Программа дисциплины Математический анализ (IV семестр)

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Прикладной математики и кибернетики

Программа дисциплины Математический анализ (IV семестр)

для направления 090102 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста

Автор программы: , кандидат физ.-мат. наук, доцент, *****@***ru

Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2013 г

Зав. кафедрой

Москва, 2013

1 Цели и задачи дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются:

- обеспечение приобретения знаний и умений в соответствии с государственным

образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования,

формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного

мышления;

- ознакомление студентов с основными понятиями и методами криволинейных

интегралов и преобразования Фурье.

2  Место дисциплины в структуре ООП специалиста

Дисциплина «Математический анализ» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла. Она обеспечивает фундаментальные знания и формирует умения и навыки, необходимые для изучения всех математических дисциплин прикладных направлений.

3  Требования к результатам освоения содержания

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика»:

а) общекультурных (ОК):

- владеть культурой мышления, иметь способность к обобщению, анализу,

восприятию информации, постановки цели и выбору путей её достижения (ОК-1);

- уметь логически верно, аргументировано строить устную и письменную речь (ОК-2);

- стремиться к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (О-9);

- использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной

деятельности, применять методы математического анализа и моделирования (О-12);

б) профессиональных (ПК):

- быть готовым к самостоятельной работе (ПК-1);

- быть способным использовать современные прикладные программные средства и

осваивать современные технологии программирования (ПК-2);

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

- основные понятия теории криволинейных интегралов I и II рода;

- понятия ряда Фурье в комплексной форме;

- понятие интеграла Фурье, преобразования Фурье и их свойства.

В результате изучения дисциплины студент должен уметь:

- вычислять криволинейные интегралы I и II рода;

- представлять функции в виде комплексного ряда Фурье и интеграла Фурье;

- находить преобразование Фурье для заданных функций и исследовать их свойства.

В результате изучения дисциплины студент должен владеть:

- методами вычисления криволинейных интегралов I и II рода;

- методами представления функции в виде комплексного ряда Фурье;

- методами нахождения преобразования Фурье.

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Данный раздел «Математического анализа» относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин, а также к блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку студентов. Изучение данного раздела основывается на знаниях и умениях, приобретённых ими при освоении предшествующих разделов «Математического анализа», а также базируется на использовании знаний из курсов «Аналитическая геометрия», и «Линейная алгебра».

Основные положения лекционного курса должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

- Дифференциальные уравнения

- Теория функций комплексного переменного

- Функциональный анализ

- Теория вероятностей и математическая статистика

- Теория информации

- Основы криптографии.

5 Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Криволинейные интегралы.	32	8		8	16
2	Ряды Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.	16	4		4	8
3	Преобразование Фурье и его свойства.	28	6		8	14
	Итого:	76	18		20	38

6  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	2 год	Параметры
Четвёртый семестр
Текущий	Контрольная работа	6-я неделя	Письменная работа (40 минут)
10-я неделя	Письменная работа (40 минут)
15-я неделя	Письменная работа (40 минут)
Домашнее задание	2-я неделя
	9-я неделя
Итоговый	Экзамен		Устный

6.1 Критерии оценки знаний студентов

Контрольная работа состоит в решении стандартных задач по материалам курса, требующих технических навыков. Выставляемая оценка пропорциональна количеству правильно решённых задач.

Контрольное домашнее задание требует от студентов решения трудоёмких стандартных задач. Выставляемая оценка пропорциональна количеству правильно решённых задач.

На экзамене проверяется умение студента формулировать и доказывать теоремы курса, опираясь на соответствующие определения.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти бальной шкале.

6.2 Формирование оценок по дисциплине

В 4 семестре проводится 3 контрольные работы.

Онакопл.4 = 0,33·Оконтр. р.1 + 0,33·Оконтр. р.2 + 0,34·Оконтр. р.3

Орез.4 = 0,5·Онакопл.4 + 0,5·Оэкзам.

Итоговая оценка (идущая в диплом) по математическому анализу формируется следующим образом

Оитог. = 0,28·Орез.1 + 0,39·Орез.2 + 0,22·Орез.3 + 0,11·Орез.4

В формуле итоговой оценки веса Qi учитывают объём аудиторных часов, отводимых на дисциплину в семестре.

7  Содержание дисциплины

Раздел 1. Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы I и II рода. Поле вектора, примеры векторных полей. Потенциальное поле, потенциал, ротор вектора, дивергенция вектора. Нахождение потенциала по плоскому потенциальному полю. Работа в потенциальном поле: независимость от пути интегрирования, интегрирование по замкнутому контуру. Формула Грина и её применение для нахождения площади фигуры.

Раздел 2. Ряды Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.

Тождество Эйлера. Ортогональные на отрезке [0,2π] комплексные функции. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье. Достаточный признак Дини сходимости интеграла Фурье.

Раздел 3. Преобразование Фурье и его свойства.

Преобразование Фурье. Нахождение преобразований Фурье для некоторых специальных функций. Свойства преобразования Фурье Теоремы Хелли и теорема сходимости. Формула обращения преобразования Фурье. Косинус – преобразование Фурье.

8  Лабораторный практикум

Не планируется.

9  Тематика курсовых работ

Не планируется.

10  Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература:

1. . Курс дифференциального и интегрального исчисления

Тт.2.3. 8-изд. М.;Физматлит, 2006.

2. . Краткий курс математического анализа. Тт.1,2

М.;Физматлит.2003.

3. . Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

(для вузов), М.;АСТ:Астрель,2007

4. Сборник задач по математическому анализу. Тт.2.3

2-е изд. М.;Физматлит,2003

Типовые варианты контрольных работ.

Контрольная работа № 1 (40 мин.)

Вычислить координаты центра тяжести ломаной ОАВ : О(00), А(4,3), В(4,0),

используя интегралы первого рода.

Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля

ā = ū x gradF, если ū = ί x j x k, F = xy + xz +y z .

Контрольная работа № 2 (40 мин.)

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

Г = { y = sin x, 0 ≤ x ≤ π, x возрастает }

∫ (xy)dx

г

Доказать, что векторное поле

ā = (exp3x + 2cos2x sin3y)ί + (3sin2xcos3y + √y)j

является потенциальным. Найти потенциал и вычислить работу поля на пути

от А(0,1) до В(2,1).

Контрольная работа № 3 (40 мин.)

Представить функцию f(x) = exp(-α|x|), (α>0) интегралом Фурье. Найти преобразование Фурье функции

F(x) = cos x, (|x |< 0,5π ).

Автор программы профессор