Математические аспекты конструирования электростатических систем
Замечание: Хотя здесь рассматривается постановка задачи, используемая при проектировании электронно-оптических систем, описываемый здесь метод применим к другим обратным задачам теории электрического поля, например, для задач определения токов, порождающих известное на границе распределение электрического потенциала – биоэлектрическая задача.
Если у вас есть другие формулировки обратной задачи электростатики, пожалуйста, пишите.
Задача: сконструировать конструкцию электростатической системы, электроды которой находятся в пределах заданного объёма, и создающей заданное распределение электростатического поля в заданной области.
Исходные данные:
1. Распределение заданного потенциала или составляющих вектора напряжённости электрического поля Е в области V1. Область может вырождаться в кривую. Эта область может содержать известный диэлектрик или свободные заряды (например, электронный пучок), или ничего не содержать Может быть задана одна, две или три составляющих вектора Е при условии, что вектор удовлетворяет уравнению div D =rсв для рассматриваемой среды (rсв – плотность свободных зарядов).
2. Допустимое отклонение от заданного потенциала или составляющих вектора электрического поля.
3. Максимальные габариты и положение в пространстве области V2, в которой могут располагаться электроды. Области V1 и V2 могут пересекаться или содержать одна другую, однако, следует иметь в виду, что решение задачи существует не всегда.
4. Область V2 может содержать детали заранее известной конструкции из диэлектриков и проводников с известными электрофизическими свойствами, а могут и не содержать их. Проводники могут иметь заданные и/или свободные потенциалы.
5. Примерный шаг отображения электродов в области V2
Теория
Основная идея решения поставленной задачи относительно проста:
– по полю, заданному в области V1, восстанавливается поле электрического потенциала в области V2 с учётом электрических свойств среды, известных проводников и зарядов;
– в восстановленном поле определяется семейство эквипотенциальных поверхностей; геометрия и потенциал этих эквипотенциалей определяет конструкцию электродов и потенциалы электродов.
Основная трудность здесь заключается в восстановлении поля в одной области по полю, заданном в другой области или вдоль кривой. Эта задача хорошо известна среди обратных задачи её решению посвящено много работ. См. например [1]. Однако известные мне решения разработаны либо для 2-D случая, либо их использование инженерным персоналом затруднено, т. к. требует специальной математической подготовки в области теории решения обратных задач и регуляризации.
Попытаемся разработать методику для 3-D случая, которая проста в использовании. Рассмотрим основное уравнение электростатики
div D = rсв (1.1)
, где r св - плотность свободных зарядов.
Его можно записать как
div (e0E+P) = rсв (1.2)
, где вектор поляризации P связан с вектором напряжённости электрического поля E
через известный для данного материала тензор a
P = aE (1.3)
Представляя вектор напряжённости поля через электрический потенциал j как
E = -Ñj (1.4)
, получаем из (1.2)
e0 Ñ2j = div(P) + rсв (1.5)
Решение этого уравнения [2]
, где R – длина вектора, проведённого из точки интегрирования в точку наблюдения;
s - плотность зарядов на поверхности проводников.
Величина s для свободного проводника определяется из условия равенства нулю на поверхности касательной составляющей вектора Е:
Еt = 0 (1.7)
Если проводник находится под принудительным потенциалом j0, то плотность поверхностных зарядов определяется из условия
j½s = j0 (1.8)
Таким образом, система (1.3), (1.4), (1.6) – (1.8) однозначно определяет прямую задачу электростатики – определения поля в среде по системе зарядов. Для её решения можно воспользоваться методом конечных элементов (МКЭ) или, если можно пренебречь величиной div(P) в объёме диэлектрика, методом граничных элементов.
Используем эту систему для решения обратной задачи – восстановлению электрического поля в области V2 по полю в области V1.
Будем рассматривать нашу задачу для заданного распределения потенциала Ф(x, y,z) в области V1. Естественно задать условие, что функция Ф(x, y,z) удовлетворяет уравнению Пуассона. Ясно, что эта задача может быть легко переформулирована для случая задания вектора напряжённости электрического поля или его отдельных составляющих.
Введём новую область V3 , содержащую области V1 и V2. Рассмотрим в области, полученной вычитанием V1 и V2 из V3, систему свободных зарядов rсвн. Тогда поле в V2 можно определить как
В области V1 имеем
Таким образом, решение задачи восстановления поля сводится к решению интегральных уравнений 1-го рода (1.10), (1.7), (1.8) при условии (1.3).
Для получения устойчивого и программно-реализуемого решения этой системы разработан специальный метод, который будет рассмотрен в следующей статье этого сайта.
Литература
1. ME 201/MTH 281. Far Field for the Laplace Equation. www. me. rochester. edu/~clark/ ME201files/webexamp/lapfarf. pdf
2. Михлин математической физики. «Наука», М., 1968
