Задания и решения V олимпиады по математике на приз директора филиала ОмГПУ в г. Таре

Задания и решения V олимпиады по математике

на приз директора филиала ОмГПУ в г. Таре

09.02.2013

Задание 1. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, с и d выполняется неравенство

.

Решение. Так как и , то

и .

Следовательно,

.

***

Задание 2. Докажите, что число делится на 9.

Решение. Первый способ. Так как число при делении на 9 даёт остаток 1, то и число при делении на 9 даёт остаток 1. Следовательно, число при делении на 9 даёт остаток 0, т. е. это число делится на 9.

Второй способ. Так как делится на 9 и

,

то и делится на 9.

***

Задание 3. Внутри квадрата со стороной 20 выбраны 402 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек найдутся три такие, что площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше 1.

Решение. Очевидно, из данных точек можно выбрать три такие, что треугольник с вершинами в этих точках не будет содержать других точек. К одной из сторон этого треугольника пристроим ещё один треугольник с таким же свойством. Этот процесс построения треугольников можно продолжить до тех пор, пока не будут исчерпаны все заданные точки. Таким образом, получим 400 треугольников. Они не будут перекрываться, и все будут лежать внутри данного квадрата, площадь которого равна 400. Если среди них не найдётся треугольника, площадь которого меньше 1, то площадь всех этих треугольников будет не меньше 400, т. е. они не смогли бы поместиться в данный квадрат. Противоречие.

***

Задание 4. В окружность вписан прямоугольный неравнобедренный треугольник ABC с гипотенузой AB. На большем катете BC взята точка D так, что AC=BD, а точка E – середина дуги AB, содержащей точку C. Найдите угол DEC.

Решение. Так как точка Е – середина дуги АВ, то АЕ=ВЕ. Кроме того, вписанные углы САЕ и СВЕ, которые опираются на одну дугу, равны, и по условию АС=BD. Следовательно, треугольники АСЕ и BDЕ равны, а поэтому СЕА=BED. Но так как ,

то .

Задание 5. Найдите коэффициенты b и c, если известно, что они положительны, причём все четыре корня уравнения

являются действительными числами, и произведение этих корней равно 1.

Решение. Пусть – корни первого уравнения, и – корни второго уравнения. По теореме Виета и , и, как следует из условия, .

Так как уравнение имеет действительные корни, то

,

Но , а поэтому , и поскольку , то . Аналогично можно показать, что . Таким образом, , и . Следовательно, .