Составитель: руководитель районного методического объединения учителей математики
I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
2012 – 2013 учебный год
Вычислите наиболее простым способом: ∙ 2000 – ∙ 20баллов) Шоколадка состоит из 24
долек. Сколько разломов потребуется сделать, чтобы разделить её на 24 части? Накладывать части друг на друга не разрешается. (5 баллов) Гриша пошёл с папой в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель? (5 баллов) Сколькими нулями заканчивается произведение натуральных чисел 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 100? (5 баллов) Три утёнка и три гусёнка весят 2 кг 100 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько вести один гусёнок? (5 баллов)
Вычислите наиболее простым способом: 
(5 баллов) Можно ли расставить 10 стульев вдоль стен квадратной комнаты так, чтобы возле каждой стены стульев было поровну? (5 баллов) Сколькими нулями заканчивается произведение натуральных чисел 1901 ∙ 1902 ∙ 1903 ∙ … ∙ 2000? (5 баллов) Алёша и Борис вместе весят 82 кг, Алёша и Влад весят 83 кг, Борис и Влад весят 85 кг. Сколько вместе весят Алёша, Борис и Влад? (5 баллов) Поезд проходит мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 150 м – за 15 секунд. Найдите длину поезда и длину платформы. (5 баллов)
Найдите корни уравнения 
. (5 баллов) Мастер переплетает 3 книги в час, а его ученик – 2 книги. Как распределить между ними срочный заказ на переплетение 140 книг, чтобы они выполнили эту работу в кратчайший срок? За сколько дней они выполнят заказ? Считайте, что продолжительность рабочего дня – 7 часов. (5 баллов) Цена доллара в рублях увеличилась на 25 %. На сколько процентов при этом уменьшилась цена рубля в долларах? (5 баллов) Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили длину обруча на 1 метр. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор? (5 баллов) Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел? (5 баллов)
(5 баллов) В первый месяц бригада перевыполнила план на 10 %, а во второй – на 20 %. На сколько процентов бригада перевыполнила план двух месяцев? (5 баллов) Постройте график функции 
(5 баллов) Подряд записывают числа натурального ряда, не разделяя их запятыми: … Какая цифра окажется на 1999 месте? (5 баллов) Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Сколько теперь вести арбуз? (5 баллов) Указания и решения
5 класс
Вычислите наиболее простым способом: ∙ 2000 – ∙ 2000.Ответ. 2000.
Шоколадка состоит из 24 долек. Сколько разломов потребуется сделать, чтобы разделить её на 24 части? Накладывать части друг на друга не разрешается. Решение. При каждом разламывании целой шоколадки или любого её куска на две части количество кусков увеличивается на 1.
Ответ. 23 разлома.
Гриша пошёл с папой в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?Решение. Сначала Гриша сделал 5 выстрелов, потом ещё 17 – 5 = 12 «призовых» выстрелов, которые он получил за 12 : 2 = 6 попаданий.
Ответ. 6.
Сколькими нулями заканчивается произведение натуральных чисел 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 100?Решение. Среди натуральных чисел от 1 до 100 ровно 20 делятся на 5, из них 4 числа делятся на 5 ∙ 5 = 25. Значит, 24 произведения дадут 24 нуля.
Ответ. 24.
Три утёнка и три гусёнка весят 2 кг 100 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько вести один гусёнок?Ответ. 400 граммов.
6 класс
1. Вычислите наиболее простым способом:
Ответ. 2000.
Можно ли расставить 10 стульев вдоль стен квадратной комнаты так, чтобы возле каждой стены стульев было поровну? (5 баллов)Решение. Нужно поставить по стулу в два противоположных угла комнаты и, кроме того, по два стула у каждой стены.
Ответ. Можно.
Сколькими нулями заканчивается произведение натуральных чисел 1901 ∙ 1902 ∙ 1903 ∙ … ∙ 2000?Решение. Среди натуральных чисел от 1901 до 2000 ровно 16 делятся на 5, но не делятся на 5 ∙ 5 = 25. Ещё 3 числа делятся на 25, но не делятся на 125. Да ещё число 2000 делится на 125. Значит, 25 произведений 2 ∙ 5 дадут 25 нулей.
Ответ. 25.
Алёша и Борис вместе весят 82 кг, Алёша и Влад весят 83 кг, Борис и Влад весят 85 кг. Сколько вместе весят Алёша, Борис и Влад?Ответ. 125 кг.
Поезд проходит мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 150 м – за 15 секунд. Найдите длину поезда.Решение. Поезд проходит путь, равный его длине, за 5 секунд. Чтобы проехать мимо платформы, ему нужно проехать 150 метров и ещё путь, равный его длине. Значит, 150 метров поезд проезжает за 15 – 5 = 10 секунд. Его скорость равна 150 : 10 = 15 м/с. Длина поезда 75 метров.
Ответ. 75 метров.
7 класс
Найдите корни уравнения. Ответ. – 1; 4025.
Мастер переплетает 3 книги в час, а его ученик – 2 книги. Как распределить между ними срочный заказ на переплетение 140 книг, чтобы они выполнили эту работу в кратчайший срок? За сколько дней они выполнят заказ? Считайте, что продолжительность рабочего дня – 7 часов.Решение. Мастер и ученик переплетают вместе за 1 час 5 книг, поэтому 140 книг они переплетут за 140 : 5 = 28 часов, или за 4 дня. Мастеру нужно дать 28 ∙ 3 = 84 книги, а его ученику 28 ∙ 2 = 56 книг.
Решение. Пусть 1 доллар стоил а рублей. После увеличения цены на 25 % он стал стоить 1,25а рублей, и на ту же сумму в а рублей теперь можно купить не 1 доллар, а 0,8 доллара. Стоимость а рублей в долларах при этом уменьшилась на 0,2 доллара, или на 20 %.
Ответ. 20 %.
Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили длину обруча на 1 метр. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор?Решение. Пусть первоначальный радиус обруча R м, тогда первоначальная длина обруча равна 
метров, а после увеличения она равна 
метров. Новый радиус обруча 
м, он больше первоначального радиуса примерно на 0,159 м = 15,9 см. В такой зазор кошка пролезет.
Ответ. Пролезет.
Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?Решение. 1974 делится на 2, но не делится на 4, в то время, как если разность 
чётна, чётны и а – в и а + в, следовательно, делится на 4.
Ответ. Нельзя.
8 класс
1. Решите уравнение
Ответ. 1005,5; 3018,5.
В первый месяц бригада перевыполнила план на 10 %, а во второй – на 20 %. На сколько процентов бригада перевыполнила план двух месяцев?Решение. Пусть месячное задание составляет а деталей. В первый месяц бригада сделала 1,1а деталей, во второй – 1,2а деталей, а за два месяца – 2,3а деталей. Задание двух месяцев бригада перевыполнила на 0,3а деталей, или на 15 %.
Ответ. 15 %.
Постройте график функции (5 баллов) Подряд записывают числа натурального ряда, не разделяя их запятыми: … Какая цифра окажется на 1999 месте? В ряду натуральных чисел 9 однозначных и 90 двузначных чисел, для записи которых использовано 189 цифр. Искомая 1999-я цифра стоит на 1810 месте, если считать от первого трёхзначного числа 100. Разделим 1810 на 3, получим 603 (ост. 1). Это означает, что искомая цифра является первой цифрой 604-го трёхзначного числа, то есть числа 604 + 99 = 703.
Ответ. 7.
Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Сколько теперь вести арбуз?Ответ. 10 кг.
Литература
Заболотнева задания по математике. 5 – 8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад: развитие творческой сущности учащихся. – Волгоград: Учитель. Шевкин олимпиада по математике. Задачи и решения. – М. : слово-учебная книга».I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
2012 – 2013 учебный год
15 датских крон и 12 швейцарских франков стоят в рублях на 8 % больше, чем 20 крон и 4 франка, а 10 крон и 8 франков на 131 рубль дешевле, чем 5 крон и 15 франков. Сколько стоит 1 франк? (7 баллов) Постройте график функции
. Определите, при каких значениях с прямая у = с пересекает график функции ровно в трёх точках. (7 баллов) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет три различных решения. (7 баллов) Сумма двух положительных чисел х и у равна 6. Найдите наименьшее значение суммы чисел, обратных данным. (7 баллов) Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника. (7 баллов)
Для участия в совещании по борьбе с терроризмом в город прибыли 117 человек, которые были размещены в гостинице и заполнили 40 номеров: одно-, двух-, трёх - и четырёхместных. Известно, что количество четырёхместных номеров на 20 % больше общего числа двухместных и трёхместных. Сколько одно-, двух-, трёх - и четырёхместных номеров оказалось занято? (7 баллов) Решите систему уравнений {
(7 баллов)
имеет ровно три корня. (7 баллов) Докажите, что значение выражения 
- целое число. (7 баллов) Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см. (7 баллов)
Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника являться последовательными членами некоторой геометрической прогрессии? (7 баллов) Найдите все пары целых чисел х и у, для которых верно равенство 
(7 баллов)
(7 баллов) Определите, при каких значениях параметра а уравнение 
имеет два корня. (7 баллов) Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9? (7 баллов) Общая характеристика заданий школьного этапа олимпиады. Олимпиадные задания составлены на основе программ по математике для общеобразовательных учебных учреждений. Также в олимпиадные задания включены задачи, тематика которых входит в программы школьных элективных курсов, факультативных курсов, кружков по математике. Критерии оценивания. Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
7 | Полное верное решение. |
6 | Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение. |
5 | Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрены отдельные случаи решения. |
4 | Верно рассмотрен один из случаев решения, или в задаче верно получена оценка решения. |
3 | Доказаны (или применены) вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
1 - 2 | Рассмотрены некоторые важные случаи при отсутствии решения (либо при ошибочном решении). |
0 | Решение неверное. Решение отсутствует. |
Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведённого в методических разработках или от других решений, известных жюри. Исправления в работе не являются основанием для снятия баллов.
