№1

Решите уравнение .

№2

Пусть m - количество решений уравнения , а n - количество решений уравнения (a и b - положительные действительные числа, причем a не равно 1). Какие значения может принимать выражение m*n - m - n?

№3

Решите уравнение: a! + b! + c! = d!, где a, b,c, d - натуральные числа. Обозначение n! используется для произведения всех натуральных чисел от 1 до n.

№4

Несколько гостей изначально сидят в большой комнате, в которую по очереди приходят люди. Каждый вновь пришедший здоровается за руку со всеми в этой комнате. Сколько было гостей изначально, если рукопожатий было ровно 272 (когда двое приветствуют друг друга, это считается одним рукопожатием)?

№5

В некоторой стране производится и потребляется всего два товара А и Б. Имеется следующая информация о рынках этих товаров в 2008 году (до введения налогов):

Спрос

Предложение

Товар А

Товар Б

Q — количество товара (тыс. штук в год), p — цена товара (рублей за штуку). В начале 2008 года правительство ввело налог с производителей товара А в размере 20 рублей за каждую единицу проданного товара. В 2009 году ставка налога была увеличена до 40 рублей за единицу. На сколько процентов, при прочих равных условиях, выросла величина реальных поступлений в государственный бюджет (за счет налогов с производителей товара А) в 2009 году по сравнению с 2008?

№6

Страна Z состоит из трех регионов. В таблице представлены некоторые данные о рынке труда данной страны.

Регион

Естественный уровень безработицы

Количество безработных (тыс. чел.)

фрикционных

структурных

циклических

Регион №1

1%

4

1

5

Регион №2

4%

15

10

5

Регион №3

10%

120

50

30

(а) Определите уровень безработицы в стране.

(б) Региональные власти региона №3 решают реализовать программу «Ярмарка вакансий», помогающую окончившим учебу студентам быстрее найти работу. На какой вид безработицы повлияет эта мера? Пусть в результате этой меры число соответствующих безработных в регионе №3 сократилось в два раза, в то время как общая численность экономически активного населения не изменилась. Определите новый уровень безработицы в стране.

№7

Представьте, что Вы – организатор мероприятий Московского Университета. На этот раз Вам предстоит организовать 2 лекции известных экономистов ( и ).

Вместимость зала - 800 человек, предельные издержки предоставления одного места равны нулю. Ваша задача – организовать продажу билетов на лекции.

Спрос желающих пойти только на первую лекцию представлен следующей функцией: . А тех, кто хочет посетить только вторую лекцию: .

Кроме того, есть люди, желающие пойти сразу на две или не пойти ни на одну из лекций (то есть они не рассматривают возможность пойти только на одну из двух лекций). Спрос этой группы представлен функцией: .

Какие цены нужно назначить на билеты на первую и на вторую лекцию, и цену «набора» из двух лекций, если вы хотите получить в итоге максимальную прибыль? Сколько человек посетит каждую из лекций при назначенных ценах? (Предполагается, что перепродажа билетов невозможна)