НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Смоленский институт бизнеса и предпринимательства
Расчетное задание
по курсу
МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Выполнил студент Группа:
Проверил к. т.н., доц.
2011 г.
1. Предел функции
Вычислить предел функции:
;
Решение:
Вычислить предел функции:
Решение:
2. Производная функции одной переменной
Найти производную заданной функции:
Решение:
Найти производную заданной функции:
Решение:
Найдем производную функции:
Прологарифмируем обе части равенства
Продифференцируем обе части равенства:
=
3. Применение производных для исследования функций
Провести полное исследование функции и построить ее график:
Решение:
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая. Точки пересечения с осями: с Ох: Y=0
С Оу: х=0,
- точка разрыва. Исследуем поведение функции в окрестности точки. 
Т. к. Д=-247<0, уравнение имеет два комплексных корня: 1.25 + i × 3.9291 и 1.25 - i × 3.9291
и 
- критические точки делят область определения на 4 промежутка
При 
функция убывает
При 
функция убывает
При 
функция убывает
При 
функция убывает
- точка локального минимума
- точка локального минимума
4. асимптоты:
Тогда асимптота имеет вид, 
4. Экстремум функции двух переменных
Найти экстремум функции двух переменных:
Решение:
Находим частные производные
Решаем систему
Находим вторые частные производные
Находим определитель:
Т. к. определитель больше нуля, то функция в точке 
имеет экстремум, и т. к. А=2>0, то это точка минимума.
5. Разложение функции в ряд Тейлора
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки x0. Указать четыре члена ряда.
Решение
Ряд Тейлора:
Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки х0=0 функцию 
Тогда,
Ответ: 
6. Вычисление определенного интеграла
Вычислить определенный интеграл. Для упрощения разложения знаменателя на множители, задается один из корней знаменателя.
Определенный интеграл Корень знаменателя
Решение
зная, что один из корней х=-1, тогда
У уравнения 
корней нет
разложим подынтегральную дробь на сумму простейших
ответ: 
7. Исследование сходимости ряда
Записать формулу общего члена ряда. Исследовать сходимость ряда, используя достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Заданный ряд Заданный ряд
Решение:
а) имеем ряд 
Исходя из признакак Д’Аламбера 
Следовательно ряд сходится.
б) имеем ряд 
общий член ряда 
Исходя из признакак Д’Аламбера 
Следовательно ряд сходится.
8. Решение дифференциальных уравнений
Записать вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Решение:
Характеристическое уравнение
Его корни
х=0 х=0 х=0 х=1
корень х=0 имеет кратность 3 и правая часть – многочлен второй степени, значит, общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, будет:
Решение:
Характеристическое уравнение
Его корни
х=-1 х=1 х=1
правая часть – произведение многочлена первой степени и функции вида 
, где а=2
корень х=1 имеет кратность 1
значит, общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, будет:
