Высшая математика. Программа, методические указания и задания для контрольной работы №1 для студентов первого курса экономических специальностей дистанционного образования (стр. 1 )

Министерство сельского хозяйства РФ.

Федеральное агентство по сельскому хозяйству.

ФГОУ ВПО Тюменская государственная сельскохозяйственная академия.

Высшая математика.

Программа, методические указания и задания для контрольной работы №1 для студентов первого курса экономических специальностей дистанционного образования.

Тюмень-2007

Утверждено

Редакционно-издательским Советом ТГСХА в качестве

методических указаний

Программа, методические указания и задания для выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика»

Составители: старший преподаватель кафедры математики

Научный редактор

, старший преподаватель, заведующий кафедрой математики

Обсуждено

на заседании кафедры математики

Протокол № 2 от «15» ноября 2006 г.

Одобрено

научно-методическим советом

института экономики и финансов.

Протокол № 3 от «15» ноября 2006 г.

Содержание.

стр.

1. Введение. 4

2. Методика изучения математики в высшем учебном

заведении. 5-10

3. Правила выполнения и оформления контрольных работ. 11-12

4. Программа по высшей математике. Первый курс. 13-16

1 семестр.

5. Литература. 16

6. Методические указания к выполнению контрольной

работы №

7. Тренировочные задания. 53-55

8. Правило и таблица выбора варианта. 56-58

9. Задания для контрольной работы №

Введение

Знания, приобретаемые студентом в результате изучения
математики, играют важную роль в процессе его обучения в
институте. Они необходимы для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин.

В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных технических задач, применяются в экономике и планировании.

Благодаря изучению математики студент приобретает также навыки логического мышления, необходимые каждому специалисту.

Учебные планы экономических специальностей вузов предусматривают три самостоятельных курса:

1.« Высшая математика (общий курс) ».

2.« Теория вероятностей ».

3.« Математическая статистика ».

4.« Эконометрика ».

Объем и содержание этих курсов определяются программами, утвержденными Учебно-методическим управлением по вузам Министерства высшего и среднего специального образования РФ, и не зависят от формы обучения (дневное, вечернее, заочное), но методика изучения их при различных формах обучения различна. Все дополнительные сведения, связанные, например, со спецификой учебных планов или с методикой изучения отдельных вопросов, (последовательность изложения материала и распределение контрольных работ и т. п.), сообщаются студентам кафедрами высшей математики вузов дополнительно к настоящему пособию.

Методика изучения математики в высшем учебном заведении студентами заочниками.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом по математическим курсам; она складывается из чтения учебников, решения задач, выполнения контрольных заданий. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций и практические занятия. Кроме этого студент может обратиться к преподавателю с вопросами для письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Но студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института будет достаточно эффективной.

Завершающим этапом изучения каждого из математических курсов (или отдельных частей общего курса высшей математики) является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

Чтение учебника.

1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые по их простоте опущены в учебнике), воспроизводя имеющиеся в учебнике чертежи.

2. Особое внимание следует обращать на определения основных понятий курса, которые отражают количественную сторону или пространственные свойства реальных объектов и процессов и возникают в результате абстракции из этих свойств и процессов. Без этого невозможно успешное изучение математики.

Студент должен подробно разбирать примеры, которые

поясняют такие определения. И уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждений. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательства сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих или не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.

4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. п.

На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для письменной или устной консультации с преподавателем.

5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены по порядку. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей

6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой. Чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запомнились. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

Решение задач.

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей для решения задачи, то он должен сравнить их и выбрать из них самый удобный.

Полезно до начала вычислений составить краткий план решения задачи.

3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке, при этом рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Ошибочные записи следует не стирать и не замазывать, а зачеркнуть.

Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения, например при графической проверке решения, полученного путем вычислений, то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.

4. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие, и, по возможности, в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны) входящих в нее букв. В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней.

5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного ответа.

Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

Самопроверка.

1. После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику.

Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, имеют целью помочь студенту в таком повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала.

В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, порешать задачи.

2. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

3. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории.

Консультации.

1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), он может обратиться к преподавателю для получения от него указаний в виде письменной или устной консультаций.

