Задачи
1-го тура олимпиады по математике
СГТУ имени
30.11.2012 г.
1-й курс.
1. (4 балла) Существует ли невырожденная матрица А размера 2005х2005 с действительными элементами, такая, что 
, где 
– нулевая матрица?
2. (4 балла) Вычислить определитель n-го порядка 
3. (4 балла) Найти 
.
4. (8 баллов) Найдите предел последовательности 
5. (8 баллов). 
Доказать, что наибольший общий делитель чисел
, 
, …, 
равен 1.
6. (2 балла) Построить график функции 
.
7. (8 баллов) Найти наименьшее 
, при котором выполняется равенство
.
8. (8 баллов) Функция 
непрерывна и задана на всей оси.
Известно, что уравнение 
имеет решение. Доказать, что уравнение 
также имеет решение.
9. (4 балла) Найти тринадцатый член 
, если биномиальный коэффициент разложения равен 105.
балла) Для последовательности 
, где 
найти 
и 
.
балла) При каких 
прямые 
и 
:
1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают?
балла) Найти 
при 
.
баллов) Доказать, что функция 
равномерно непрерывна при 
.
баллов) В правильной треугольной пирамиде 
длина ребра основания равна , а угол 
между апофемой и боковой гранью равен 
. Найдите длину 
высоты пирамиды.
баллов) Доказать, что при любом натуральном 
число 
делится на 148.
балла) Какая из функций 
:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
инъективна, сюръективна или биективна?
Построить графики.
Задачи
1-го тура олимпиады по математике
СГТУ имени
30.11.2012 г.
2-й курс
1. Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида 
параллельными плоскости 
.
2. Решить дифференциальное уравнение 
.
3. Цилиндр, образующие которого параллельны прямой 
описан около сферы 
.
Составить уравнение этого цилиндра.
4. Найти площадь части конуса 
, лежащую над плоскостью 
и отсечённую плоскостью 
.
5.Вычислить криволинейный интеграл 
, где L - четверть астроиды
от точки 
до точки 
.
6. Найти кривую, проходящую через точку 
, для которой треугольник, образованный отрезком оси 
, касательной к кривой в произвольной её точке и радиусом-вектором точки касания – равнобедренный, причём его основанием служит отрезок касательной от точки касания до оси .
7. Вычислить 
8. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения 
с начальными условиями 
и записать решение в виде степенного ряда.
9. Найти область сходимости ряда 
10. Найти функцию , если 
, а 
.
11. Решить уравнение 
.
12. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
13 Найти множество точек на плоскости комплексной переменной 
, которое определяется условиями 
.
14. Вычислить предел 
.
15. Найдите 
, если 
.
16. Является ли функция 
дифференцируемой в точке 
? Если является, то найти 
.
Задачи
1-го тура олимпиады по математике
СГТУ имени
30.11.2012 г.
3 –5-й курс
1. 
.
Будет ли функция при непрерывной, дифференцируемой?
2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
.
3. Показать, что функция 
, непрерывна и ограничена на числовой прямой, не является равномерно непрерывной на этой прямой.
4. Найти предел 
.
5. Какая линия определяется уравнение 
?
6. Решить дифференциальное уравнение 
.
7. Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях 
, 
, 
, а одна из его вершин А имеет координаты (-1; 3; 1). Составить уравнения остальных граней параллелепипеда и его диагонали, проходящей через вершину А.
8. В треугольнике АВС точка М - середина стороны АС, точки К и L на сторонах АВ и ВС расположены так, что │АК│:│КВ│=3:5, а │ВL│:│LC│=2:3. Найти координаты вектора 
в базисе 
.
9. У билетной кассы стоят в очереди 
человек; из них имеют пятёрки, а остальные 
только десятки. Билет стоит 5 рублей. В начале продажи в кассе нет денег. Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придётся ждать сдачи?
10. Докажите неравенство
для всех допустимых значений 
.
Достигается ли знак равенства?
11. Найти объём общей части двух сфер 
и 
.
12. Вычислить интеграл 
, где С – квадрат с вершинами в точках 
.
13. При каких 
система неравенств 
не имеет решений?
14. Доказать, что для величин 
двугранных углов тетраэдра справедливо неравенство 
.
15. Доказать, что многочлен 
при любом 
имеет хотя бы один корень в интервале (-1; 0).
16. Найти сумму ряда 
.
