Если > , то .

Если < , то .

Если = , то .

Пример: Вычислить предел

Решение:

Здесь

- многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка) и - многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка ).

1. Вынесем в числителе множитель , получим

.

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим

3. Имеем

4. Сокращая и используя теорему о пределе частного, получаем

Ответ:

ЗАДАЧА 3

Постановка задачи: Вычислить предел , где

- бесконечно большая последовательность порядка и

- бесконечно большая последовательность порядка (, IR).

План решения:

1. Вынесем в числителе множитель , получим ,

где , .

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим

, где ,

3. Имеем

4. Получаем :

Если , то =

Если , то =0

Если , то по теореме о пределе частного

Пример: вычислить предел

Решение: Числитель - бесконечно большая последовательность порядка () и знаменатель - бесконечно большая последовательность порядка ()

1. Вынесем в числителе множитель , получим

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим

3. Имеем

4. Сокращая и используя теоремы о пределах, окончательно получаем

.

В данном случае было использовано свойство корня, в силу которого

и

Ответ:

ЗАДАЧА 4

Постановка задачи: Вычислить предел числовой последовательности

, где и - многочлены степени

План решения:

1. Представим выражение под знаком предела в виде дроби, записав в знаменателе единицу . Запишем в числителе и знаменателе дроби величину с противоположным знаком, т. е:

- это

- это

2. Используя формулы сокращенного умножения раскроем скобки и преобразуем выражение

ù
 
.

3. Используя план решения рассмотренный в задаче №3, вычислим предел.

Пример: вычислить предел

Решение:

1. В числителе стоит разность двух бесконечно больших величин

и - многочлены одной степени. Умножаем числитель и знаменатель на величину

2.

Получим

Ответ:

ЗАДАЧА 5

Постановка задачи: вычислить предел числовой последовательности

а)

б) , где - сумма первых членов

прогрессии

в)

План решения:

1. Определить к какому типу относится решаемый пример.

2. Записать выражение, стоящее под знаком предела в форм, удобной для разложения на множители. Для этого:

а) Увидеть прогрессию и свернуть часть выражения по одной из формул ;

б и в) выбрать минимальное значение из если , то

б) тогда факториалы, стоящие под знаком продела выражаются

через , и вынести общий множитель за скобки и сократить дробь.

в) Используя свойства степеней привести показательные части выражения к виду и , затем вынести за скобки (если ) или (если )

3. Полученные пределы вычислить используя свойства пределов.

Пример:

а) Вычислить предел

Решение:

1. Пример относится к первому типу.

2. Рассмотрим выражение - это арифметическая прогрессия, в которой , , количество элементов , поэтому

предел примет вид:

3. Применяя приемы вычисления пределов, рассмотренные в примере №2, получаем

Ответ: =

б) Вычислить предел

Решение:

1. Пример относится ко второму типу.

2. ;

1.  Используя свойства пределов

Ответ:

в) Вычислить предел

Решение:

Пример относится к третьему типу ;

Используя , т. к. получаем

Ответ:

ЗАДАЧА 6

Постановка задачи: Вычислить продел последовательности, где и

Пример решения:

1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т. е. выделим единицу:

, где

- бесконечно малая последовательность при

Так как при , то

2. Если и , то

Следовательно, если существует предел

, то окончательно имеем

Пример: Вычислить предел

Решение:

1. При выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:

, а показатель – к минус бесконечности:

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел:

, ,

,

2. Так как , то окончательно имеем

Ответ:

ЗАДАЧА 7

Постановка задачи: Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что

План решения:

1. Число называется пределом функции в точке , если . Это значит, что неравенство имеет решение

2. Зададим произвольное положительное , для того, чтобы найти, сначала найдем множество такое, что ,

т. е. решим неравенство . Затем определим такое, что . Тогда будем иметь

.

Это означает, что

3. Записываем ответ в таком виде:

Пример: Доказать, что

Решение:

1. Число 8 называется пределом функции в точке,если

2. Для того, чтобы найти , найдем множество такое, что

, т. е. решим неравенство

,

,

,

,

,

,

,

Следовательно .

Ответ: .

ЗАДАЧА 8

Постановка задачи: Пользуясь определением, доказать, что функция непрерывна в точке .

План решения

1. Вычисляем

Функция называется непрерывной в точке , если

. Это значит, что неравенство имеет решение.

2. Зададим произвольное положительное , оно может быть как угодно

мало. Для того чтобы найти , сначала найдем множество такое,

что , т. е решим неравенство

. Затем найдем такое, что

. Тогда будем иметь

.

Это означает, что непрерывна в точке

.

Пример: Доказать, что функция непрерывна в точке.

Решение:

1. Вычисляем .

Функция называется непрерывной в точке ,если

.

Это означает, что неравенство имеет решение

2. Зададим произвольное положительное , найдем множество , для

которого выполняется неравенство , т. е. решим это

неравенство

Таким образом

Следовательно, если

, то

,

т. е. непрерывна в точке .

Ответ:

.

ЗАДАЧА 9

Постановка задачи: Вычислить предел , где

План решения:

1. Если , то функция непрерывна в точке и

Если и , то

Если и , то разлагая многочлены на множители,

получаем , где и

2. Поскольку в определении предела функции при аргумент не может принимать значение, равное , то в последнем случае можно сократить множитель . Получаем

Замечание. Если является кратным корнем многочлена и , то

, и

, где и

Пример: Вычислить предел

Решение:

1. Выражение под знаком предела (рациональная дробь) является отношением двух бесконечно малых функций при . Разложим числитель и знаменатель на множители:

2. Поскольку в определении предела функции при аргумент не может принимать значение равное , то можно сократить множитель . Получаем:

Ответ:

ЗАДАЧА 10

Постановка задачи: Вычислить предел функции, где и бесконечно малые функции при , содержащие линейное выражение под знаком радикала.

