ЮЗГУ-2011
Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ © Каф. высш. матем.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Выражение вида
(1)
называется рядом. Последовательность 
, (2)
где S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3, …, Sn=a1+a2+a3+…+an… .
Если
, (3)
т. е. существует и конечен, то ряд (1) называется сходящимся; S – называют суммой ряда. Если (3) равен 
или не существует ряд (1) называется расходящимся.
Основной вопрос относительно ряда (1): сходится он или расходится?
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Св.1. Ряды
(4)
(5)
ведут себя одинаково ( или сходятся или расходятся).
Св.2. Ряды
и 
, где 
ведут себя одинаково.
Св.3. Если ряды 
, 
сходятся; А и В их суммы, то ряд 
сходится и 
его сумма.
Св.4 (необход. призн. сход.). Если рядсходится, то
.
Замечание1. Если , то ряд не обязательно сходится!
Замечание2. Если 
, то ряд расходится!
Это достаточный признак расходимости!
ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
1-признак срав.Пусть даны два ряда (1), (2).
Пусть начиная с некоторого N 
. Тогда
1) если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2);
2) если расходится ряд (2), то расходится и ряд (1).
2-признак срав.Пусть даны два ряда (1), (2).
Пусть 
.
1) Если 
и конечное число, то ряды ведут себя одинаково.
2) Если 
, то
А) если расходится (1), то расходится и (2);
В) если сходится (2), то сходится и (1).
3) Если 
, то
А) если расходится (2), то расходится и (1);
В) если сходится (1), то сходится и (2).
Признак Даламбера. Пусть дан ряд (1) и пусть
. Тогда
1) если L<1, то (1) сходится;
2) если L > 1, то (1) расходится;
3) если L = 1, то (1) может сходиться или расходиться.
Радикальный пр. Коши. Пусть дан ряд (1) и пусть
. Тогда
1) если L<1, то (1) сходится;
2) если L > 1, то (1) расходится;
3) если L = 1, то (1) может сходиться или расходиться.
Интегральный пр. Коши. Пусть дан ряд (1) и пусть на [1, ¥) определена непрерывная, не возрастающая функция f(x) такая, что f(1)=a1, f(2)=a2, f(3)=a3,…, f(n)=an… тогда несобственный интеграл 
(2) и ряд (1) ведут себя одинаково.
ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Пусть члены an ряда (1) произвольных знаков и пусть ряд из абсолютных величин (2) сходится. Тогда ряд (1) тоже сходится, причём абсолютно.
ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ
ЗНАКОЧЕРЕДУЮШИХСЯ РЯДОВ
Если все an > 0 , ряд 
называется знакочередующимся рядом.
Пр. Лейбница. Пусть дан ряд (1) и пусть выполняются условия
1) и 2) 
,
то ряд (1) сходится. Если S – его сумма, то 
.
Замечание. Условие (2) может выполняться, начиная с некоторого номера.
АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ
Рассмотрим два ряда (1) и (2).
1) Если (2) сходится, то (1) тоже сходится – абсолютно.
2) Если (2) расходится, а (1) - сходится, то говорят, что (1) сходится условно.