2. В своих запросах студент должен точно указывать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

З. За консультацией следует обращаться и в случае, если возникнут сомнения в правильности ответов на вопросы для самопроверки.

Контрольные работы

1. В процессе изучения математических курсов студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых - оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для консультации с преподавателем (письменной или устной ).

2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

3.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться не подготовленным к устному экзамену и зачету.

4.Не рекомендуется присылать в институт одновременно несколько работ - это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допускаемые им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.

5.Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления преподавателю прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета или экзамена.

Лекции и практические занятия.

Во время лабораторно-экзаменационных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие факты, указать главные практические приложения, факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно разобраны отдельные вопросы курса (например, методы приближенных вычислений и др.); могут быть также рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.

Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции и практические занятия проводятся в течение всего учебного года. Эти лекции и практические занятия носят более систематический характер, однако и они призваны оказать только помощь студенту в его самостоятельной работе.

Зачет и экзамен.

На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего отчетливое усвоение всех теоретических и прикладных вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должны проделываться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть аккуратной и четкой. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым к программам.

При подготовке к экзаменам учебный материал рекомендуется повторять по учебнику и конспекту.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

Первая и вторая контрольные работы выполняются студентом на первом курсе.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1.Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, номер контрольной работы, дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента.

2.Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях.

3.Перед решением каждой задачи нужно полностью переписывать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

Например, условие задачи 1 должно быть переписано так:

1. Даны вершины А (3;0), В (-5;6), С (-4;1) треугольника. Найти: 1) длину стороны АВ; ... и т. д.

4.Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.

5.Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге), выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

6.На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.

7.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме.

Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.

8.Получив из института прорецензированную работу (как зачтенную, так и не зачтенную), студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

9.В межсессионный период или во время лабораторно-экзаменационной сессии студент должен пройти на кафедре высшей математики собеседование по зачтенной контрольной работе.

Программа по высшей математике.

За первый курс.

I семестр.

I. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

1. Числовая ось. Декартова система координат на прямой, на плоскости, в пространстве. Координаты точки.

2. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

3. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой, проходящей через одну; через две точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пересечение двух прямых.

4. Неравенства первой степени. Решение неравенства. Графическое решение системы линейных неравенств.

5. Канонические уравнения кривых вторых порядка: окружности, параболы, эллипса, гиперболы.

Самостоятельная работа 10 часов

II. Введение в математический анализ.

Предел, непрерывность функции.

6. Множество действительных чисел. Абсолютная величина действительного числа. Свойства абсолютных величин. Числовые промежутки.

7. Постоянные и переменные величины. Понятие функции с одной переменной. Область определения, область изменения функции. Способы задания функции. График функции. Свойства и графики элементарных функции.

8. Понятие числовой последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая числовые последовательности. Связь между ними. Понятие предела числовой последовательности (два определения).Теорема о существовании предела монотон-

ной, ограниченной последовательности. Предел постоянной и бесконечно малой. Сравнение бесконечно малых величин. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного числовых последовательностей.

9. Предел функции в точке. Первый и второй замечательный пределы. Раскрытие неопределенностей.

10. Приращение аргумента и функции в точке. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функций.

Лекции 2 часа

Практические занятия 2 часа

Самостоятельная работа 27 часов

Ш. Дифференциальное исчислений функции одной переменной.

11. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной; ее геометрический, механический, экономический смысл. Связь непрерывности с дифференцируемостью.

12.Правила дифференцирования функции. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Таблица производных. Производные высших порядков.

13. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Применение производной к вычислению пределов./Правило Лопиталя /.

14. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производной к исследованию функции.

Возрастание, убывание функции. Признаки возрастания, убывания функции. Понятие экстремума функции. Необходимый признак экстремума функции. Первый и второй достаточные признаки экстремума,

15.Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построение ее графика.

Лекции 4 часа

Практические занятия 4 часа

Самостоятельная работа 30 часов

IV. Дифференциальное исчисление функции двух переменных.

16. Определение функции двух независимых переменных. Область определения. Частные и полное приращения функции с двумя переменными. Предел непрерывной функции с двумя переменными.

17. Частные производные, частные и полный дифференциалы функции с двумя переменными. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Частные производные высших порядков.