План решения:

1. Для функций стоящих в числителе и знаменателе определить дополнительные множители и , такие что и будет рациональными функциями.

если , то

если то

2. Домножить числитель и знаменатель дроби стоящей под знаком предела на произведение , получим

.

Затем преобразовать рациональные выражения и , при условии что , можно сократить сомножители .

Далее используя правила вычисления находим значение предела.

Замечание: Одна из функции может полностью стоять под знаком радикала, тогда ее нужно разложить на множители используя формулы сокращенного умножения.

Пример: Вычислить предел функции

Решение.

1.

В числителе и знаменателе стоят функции бесконечно малые при.

Для функции стоящей в числителе дополнительный множитель имеет вид:

, т. к.

получим рациональное выражение. Выражение стоящее в знаменателе раскладываем на множители

2.

Функция, стоящая в знаменателе не является бесконечно малой при .

Ответ:

ЗАДАЧА 11

Постановка задачи: Вычислить предел , где и бесконечно малые функции при

План решения:

Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные.

Если , , , - бесконечно малые функции при такие, что ~ при и ~при и существует предел , то существует , причем

Таблица эквивалентности функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Пример: Вычислить предел

Решение. Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при , так как

, .

Бесконечно малые заменяем на эквивалентные

Таким образом

Ответ:

ЗАДАЧА 12, 13

Постанова задачи: Вычислить предел , где и бесконечно малые функции при

План решения:

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблицей эквивалентных бесконечно малых функций можно пользоваться если . Поэтому сначала сделаем замену переменной

и будем искать предел при

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Пример:

а) Вычислить предел

Решение:

1. , . Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при . Сделаем замену переменной.

2. Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, получаем

б) Вычислить предел

Решение:

1. ,

Под знаком предела имеем отношение двух бесконечно малых функций при. Сделаем замену переменной.

2. Используя формулы получаем.

Заменяя бесконечно малые функции эквивалентными

Имеем

Выражение под знаком предела является отношением бесконечно малых функций при . Используем замену эквивалентными величинами.

, и еще , имеем

Ответ:

ЗАДАЧА 14

Постановка задачи. Вычислить предел , где и

План решения:

1. Преобразуем выражение под знаком предела

2. Поскольку показательная функция непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

3. Вычислим предел показателя

заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.

4. Записываем окончательный ответ.

Пример: Вычислить предел

Решение:

,

1. Преобразуем выражение под знаком предела

2. Поскольку показательная функция непрерывна, то можно перейти к пределу в показателе. Имеем:

3. Вычислим предел показателя:

Преобразуя выражение под знаком предела к виду

Заменяя бесконечно малые функции эквивалентными

1)

2)

3)

Имеем

4. Окончательно получаем

Ответ: .

ЗАДАЧА 15

Постановка задачи: Вычислить предел, где ,

План решения:

1. Сделать непосредственную подстановку. Функция, которая стоит под знаком предела в точке существует и непрерывна. Предел этой функции при равен значению этой функции .

2. Вычислить значение функции в точке и записать ответ.

Пример: Вычислить предел

Решение: ,

1. Функция при существует и предел этой функции равен значению функции в этой точке

2.

Ответ:

ЗАДАЧА 16

Постановка задачи: Вычислить предел , где ,

План решения:

1. Чтобы воспользоваться планом решения задачи 16 нужно, чтобы аргумент стремится к нулю. Введем новую переменную , и будем искать предел при

2. Воспользуемся схемой задачи 16

Пример: Вычислить предел

Решение: ,

При выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности.

1. Введем новую переменную

Преобразуем выражение под знаком предела к виду

2. Поскольку показательная функция непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

Заменяя бесконечно малые величины эквивалентными

Имеем

Ответ:

Литература

1.  и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч-1 , 1999г.

2.  Кузнецов зданий по высшей математике (типовые расчеты), М., Высшая школа, 1994г.

3.  Кручкович задач по курсу высшей математике. М. Высшая школа. 1973г.

4.  Пискунов и интегральное исчисление для втузов: Учеб. пособие для втузов. Т.1 – М.: Наука, 1985г.

5.  Письменный лекций по высшей математике. Ч-1 – М.: Айрис-пресс, 2003г.

Содержание

Задача 1…….………………………………………………………………….3

Задача 2………….…………………………………………………………….4

Задача 3………….…………………………………………………………….6

Задача 4………….…………………………………………………………….8

Задача 5………….…………………………………………………………...10

Задача 6………….…………………………………………………………...13

Задача 7………….…………………………………………………………...15

Задача 8………….…………………………………………………………...17

Задача 9………….…………………………………………………………...19

Задача 10..……….…………………………………………………………...21

Задача 11..……….…………………………………………………………...22

Задача 12, 13…….…………………………………………………………...24

Задача 14..……….…………………………………………………………...26

Задача 15..……….…………………………………………………………...28

Задача 16..……….…………………………………………………………...28

Литература……………………………..…………………………………….30

Составитель: Ульяна Анатольевна Бурцева

ПРЕДЕЛЫ

Методические указания по дисциплине «Математика»

Под редакцией автора

Темплан 2007 г., поз. № 51.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,94. Усл. авт. л. 1,75.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.