Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» |
Кафедра _Теоретической ядерной физики
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан / директор института
_____________/ /
«____» __________________ 2009
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ НИЯУ МИФИ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
010900 Прикладные математика и физика
Специальность / направление подготовки 010900 Прикладные математика и физика
Специализация / профиль подготовки 010900 Прикладные математика и физика
_________________________________________________________________________________
Программа одобрена на заседании кафедры от 01.01.01 года, протокол | Зав. кафедрой №32 _____________/ _ / « 23» апреля 2009 |
Введение
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины:
математический анализ, аналитическая геометрия, линейная алгебра, теория дифференциальных уравнений, уравнения математической физики, теория классических полей, квантовая механика и статистическая физика. Программа разработана кафедрой Теоретической ядерной физики Московского инженерно-физического института (государственного университета) .
1. Теория классических полей.
Уравнения Максвелла. Потенциалы электромагнитного поля. Калибровочная инвариантность и сохранение заряда. Функция Лагранжа электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса. Статическое поле системы зарядов на больших расстояниях.
Движение заряженных частиц во внешних электромагнитных полях.
Электромагнитные волны. Запаздывающие потенциалы.
Мультипольное излучение. Спектральные свойства излучения. Излучение при столкновениях. Магнитно-тормозное излучение. Излучение быстро движущегося заряда. Торможение излучением. Границы применимости классической электродинамики.
Рассеяние электромагнитных волн.
2. Квантовая механика.
Эксперименты, лежащие в основе квантовой механики. (Излучение черного тела, Фотоэффект, Опыт Боте, Опыт Франка - Герца, Эффект Комптона, Закономерности атомных спектров, Опыт Резерфорда по рассеянию частиц, Опыт Штерна - Герлаха).
Основные принципы квантовой механики. Принцип суперпозиции. Эрмитовы и самосопряженные операторы. Коммутационные соотношения. Координатное и импульсное представления. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Границы применимости нерелятивистской квантовой механики.
Основные свойства уравнения Шредингера. Стационарные состояния. Расплывание волнового пакета. Гармонический осциллятор. Прямоугольная «яма», прохождение через прямоугольный барьер.
Собственные значения и собственные функции оператора момента. Спин. Сложение моментов и коэффициенты Клебша-Гордана. Уравнение Паули. Движение в однородном магнитном поле, уровни Ландау.
Задача двух тел в квантовой механике и движение в центрально–симметричном поле. Спектр и волновые функции водородоподобного атома, случайное вырождение.
Стационарные возмущения при наличии вырождения дискретного спектра, секулярное уравнение. Возмущения, зависящие от времени, и вероятности переходов. Адиабатические и внезапные возмущения.
Атом во внешних полях, эффект Штарка.
Квазиклассическое приближение. Правила квантования Бора-Зоммерфельда. Прохождение через барьер.
Стационарная постановка задачи рассеяния. Амплитуда и сечение упругого рассеяния. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Фазовая теория рассеяния. Рассеяние медленных частиц. Рассеяние быстрых частиц.
3. Статистическая физика.
Функция распределения и матрица плотности. Статистическая независимость. Теорема Лиувилля. Вероятность и энтропия. Закон возрастания энтропии. Роль энергии. Микроканоническое распределение. Распределение Гиббса. Распределение Гиббса с переменным числом частиц.
Термодинамические величины и термодинамические потенциалы. Первый и второй законы термодинамики. Условия термодинамического равновесия. Теорема Нернста.
Распределения Больцмана, Ферми, Бозе.
Больцмановский идеальный газ. Распределение Максвелла.
Ферми - и бозе-газы элементарных частиц. Вырожденный идеальный ферми-газ. Теплоемкость и магнитная восприимчивость вырожденного электронного газа. Свойства вещества при больших плотностях.
Вырожденный бозе-газ. Конденсация Бозе – Эйнштейна.
Рекомендуемая основная литература
1. , . Теория поля. М.: Наука, 1988.
2. , . Квантовая механика. Нерелятивистская теория.
М.: Наука, 2001.
3. . Квантовая механика. М.; Наука, 1973.
4. , . Статистическая физика, Ч. 1. М.: Наука,
1995.
5. Р. Фейнман. Статистическая механика. М.: Мир. 1975.
6. , . Статистическая физика. Ч. 2. М.:
Наука, 2000.
ЗАДАЧИ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ЭКЗАМЕНУ В МАГИСТРАТУРУ НИЯУ МИФИ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010900 «Прикладные математика и физика»
1. Математика
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно плоскости 
.
2. Решить уравнение 
, если
, 
, 
.
3. Найти 
и 
, если 
.
4. Найти предел 
.
5. Решить систему уравнений: 
.
6. Вычислить интегралы 
, 
.
7. Исследовать на равномерную сходимость ряд 
.
8. Найти длину дуги гиперболической спирали 
от точки 
до точки 
.
9. Вычислить 
, где 
и 
- постоянные векторы.
10. Решить уравнение 
.
11. Найти поток векторного поля 
сквозь внутреннюю границу тела 
.
12. Разложить функцию 
в ряд Лорана в кольце 
и в окрестности точки 
.
13. Решить дифференциальное уравнение 
.
14. Вычислить: 
.
15. Решить интегральное уравнение: 
.
16. Классифицировать поверхности в зависимости от параметра 
.
17. Решить уравнение , если
, 
, 
.
18. Найти , где 
.
19. Найти предел 
.
20. Вычислить неопределенный интеграл 
.
21. Вычислить интегралы 
, 
22. Исследовать на равномерную сходимость 
.
23. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
.
24. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 
функцию и найти множество, на котором полученный ряд сходится к функции 
:
.
25. Функцию 
:
а) разложить в ряд Фурье по косинусам в интервале 
;
б) построить график суммы ряда;
в) выяснить характер сходимости.
26. Найти поток векторного поля 
сквозь внутреннюю границу тела 
.
27. Вычислить 
, где 
.
28. Решить дифференциальное уравнение 
.
29. Вычислить: 
.
30. Вычислить: 
, где 
.
2. Теория поля
3. Квантовая механика
4. Статистическая физика
1. Для N квантовых осцилляторов найти Е(Т) и С(Т).
2. Для N двухуровневых систем найти Е(Т) и С(Т).
3. Вычислить теплоемкость классического ангармонического осциллятора.
4. Вычислить коэффициент линейного расширения молекулы (классический ангармонический осциллятор).
5. Вычислить восприимчивость газа дипольных молекул. Рассмотреть
также случаи сильных полей.
6. Для частиц, вылетающих из малого отверстия в банке вычислить средние скорость и квадрат скорости в пучке и соотнести с соответствующими величинами в объеме банки. (В банке распределение Максвелла)
7. Найти число ударов о единицу поверхности стенки в электронном газе при Т=0.
8. Найти уравнение состояния слабовырожденного Ферми-газа.
9. Найти уравнение состояния слабовырожденного Бозе-газа.
10. Найти Cv(T) для Бозе-газа при Т< Тс.
11. Вычислить спиновую парамагнитную восприимчивость идеального электронного газа при нулевой температуре.
12. Вычислить энтропию черного излучения.
13.
14.
15.
16.