18.Экстремум функции двух переменных. Понятие максимума, минимума. Необходимый и достаточный признаки экстремума. Нахождение наименьших, наибольших значений функции. Задача обработки наблюдений. Метод наименьших квадратов. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов.

Лекции 2 часа

Самостоятельная работа 20 часов

V. Интегральное исчисление

19.Понятие первообразной; неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям. Интегрирование рациональных дробей.

20.3адачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла, как предела интегральных сумм. Теорема существования. Свойства определен­ного интеграла. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования для определенного интеграла. Приложение определенного интеграла к решению задач.

21. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Понятие сходящихся и расходящихся интегралов. Интеграл Пуас­сона. Геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов.

Лекции 2 часа

Практические занятия 4 часа

Самостоятельная работа 10 часов

Контрольная работа 60 часов

Литература

1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией проф. . – М.: Юнити, 2001

2. Баврин. математика. М.: Академия, 2002

3. Зайцев математика. Учебное пособие для неинженерных специальностей с.-х. Вузов. – М.: Высшая школа, 1991

4.Шипачев математика– М.: Высшая школа, 1996

5. Лихолетов математика, теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Высшая школа, 1976

6. , , . Высшая математика для экономических ВУЗов – ч. 1 – М.: Высшая школа, 1982

7. сборник задач по высшей математике. –М.: Наука, 1987

8. , - ч. 1,2 - М.: Высшая школа, 1974

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

В предлагаемых методических указаниях решены задачи, анало­гичные тем, которые даются студентам-заочникам в контрольных ра­ботах; обращено внимание на основные трудности и типичные ошиб­ки, которые допускаются при выполнении контрольных работ.

Перед решением каждой задачи предлагаем ознакомиться с ос­новными вопросами теории. Перечисленные ниже вопросы по каждой теме являются основными при защите контрольных работ.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Первая контрольная работа посвящена темам: «Аналитическая геометрия на плоскости», «Введение в математический анализ»,

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Дифференциальное исчисление функции с двумя переменными», «Интегральное исчисление».

Задачи 1-10

Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Аналитическая геометрия на плоскости»:

1. Метод координат на плоскости. Расстояние между двумя точ­ками на плоскости А(х1;у1) и В(х2;у2):

2. Деление отрезка пополам (нахождение середины отрезка):

;

3. Угловой коэффициент прямой: k = tgα, где α- угол наклона прямой к оси ОХ, 0 ≤ α < π

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: у = kx+b.

5. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (хо;уо) в данном направлении (уравнение пучка прямых):

у - уо = k (х - хо).

6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1;у1) и (х2;у2): ,

7. Общее уравнение прямой Ах + By + С = 0, его частные случаи: Ах+Ву=0, Ах+В=0, Ву+С=0.

8.  Угол между двумя прямыми:

где k1 и k2 - угловые коэффициенты данных прямых.

9. Условие параллельности двух прямых: k1 =k2.

10. Условие перпендикулярности двух прямых:

11. Расстояние от точки до прямой

Обратите внимание, что уравнение прямой, в каком бы виде оно ни было записано, является уравнением первой степени.

Задача. Даны вершины треугольника А(2;1), В(-4;4), С(-1,5). Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001;

3) уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;

4) уравнение медианы BE, проведенной через вершину В;

5) точку пересечения высоты CD и медианы BE;

6) длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис 1).

Построим точки А(2;1), В(-4;4), С(-1;5) в прямоугольной сис­теме координат и, соединив их отрезками прямых, получим тре­угольник ABC. Проведем высоту CD и медиану BE, уравнения кото­рых нужно найти.

Рис. 1

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точ­ками А(2;1) и В(-4;4) по формуле:

2. При ответе на вопрос пункта 2 (найти внутренний угол) вос­пользуемся чертежом. Отметим искомый угол А дугой и на ней по­ставим стрелку, показывающую направление, противоположное дви­жению часовой стрелки. Первой будет та прямая, от которой, направлена стрелка. Так, на рис. 1 первая прямая АС, вторая - АВ.

Следовательно, в формуле надо положить и

Найдем указанные угловые коэффициенты прямых. Для этого нет необходимости составлять их уравнения, проще воспользоваться формулой, где угловой коэффициент прямой находится по координа­там двух ее точек.

Так, в нашем примере:

тогда

Заметим что tg A > 0, так как угол А - острый.

