Ключи школьной олимпиады по математике.

5 класс.

1 . Заметим, что число, стоящее на 1-м месте, равно 1*2, на втором месте — 2*3, на третьем 3*4 и т. д. Значит, на 2011 месте будет стоять число 2011*2012=4046132. Ответ: 4046132.

2. (((x+5):3) ∙ 4-6):7 =2 Ответ.10.

3 Решение.

4. Сначала насыпем все 24 кг гвоздей на обе чашки весов так, чтобы они уравновесились. Тогда на каждой чашке окажется по 12 кг гвоздей. Отложим одну из этих куч, а другую таким же образом разделим на две по 6 кг. Опять одну из куч откладываем, а другие 6 кг делим на две части по 3 кг. В итоге у нас имеются 4 кучи гвоздей: 12, 6, 3 и 3 кг. Соединяя вместе кучи в 6 и 3 кг, получаем как раз 9 кг, а две другие кучи дают 15 кг.

5. После того, как лодырь последний раз перешел мост, у него оказалось ровно 40 рублей, которые он и отдал черту. Значит перед третьим переходом у него было 40:2=20 рублей. Аналогичным образом получаем, что перед первым переходом моста у лодыря было (20+40):2=30 рублей, а первоначально было (30+40):2=35 рублей.

Ответ: 35 рублей..

Ключи школьной олимпиады по математике.

6 класс.

1. 14/19, 15/19

2. Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя 2. В результате получаем число 8942. Старику Хоттабычу 8942 года.

3.  Начнем с конца. В правом стало на 3 рубля больше, вынем эти 3 рубля, тогда в 2-х карманах станет поровну, а в сумме 35-3=32 рубля. В каждом кармане станет по 32:2=16 рублей. Т. к. в левом кармане стало 16 рублей после того, как в него добавили столько же, сколько было, то в нем деньги увеличились в 2 раза, значит, вначале в левом кармане было 16:2=8 рублей, а в правом 35-8=27 рублей. Ответ: 27 и 8.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

4.Так как Володя учится в 6 классе, а Герасимов в 5 классе, то Володя не Герасимов. Так как отец Иванова – учитель, отец Володи – инженер, то Володя – не Иванов. Тогда Володя - Семенов, Миша – Иванов, а Петя – Герасимов.

5. Одно из возможных решений изображено на рисунке.


Ключи школьной олимпиады по математике.

7 класс.

1. +1- 2+4+8-16- 32+64=27

2. Увеличение на 10% означает умножение на 1.1. Уменьшение на 10% - умножение на 0,9. Разложив 8019 на множи=3∙3∙3∙3∙3∙3∙11=9∙9∙9∙11. Поэтому после трёх промахов и одного попадания у него окажется 80 рублей и 19 копеек.

3. а) цифр 10, а чисел -11, поэтому найдутся 2, оканчивающиеся на одну и туже цифру б) найдутся два числа, оканчивающиеся на одну и ту же цифру, тогда их разность будет делиться на 10.

4.

y=-3
 

5. В классе 35 учеников, из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

Решение. Если 10 ребят не посещают кружки, значит, 25 ребят посещают кружки. Поэтому 20+11–25=6 ребят посещают оба кружка.

Ключи школьной олимпиады.

8 класс

1. Обозначим за x = . Вычислим знаменатель рассматриваемой дроби:
x² – (x – 1)(x + 1) = x² – (x² – 1) = 1. Значит, величина дроби равна ее числителю, то есть 2011.

Ответ: 2011.

2. Корнями данных уравнений являются числа 2001/m и m/2001 соответственно. Тогда 2001/m =m/2001 , m2 = 20112 , m = ±2011.

Ответ: при m = ±2011.

3. В треугольниках ABK и MBC биссектрисы одновременно являются и высотами (см. рис.), поэтому эти треугольники — равнобедренные. Так как АВ > ВС, то точка M лежит на стороне АВ, а точка K — продолжении стороны ВС. Значит, BC = BM = 8 (см); AB = BK = BC + CK = 9 (см).

show_document

Ответ: AB = 9 см.

4. Соединим оба заданных условия и получим следующее утверждение: "В первом и втором ящиках орехов на 6 кг+10 кг меньше, чем в первом, втором и двух третьих". Отсюда следует, что в двух третьих ящиках 16 кг орехов, т. е. в третьем ящике 8 кг орехов.

Ответ:  8 кг.

5. Обратим внимание, что каждая из указанных фигур состоит из 16=4·4 клеток, значит, квадрат получится размера 4×4. Дальше надо постараться «увидеть» часть этого квадрата на рисунке и часть фигуры, которую надо отрезать и передвинуть.

Ключи школьной олимпиады по математике.

9 класс.

Решив систему уравнений, получим 24. Если , то данное квадратное уравнение с дискриминантом

Если , то уравнение имеет корень x=0

3. Среди 11 подряд идущих натуральных чисел есть два, делящихся на 5, и есть два ётных числа, поэтому их произведение оканчивается на два нуля. Заметим. Что a+(a+1)+ (a+2)+,,,+(a+10)= (a+5)∙11. Ели Вася взял 95,96, 97 и т. д., то сумма также будет заканчиваться на два нуля.

4. Необходимо разрезать треугольник по средней линии, а отрезанный треугольник ещё по высоте. Сложение получившихся частей в прямоугольник не составляет труда.

5. Квадрат, площадь которого равна 8

Решение олимпиадных заданий 10 класса

1. =

=

при а= - 2011 1-а=2012.

Ответ: 2012

2.

Ответ: 23

3. Выделим квадрат разности

Пусть

Ответ:

4. =1 Пусть х=2n+1

Это четное число Простое четное 2 У=2 х=3

Ответ: х=3, у=2

5. Решение

Решения задач

11 класс

1. ; ===;

===;

== + =8. Графиком является прямая у = 8.

2. ; ;

а) если х , то;;

2

б) если х , то;; -4

в ответ:

3. х2 + (5 – b )х – b -1 = 0; х12+х22 =(х1 +хх1· х2.

х1 +х2 = b – 5; х1· х2= – b -1; х12+х22 =( b – – b -1) = b2 -8b + 27=(b – 4)2 + 11.

При b = 4. Ответ: при b = 4.

C
 

D
 
4.

В
 

А
 
 

O
 

Ответ: ОС =см.

5. 1 – 2х – х2= -(х2 + 2х – 1) = - (х + 1)2 +2 при любых значениях х, равенство достигается при х = -1. Заметим, что tg2(x + y) + ctg2(x + y) при всех допустимых значениях х и у; равенство возможно тогда и только тогда, когда tg2(x + y) =1.

Таким образом, уравнение равносильно системе уравнений:

При х = -1 tg2(-1 + y) = 1, у – 1 = , у = 1+. Ответ: (-1; 1+).

6. а) При умножении каждого слагаемого суммы на произведение получится целое число. Значит, данное число – целое.

б) Сгруппируем слагаемые следующим образом =. Таким образом, выражение делится на 2013.