Порядок проведения школьного этапа олимпиады. Рекомендуемое времяпроведения олимпиады – 4 часа.
Литература
1. , , Плетнёва по математике. – Воронеж, 2004 – 2012.
2. , , Якир с параметрами. – М. : Илекса, Харьков: Гимназия, 2002.
3. и др./ под ред. Сканави задач по математике для поступающих в втузы. – М. : Высш. Шк.
4. Математика. ЕГЭ - 2012/ под ред. Л. – М. :ФИПИ, 2012.
Указания и решения
9 класс
1. 15 датских крон и 12 швейцарских франков стоят в рублях на 8 % больше, чем 20 крон и 4 франка, а 10 крон и 8 франков на 131 рубль дешевле, чем 5 крон и 15 франков. Сколько стоит 1 франк?
Решение.
Пусть стоимость кроны – х рублей, стоимость франка - у рублей.
{
Ответ. 22 рубля.
2. Постройте график функции . Определите, при каких значениях с прямая у = с пересекает график функции ровно в трёх точках.
Ответ. При с = 1 прямая пересекает график функции в трёх точках.
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных решения. Решение.
Так как дискриминант второго уравнения положителен при любых значениях а, то второе уравнение имеет два различных корня при любом значении а. Следовательно, первое уравнение должно иметь один корень (два равных корня), чтобы первоначальное уравнение имело три корня. Значит, 
откуда 
Ответ. При 
уравнение имеет три различных корня.
4. Сумма двух положительных чисел х и у равна 6. Найдите наименьшее значение суммы чисел, обратных данным.
Ответ. 
(х = 3, у = 3).
5.Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника.
Решение.
Пусть х и у – катеты, АВ –гипотенуза. Так как точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе, то
Ответ. 42 см и 56 см.
10 класс
1. Для участия в совещании по борьбе с терроризмом в город прибыли 117 человек, которые были размещены в гостинице и заполнили 40 номеров: одно-, двух-, трёх - и четырёхместных. Известно, что количество четырёхместных номеров на 20 % больше общего числа двухместных и трёхместных. Сколько одно-, двух-, трёх - и четырёхместных номеров оказалось занято?
Решение.
Пусть х – количество одноместных номеров, у – двухместных, z – трёхместных, t – четырёхместных номеров.
{
{
Учитывая, что t делится на 6, то есть 
, получим
{
Из второго уравнения следует, что 
, так как 
, то 
Из третьего уравнения получаем 
Следовательно, 
Ответ. 7 одноместных номеров, 7 – двухместных, 8 – трёхместных, 18 – четырёхместных.
Решите систему уравнений{
Решение.
Рассмотрев первое уравнение как квадратное относительно х, получим
Рассмотрев второе уравнение как квадратное относительно х, получим
Следовательно, {
Рассмотрев четыре системы уравнений с двумя переменными, получим ответ:
(- 4;2), (- 3; 3), (- 2; 0).
Ответ. (- 4;2), (- 3; 3), (- 2; 0).
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно три корня. (7 баллов) Решение.
Данное уравнение равносильно совокупности 
или 
Отсюда или 
Если а = 1, то второе уравнение совокупности не имеет корней. Следовательно, в этом случае исходное уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Если 
, то 
Требование трёх корней достигается при 
то есть при 
Ответ.
- целое число. Решение.
Пусть 
. Возведём а в куб. Получим 
Из уравнения следует, что а = 2 – единственный корень, значит, а - целое число.
Решение.
Ответ. 
11 класс
Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника являться последовательными членами некоторой геометрической прогрессии?Решение.
Обозначим через a, b, c последовательность длин сторон прямоугольного треугольника, при этом a, b - катеты, c – гипотенуза. По условию они образуют геометрическую прогрессию, следовательно, удовлетворяют системе уравнений
{
Рассмотрим отдельно первое уравнение системы, являющееся однородным второго порядка: 
Учитывая соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике получаем 
Так как 
то однородное уравнение, а значит, и система имеют решение.
Ответ. Могут.
Найдите все пары целых чисел х и у, для которых верно равенство
Решение.
Выразим у через х, затем преобразуем дробь, выделив целую часть:
Так как значения переменных целые, то в качестве знаменателя достаточно рассмотреть делители числа23.
Ответ. (- 1; 31), (- 3; 3), (21; 339), (- 25; 751).
Решите уравнение
Решение.
Умножив обе части уравнения на 
, преобразуем его:
Ответ. 
имеет два корня. Решение.
Переходим к равносильной системе
{
Полученное квадратное уравнение имеет два корня 
при 
Понятно, что если меньший из этих корней неотрицательный, то и система имеет два решения.
{
Ответ.
Решение.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и чётных местах, делится на 11.
Запишем все цифры подряд: . В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 7, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
Ответ. Да.