Из таблицы (например, Брадиса) видно, что такое значение тан­генса соответствует углу А=26°34/.

Обратите внимание на то, что ответ следует дать в радианах. Для перевода градусов в радианы можно воспользоваться соответствую­щими таблицами, либо формулой:

α - угол в градусах.

Итак, в радианах угол 3. Составим уравнение высоты CD. Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Угловой коэффициент прямой АВ был найден ранее:

kAВ = -1/2

По условию перпендикулярности двух прямых

Уравнение высоты СD cоставим по известной точке С (-1;5)

найденному угловому коэффициенту, воспользовавшись урав-

нением ; пучка прямых: .

Ответ обычно дают в виде уравнения с целыми коэффициентами и с правой частью, равной нулю. Преобразуем полученное уравнение:

;

Замечание. Возьмите себе за правило проверять полученные результаты, причем это следует делать не простым повторением проделанных действий, а каким-либо другим способом. Например, полученное уравнение высоты СD проверьте, подставив в него координаты точки С, при этом должно получиться тождество.

Действительно: 2– 5 + 7 = 0.

4. Уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В, составляется по координатам двух точек В и Е. Координаты точки В известны, а координаты точки Е находим как координаты середины отрезка АС по формулам деления отрезка пополам: ;

В рассматриваемой задаче

;

Имея две точки В(-4;4) и Е (1/2;3) Запишем уравнение ВЕ:

а именно:; (BE)

5. Координаты точки пересечения высоты СD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений СD и ВЕ:

Итак, К(-1,75; 3,5), что соответствует чертежу на рис. 1.

б. Длина высоты СD есть расстояние от вершины С до стороны АВ. Поэтому длину высоты находим по формуле расстояния от точки до прямой

В данной задаче С (-1;5), а уравнение стороны АВ можно составить, используя уравнение пучка прямых:

, где и

Тогда

Задачи 11-20

Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Кривые второго порядка»

1. Что называется кривой второго порядка?

2. Канонические уравнения кривых второго порядка. Графики этих кривых:

а) окружность:

б) эллипс: ;

в) гипербола: ;

г) парабола: (с осью симметрии Оу),

(с осью симметрии Ох).

З. Параллельный перенос системы координат. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Указанные виды кривых исчерпывают все виды кривых второго порядка (исключая случаи вырождения).

В результате решения задачи вы должны получить одну из названных кривых и построить ее в прямоугольной системе координат.

Задача. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5;0) и до прямой равно.

Решение. Построим в системе координат точку F(5;0) и вертикальную прямую Х=1(рис.2).

Рис.2.

Пусть М (х, у) - произвольная (текущая) точка искомой линии.

На рис. 2 изображены расстояния от этой точки до заданной точ­ки F, то есть MF, и до заданной прямой: х=1, то есть MN. Обратите внимание, что MN - перпендикуляр к заданной прямой и поэтому точ­ка N имеет (как и точка М) ординату, равную у: N(1 ;у).

По условию задачи

Выразим длины отрезков MF и MN через координаты их концов по формуле расстояния между точками:

;

Тогда по условию

Это и есть уравнение искомой линии. Упростим его, возведя в квадрат обе части уравнения и сделав другие преобразования: ; ; ;

Разделим обе части уравнения на 20:

Это каноническое уравнение гиперболы. Из него видно, что дей­ствительная полуось гиперболы 2,25, мнимая полуось .

Центр симметрии гиперболы находится в начале координат. Для построения гиперболы отложим на осях координат в обе стороны от начала координат полуоси гиперболы и .

Через полученные точки «-а» и «а» на оси Ох и точки «-b» и «b» на оси Оу построим вспомогательный прямоугольник (рис. 3). Проведем диагонали этого прямоугольника, которые являются асим­птотами гиперболы: к ним будут неограниченно приближаться ветви гиперболы, Построим кривую, как указано на рис. 3. Задача решена.

Рис. 3

Замечание. Если бы в этой задаче после преобразований вы получили уравнение

, то оно определяет эллипс, порядок построения которого ясен из рис.4.

Рис.4

Замечание. Если в задаче вашего варианта после преобразований в уравнении наряду с членами и присутствуют члены, содержа­щие первые степени или , то следует выделить полный квадрат (соответственно по или по ).