Аналогия

§ 1. Аналогия

Сначала разберемся в том, что такое аналогия. Символом аналогия у древних греков первоначально обозначалась пропорция чисел. Например, 10 : 5 =14 : 7 . Позднее слово аналогия распространилось и на фигуры, и явления и прочее и прочее. Рассмотрим пример. Даны четыре фигуры

а) б) в) г)

требуется найти пары аналогичных фигур.

Возникает вопрос, по каким признакам подбирать эти пары? Эту задачу поставили перед вычислительной машиной. Она сопоставила рисунки и выдала следующий результат: нарисовала на листе бумаги это

и написала равенство A : B = a : b.

Аналогия здесь осуществляется по формуле: объемлющая фигура в A(a) относится к тому же виду, что и объемлющая фигура в B(b). Однако не столь просты по составу умозаключения, возникающие в человеческом мозгу.

А в настоящее время аналогия обслуживает буквально все науки.

Химия. открыл периодическую систему элементов и предсказал свойства новых элементов по аналогии.

Биология. Чарльз Дарвин ввел в употребление понятие “естественный отбор” исходя из аналогичного явления – искусственного отбора.

Физика. Закономерность распространения звука в воздухе была установлена на основе сравнения этого явления с распространением волн на поверхности воды.

Геология. До открытия алмазных месторождений в Якутии было известно, что геологическая структура Южно - Африканского плоскогорья имеет много общего с геологической структурой Восточно­­­-Сибирской платформы. Случайно в устье одной из рек Якутии обнаружили голубоватый минерал, который находили в алмазных жилах Южной Африки. После этого начали искать в Якутии алмазы. И действительно их там нашли, а позднее наладили добычу алмазов.


Но в то же время в математике есть немало примеров, когда некоторые предположения, прошедшие “конечную” проверку, впоследствии оказались неверными. В 1640 году родился один из крупнейших математиков Пьер Ферма. В одном из своих писем П. Ферма писал: “ Можно было бы предложить такой вопрос и взять такое правило для его решения, которое подходило бы для многих частных случаев, и все же было бы на самом деле ложным и не всеобщим ”. Таких примеров “ложных” доказательств немало в истории математики. Любопытно отметить, что один из таких примеров относится к самому П. Ферма. Он предположил, что все натуральные числа вида

являются простыми после того, как проверил этот факт при

n = 0, 1, 2, 3, 4. Но в 1732 году Л. Эйлер опроверг предположение П. Ферма. Для этого он доказал, что число делится на 641. Почему же ошибся П. Ферма? Ошибка его заключалась в том, что он вычислил несколько частных значений (это частные утверждения) и сделал общий вывод, что значения при любом натуральном числе n являются простыми числами.

Л. Эйлер подверг испытанию трёхчлен. Этот трёхчлен давал простые числа при всех значениях n от 1 до 39. Но при n = 40 формула

уже даёт составное число: .

думал, что делится на 2 k + 1, проверив это при

k = 1,2,3. Но при k = 4 это уже не так.

Новый пример может быть более убедительным, чем три предшествующих. Дано число вида . Подставляя вместо n числа натурального ряда, начиная с 1, мы не получим числа, которое является квадратом какого-либо другого числа даже, если посвятим этим вычислениям много лет. Только лишь при n =число будет полным квадратом.

Л. Эйлер был прав – простая индукция может привести к ошибке. Отсюда следует, что в математике, когда высказывание делается о бесконечной совокупности, проверка любого конечного набора случаев не может заменить доказательства.

Дедукция и индукция

Таким образом, нужно уметь различать два понятия:

1) частное утверждение; 2) общее утверждение.

Пример. Какое из следующих утверждений частное, а какое общее:

1) Числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 5?делится на 5?

Переход от общих утверждений к частным называется дедукцией.

Пример. Так как числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 5, то число 140 делится на 5.

Переход от частных утверждений к общим называется индукцией. Индукция может привести как к верным, так и к неверным результатам.

Интересно, а что использовал П. Ферма: дедукцию или индукцию?

Индукция широко применяется в математике, но применять ее надо правильно.

Утверждение: Трехзначные числа 140, 150, 250 делятся на 5.

Вывод: 1) все числа, заканчивающиеся нулем, делятся на 5 (верный),

2) все трехзначные числа делятся на 5 (неверный).

Возникают вопросы. Как в математике пользоваться индукцией, чтобы получать только верные выводы? Какими способами осуществлять проверку бесконечного числа случаев?

Такой способ предложили Б. Паскаль и Я. Бернулли. Теперь он носит название метода математической индукции. Принципом математической индукции фактически пользовались еще некоторые древнегреческие ученые. Однако впервые этот метод был явно выражен Герсонидом в 1321 год. И до второй половины 19 века этот метод был основным методом доказательства. Со второй половины 19 века после трудов О. Больцано, , чисто индуктивные методы доказательства теряют значение в математике.

Метод математической индукции поясним на примере.


Дано. На книжной полке стоят книги: 1) самая левая из них - в красном переплете. 2) Правее каждой книги в красном переплете стоит книга в красном переплете.

Вывод. Все книги, стоящие на полке, будут в красном переплете.

Очевидно, что вывод “на полке все книги - в красном переплете ” верный. Но, если известно только, что самая левая книга в красном переплете, то этого не достаточно, чтобы сделать вывод: “на полке все книги в красном переплете”.

Не достаточно для сделанного вывода и того, что правее каждой книги в красном переплете стоит книга в красном переплете (так как первая слева книга может быть, например, в зеленом переплете).

Поэтому, чтобы вывод был верным, нужно выполнение обоих условий.

Откроем математическую энциклопедию на странице 563 [5]. Прочитаем, что

Математическая индукция – метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции:

утверждение , зависящее от натурального параметра x, считается доказанным, если доказано A (1) и для любого натурального n из предположения, что верно A (n), выведено, что верно также A (n+1).

Доказательство утверждения A (1) составляет первый шаг (или базис) индукции, а доказательство A (n+1) в предположении, что верно A (n), называется индукционным переходом.

При этом x называется параметром индукции, а предположение A (n) при доказательстве A (n+1) называется индуктивным предположением.

Иначе, метод математической индукции состоит в следующем:

Если имеется последовательность утверждений, из которых первое утверждение верно и за каждым верным утверждением следует верное, то все утверждения в последовательности верны.

Таким образом, доказательство при помощи метода математической индукции состоит из доказательства двух теорем.

Теорема 1. Утверждение верно при n = 1.

Теорема 2. Пусть утверждение верно для какого - либо произвольного натурального n = k. Тогда утверждение будет справедливо для следующего натурального числа n = k + 1.

Если обе эти теоремы доказаны, то на основании принципа математической индукции заключаем, что утверждение верно для любого натурального n.

Замечание. Часто приходится доказывать по индукции утверждение, справедливое не для всех натуральных n, а для n больших или равных m > 1. В этом случае доказательство проводится так.

Теорема 1. Утверждение верно при n = m.

Теорема 2. Дано, что утверждение верно при n = k, k ³ m. Нужно доказать, что оно верно при n = k +1.

Литература. Содержание

Подпишитесь на рассылку:

Основы аналогии

Проекты по теме:

Основные порталы (построено редакторами)

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства