Несколько общих рекомендаций.
Прежде всего вспомним, что 1% - это 0,01.
Полезно также запомнить: при решении задач на проценты число, с которым сравнивают другое число, принимают за 100%.
Пример 1. сколько процентов составляет каждое из чисел 2 и 8 по отношению к другому?
Решение. Найдем сначала, сколько процентов составляет число 2 от 8. Число, с которым сравнивают, - это число 8. Значит, именно его примем за 100%, тогда число 2 примем за х%: 8 – 100%
2 –х%, отсюда х =2*100%/8=25%.
Итак, число 2 составляет 25% от числа 8.
Аналогично, чтобы найти, сколько процентов составляет число 8 от числа 2, примем число 2 (с которым сравнивают) за 100%, а число 8 – за у%:
2 – 100%
8 – у%, отсюда у=8*100%/2=400%
Следовательно, число 8 составляет 400% от числа 2.
Ответ: 25% и 400%.
Напомним основные соотношения и выражения, встречающиеся при решении задач на проценты.
Предложение «Число а составляет р% от числа b» выражается равенством а=b/100*р. Предложение «Число а увеличили на р%» представляется выражением а(1+0,01*р). Предложение «Число а увеличили сначала на р%, а потом еще на q%» представляется выражением а(1+0,01*р)(1+0,01* q). Предложение «Число а уменьшили на р%» представляется выражением а(1-0,01*р).5. Предложение «Число а увеличили на р%, а потом уменьшили q%» представляется
выражением а(1+0,01*р)(1-0,01* q).
6. При ответе на вопрос «На сколько процентов число а больше числа b?» требуется
найти значение выражения (а-b)/b*100%.
Пример 2. Число а составляет 40% от числа b, а число с составляет 120% от числа b. Найти числа а, b, с, если известно, что а меньше с на 72.
Решение. Согласно пункту 1 и условию задачи
а=0,4b
с=1,2b
с-а=72, отсюда 1,2b – 0,4b=72, b=90, а=36, с=108.
Ответ. 36, 90 и 108.
Пример 3. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если первое из них увеличить на 25%, а второе уменьшить на 60%?
Решение. Пусть а – первое число, b – второе число, аb – их произведение. Согласно выражениям, указанным в пунктах 2 и 4, новое значение первого сомножителя равно а(1+0,01*25)=1,25а, новое значение второго сомножителя равно b(1-0,01*60)=0,4b, а их произведение 1,25а*0,4b=0,5ab. Понятно, что произведение уменьшилось в 2 раза, т. е на 50%
Ответ. Уменьшится на 50%.
Примечание. При сравнении произведений ab и 0,5ab можно также воспользоваться выражением, приведенным в пункте 6: ((0,5ab-ab)/ ab)*100%=(ab-0,5ab)/ ab*100%=50%.
Пример 4. Количество учеников в VII классах школы на 35% больше, чем в VIII, а в VIII– на 25% больше, чем в IX. Сколько учеников в каждой из этих параллелей, если всего в VII – IX классах обучается 315 человек?
Решение. Т. к. в основе сравнения – количество учеников IX классов, примем это количество за 100%.
Пусть в IX классах школы обучается х человек. Тогда, в соответствии с пунктами 2 и 3, в VIII классах обучается 1,25х человек, а в VII – 1,35*1,25х человек. По условию задачи составим уравнение х+1,25х+1,35*1,25х=315, из которого х=80.
Итак, в IX классах обучается 80 человек, в VIII классах 1,25*80=100 человек, в VII классах обучается 315-(80+100)=135 человек.
Ответ. 135, 100, 80 человек.
Пример 5. Две бригады, работая вместе, изготовили за смену 144 детали. После того как первая бригада повысила производительность труда на 15%, а вторая на 25%, вместе они стали изготавливать за смену 172 детали. Определите, сколько деталей стала изготавливать за смену каждая бригада после повышения производительности труда.
Решение. Пусть первая и вторая бригады за смену изготавливают х и у деталей соответственно. По условию задачи х+у=144.
В результате повышения производительности труда первая бригада стала изготавливать за смену 1,15х деталей, а вторая – 1,25у деталей (согласно пункту 2). По условию задачи 1,15х+1,25у=172.
Решив систему уравнений
х+у=144
1,15х+1,25у=172, получим х=80, у=64.
После повышения производительности труда первая бригада стала изготавливать 1,15*80=92 детали, а вторая бригада 1,25*64=80 деталей.
Ответ. 92 и 80 деталей.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Три коробки наполнены конфетами. Во второй коробке конфет на 10% больше, чем в первой, и на 30% больше, чем в третьей. Сколько конфет в каждой коробке, если известно, что в первой их на 160 штук больше, чем в третьей?
Ответ. 1040, 1144, 880 конфет.
Задача 2. Реконструкция железнодорожных путей позволила увеличить на 20% скорость движения поездов на участке длиной 240 км. В результате время прохождения поездами этого участка сократилось на 48 минут. За какое время поезда стали проходить этот участок?
Ответ. За 4 часа.
Задача 3. Фабрика за первую неделю выполнила 20% месячного плана, за вторую неделю произвела 120% продукции, выпущенной за первую неделю, а за третью неделю 60% продукции, выпущенной за первые две недели вместе. Определите месячный план выпуска продукции, если известно, что для его выполнения за последнюю неделю месяца необходимо изготовить 2960 единиц продукции.
Ответ. 10000 единиц продукции.
Задача 4. Урожайность на втором поле на 10% больше, чем на первом, а на третьем на 35% больше, чем на первом. Какова урожайность на втором поле, если средняя урожайность на трех полях составляет 46 ц/га?
Ответ. 44 ц/га.
Задача 5. Вторая бригада выполняет заказ на 1 ч быстрее первой. Если бы производительность труда первой бригады была на 25% меньше, а второй – на 40% больше, вместе они выполняли бы заказ за 2 ч. За какое время выполняет заказ одна вторая бригада?
Ответ. За 4 ч.
Задача 6. В настоящее время в поселке 46656 жителей. Известно, что за последние годы население в поселке ежегодно увеличивалось на 8%.сколько жителей было в поселке 2 года назад?
Ответ. 40000 жителей.
Задача 7. За первую поездку автомобиль израсходовал 20% имевшегося в баке бензина, а за вторую – 25% оставшегося бензина, после чего в его баке осталось на 11 л больше, чем было израсходовано за обе поездки. Сколько литров бензина было в баке первоначально?
Ответ. 55 л.
Задача 8. При подготовке к экзамену ученик прочитал в первый день несколько десятков страниц учебника. В дальнейшем он ежедневно увеличивал количество прочитанных страниц на к%. При этом во второй день он прочитал на 20 страниц больше, чем в первый, а за третий день, прочитав 125 страниц, закончил чтение учебника. Определите, сколько страниц в учебнике.
Ответ. 305 страниц.
Задача 9. В трех бочках была вода, причем в первой бочке ее было столько же, сколько в третьей. Из первой бочки перелили 30% воды во вторую бочку, а затем из второй перелили 40% воды в третью, в результате чего в третьей бочке воды стало на 32% больше, чем было до переливания. Сколько воды отлили из первой бочки, если известно, что во второй бочке первоначально было 60 л воды?
Ответ. 36 л.
Задачи, связанные с изменением цены.
Решение подавляющего большинства задач этого вида опирается на применение следующих основных формул, в которых буквами S0 и S обозначены первоначальная и новая (окончательная) цена некоторого товара соответственно.
После повышения ценытовара на а% ее новое значение S= S0 (1+а*0,01), а после снижения цены на а% S = S0 (1-а*0,01). В результате повышения цены товара на а% и последующего понижения на b% ее новое значение S = S0 (1+а*0,01)(1-b*0,01).
Аналогично, если цена сначала понизилась на а%, а затем повысилась на b%, то
S = S0 (1-а*0,01)(1+b*0,01).
3. Если цена товара повышалась п раз на а%, то ее окончательное значение
S= S0 (1+а*0,01) п , а если цена понижалась п раз на b%, то S= S0 (1-b*0,01) п
Как показывает практика, многим легче понять и запомнить это формулы, если представить их в виде наглядных схем (рис.1).
с% S0 (1+а*0,01)(1+с*0,01)
а% S0 (1+а*0,01).
S0 d% S0 (1+а*0,01)(1-d*0,01)
Рис. 1
Эта схема без труда прочитывается: исходная цена S0 сначала повысилась на а% (на это указывает стрелка, направленная вправо вверх), а затем повысилась еще на с% (стрелка вправо вверх) или понизилась на d% (стрелка вправо вниз). Концы стрелок указывают результат преобразований исходной цены.
Пример 1. Первоначальная цена товара составляла S0 руб., а новая цена S рассчитывается по формуле S = S0 (1+0,01*а). Определите, как изменилась цена товара и чему равен процент этого изменения.
Решение. Выражение S0 (1+0,01*а) имеет стандартный вид (см. пункт 1). Знак «+» в скобках указывает на повышение цены, а коэффициент а – на размер повышения (в процентах).
Ответ. Повысилась на а%.
Пример 2. Новая цена S товара рассчитывается по формуле S = S0 (1-12*0,01), где S0 – его первоначальная цена. Повысилась или понизилась цена на товар и на сколько %?
Решение. В выражении S0 (1-12*0,01) знак «-» в скобках говорит о том, что цена товара понизилась, а множитель при 0,01 (число 12) показывает, на сколько %.
Ответ. Понизилась на 12%.
В условии задачи выражение, стоящее в правой части формулы, может быть записано иначе. По невнимательности легко упустить это из виду, что может привести к ошибке. Чтобы избежать ее, необходимо предварительно преобразовать данное выражение – привести его к стандартному виду.
Пример 3. Первоначальная цена товара равна S0, а новая цена S задается формулой
S = S0 +0,2*S0. Определите характер изменения цены и процент этого изменения.
Решение. Приведем выражение, стоящее в правой части данной формулы, к стандартному виду: S0 +0,2*S0 = S0 (1+0,2) = S0 (1+20*0,01). Теперь легко ответить на оба вопроса.
Ответ. Повысилась на 20%.
Пример 4. Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли цена товара и если да, то на сколько процентов?
Самые нетерпеливые ответят: «Первоначальная цена не изменилась». Думающие ученики рассуждают приблизительно так: «Первоначальная цена понизилась на 5%, в результате чего новая сумма оказалась меньше исходной. Затем полученная сумма повысилась на 5%. Но теперь на 5% приходится сумма меньше той, на которую исходная цена понизилась. Значит, в результате указанных преобразований первоначальная цена понизилась». Остается вычислить % понижения.
Решение. Составим схему преобразований.
S0 S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01)
5% S0 (1-5*0,01) 5%
Имеем: S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01) = S0 (1-25*0,0001) = S0 (1-0,25*0,01).
Итак, первоначальная цена понизилась на 0,25%.
Ответ. Понизилась на 0,25%.
Подумайте, изменится ли результат, если цена товара сначала повысится на 5%, а затем понизится на 5%. Результат не зависит от порядка проводимых преобразований: полученное во втором случае выражение S0 (1+5*0,*0,01) тождественно равно рассмотренному ранее выражению S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01). Таким образом, и в этом случае первоначальная цена понизится на 0,25%.
Пример 5. Цена на некоторый товар сначала поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30%, и его новая цена стала равна новой цене первого товара. Какова исходная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 1,25 тыс. руб.?
Решение. Пусть искомая цена первого товара х тыс. руб. Отобразим схематично указанные в задаче преобразования цен.
30% х(1+25*0,01)(1+30*0,01)
25% х(1+25*0,01)
х
преобразование цены на первый товар
30% 1,25(1+30*0,01)
1,25
преобразование цены на второй товар
По условию задачи новые цены обоих товаров равны, следовательно, получаем уравнение х(1+25*0,01)(1+30*0,01) = 1,25(1+30*0,01), откуда х=1.
Ответ. 1 тыс. руб.
Пример 6. Некоторый товар стоил 3150 руб. после двух последовательных понижений цены он стал стоить 1512 руб. Сколько стоил товар после первого понижения цены, если второе понижение было на 20% больше, чем первое?
Решение. Обозначим за х процент первого понижения цены, тогда процент второго понижения – (х+20)%. Составим схему преображений цены товара.
3150
х% 3150(1-х*0,01)
(х+20)% 3150(1-х*0,01)(1-(х+20)*0,01)
Зная, что окончательная цена товара 1512 руб., составим уравнение
3150(1-х*0,01)(1-(х+20)*0,01)=1512.
Решив его, получим: х=160 или х=20.
Первый корень не подходит по смыслу задачи (иначе продавец раздавал бы товар, доплачивая покупателям 60% его стоимости).
Ответ на вопрос задачи получим, найдя значение выражения 3150(1-х*0,01) при х=20:
3150(1-20*0,01)=3150*0,8=2520.
Ответ. 2520 руб.
Пример 7. После двух последовательных понижении цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго понижения был на 5% больше, чем процент первого?
Решение. Пусть искомая цена первого товара х руб., а процент первого понижения цены у%. Тогда процент второго понижения составляет (у+5)%. Изобразим схему преобразований цены товара.
По условию задачи после первого снижения цена товара составила 3200 руб. Составим уравнение х(1-у*0,01)=3200.
х%
у% х(1-у*0,01)
(у+5)% х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)
После двух снижений цена товара стала равна 2400 руб. Значит, второе уравнение имеет вид х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)=2400.
В результате получаем систему уравнений
х(1-у*0,01)=3200
х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)=2400
Ее решение – пара чисел х=4000, у=20
Ответ. 4000 руб.
Примечание. Обратите внимание на такой момент: коль скоро в задаче спрашивается о первоначальной цене, обозначенной за х, то, решая систему, достаточно найти лишь значение переменной х. Значит, целесообразно выразить переменную у через х и решить только одно уравнение – относительно х.
Кроме того, полезно решить эту задачу, введя только одну переменную. Рассмотрим и это решение, поскольку оно поясняет важный момент: как выражается процент изменения (повышения или понижения) цены через исходную и конечную цены товара.
Итак, пусть х руб. – первоначальная цена товара, а 3200 руб. – цена после первого понижения. Так как мы сравниваем 3200 руб. с х руб., исходную цену следует принять за 100%. Тогда новая цена составит (3200*100/х)% от нее, а процент первого понижения цены будет равен (*100/х)%.
Рассуждая аналогично, можно выразить процент второго понижения цены. Теперь за 100% примем цену 3200 руб. Окончательная цена 2400 руб. составит (2400*100/3200)%=75% от нее. Следовательно, второй раз цена понизилась на (100-75)%=25%.
По условию задачи второе понижение цены было на 5% больше, чем первое, значит, сначала цену понизили на 20%. Получаем уравнение *100/х=20, откуда х=4000.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Цену на некоторый товар понизили дважды: сначала на 15%, а потом на 20%. Чему равен общий процент понижения цены?
Ответ. 32%
Задача 2. Первый товар подорожал на 40%, а потом еще на 25%. Второй товар подорожал на 30%, после чего оказалось, что новая цена первого товара на 40% выше цены второго товара. На сколько % первоначальная цена первого товара была больше первоначальной цены второго товара?
Ответ. На 4%.
Задача 3. Товар А на 20% дешевле товара В. Товар В поднялся в цене сначала на 25%, а потом еще на 20%. На сколько % необходимо поднять цену товара А, чтобы она стала равна новой цене товара В?
Ответ. На 87,5%.
Задача 4. Цена первого товара поднялась сначала на 35%, а потом еще на 20% и стала равна 324 руб. Цена второго товара поднялась на 25% и стала равна первоначальной цене первого товара. Какова первоначальная цена второго товара?
Ответ. 160 руб.
Задача 5. Товар стоил 5000 руб. Сначала его цену подняли на несколько %, а затем понизили, причем процент понижения цены оказался на 10% меньше, чем процент повышения. В итоге товар стал стоить 5200 руб. Какова была цена товара после повышения цены?
Ответ. 6500 руб.
Задача 6. В течение некоторого периода цена на товар повышалась дважды на 20%. На сколько % теперь цену надо понизить, чтобы она стала прежней?
Ответ. 56,25%
Задача 7. Цена на некоторый товар повысилась в июне на 10%, в июле – на 20%, а в августе – на 25%. На сколько процентов по сравнению с первоначальной ценой повысилась цена товара за лето?
Ответ. На 65%.
Задачи о вкладах и займах.
Дадим несколько пояснений, связанных с деятельностью банков. Клиент помещает деньги в банк под определенный процент с целью сохранить их и преумножить. Вложенные деньги банк пускает «в оборот», таким образом, средства вкладчика «обрастают» дополнительными деньгами, часть которых идет на выплату клиенту процентов по вкладу.
Если за время действия договора банк не изменяет процентную ставку по вкладу, то при решении приведенных ниже задач можно пользоваться следующими соотношениями.
Приняв от клиента сумму S0 под а% годовых, банк должен выплатить клиенту:Через 1 год сумму S = S0 (1+а*0,01),
Через 2 года сумму S = S0 (1+а*0,01)2 и т. д.,
Через п лет сумму S = S0 (1+а*0,01)п
2. Получив в банке кредит на сумму S0 под а% годовых, клиент должен выплатить банку: Через 1 год сумму S = S0 (1+а*0,01),
Через 2 года сумму S = S0 (1+а*0,01)2 и т. д.,
Через п лет сумму S = S0 (1+а*0,01)п
Если же в задаче сказано, что в процессе работы с клиентом банк поменял процентную ставку, следует применить формулы, данные в предыдущих разделах.
Поиск решения задачи о вкладе или займе облегчает применение простой, но очень полезной таблицы. Она помогает яснее представить рассматриваемую в задаче ситуацию, четко выделить основные характеристики процесса.
Сумма на нач. года | Сумма на конец года | Изменения суммы | |
1-ый год | |||
… |
Пример 1. Клиент положил деньги в банк под определенный процент годовых и через год снял ¼ часть получившейся суммы. На следующий год банк увеличил процент годовых в 2 раза. К концу второго года сумма вклада превысила первоначальную сумму на 164%. Чему равен новый процент годовых, установленный банком?
Решение. Пусть S0 – положенная в банк сумма, а х% - первоначальный % годовых. Заполним таблицу.
Сумма на начало года | Сумма на конец года | Изменения суммы | |
1-й год | S0 | S0 (1+х*0,01) | Снято со счета ¼ S0 (1+х*0,01) |
2-й год | ¾ S0 (1+х*0,01) | ¾S0 (1+х*0,01)(1+2х*0,01) |
По условию задачи сумма вклада на конец второго года превышает первоначальную сумму на 164%.
Поскольку при сравнении величин за 100% принимают ту величину, с которой сравнивают, за 100% следует принять сумму S0, тогда окончательная сумма составит 264%. Таким образом, ¾S0 (1+х*0,01)(1+2х*0,01)=2,64 S0.
Разделив обе части уравнения на S0 (по смыслу задачи S0 больше 0) и выполнив необходимые преобразования, получим равносильное уравнение
х2 + 150х – 12600 = 0
Оно имеет корни х=60, х = - 210. второй корень не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, новый процент годовых по вкладу составил 2*60%=120%
Ответ. 120%.
Примечание. Анализ решения этой задачи показывает, что результат не зависит от вложенной суммы. А это означает, что можно было производить все вычисления, исходя из предположения, что вкладчик положил на счет в банке 1 денежную единицу. Отметим, что в задаче не были указаны единицы, в которых измерялась денежная масса.
Теперь сравните следующие три задачи и укажите, в какой из них исходную сумму можно принять за 1.
Задача 1. Курс рубля по отношению к доллару каждый квартал падает на 4%. У вкладчика есть 2 варианта размещения денег в банке. Положить их на рублевый счет с начислением 120% в конце года либо обменять рубли на доллары и положить деньги на валютный счет с ежемесячным начислением 6% от текущей суммы.
На сколько процентов сумма на рублевом счете будет через год больше или меньше суммы на валютном счете? (Курсы покупки и продажи долларов считать неизменными).
Задача 2. Вкладчик положил в сбербанк под некоторый процент 12 тыс. руб. Через год он снял со счета половину процентной прибавки, а основной вклад и оставшуюся прибавку оставил в банке. Еще через год на его счете оказалось 36 тыс. руб. Чему равен процент годовых по этому вкладу?
Задача 3. Фермер взял в банке кредит под некоторый процент годовых. Через год за счет погашения кредита он вернул банку ¾ всей суммы, которую был должен к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита внес сумму, на 21% превышавшую величину полученного кредита. Чему равен % годовых, по выданному кредиту?
Анализ текстов задач должен привести вас к такому выводу: исходную сумму можно принять за 1 в задачах 1 и 2.
Решение 1. Пусть вкладчик кладет в банк S0 руб. Тогда при обменном курсе к имеем. Первый вариант размещения денег.
Сумма на начало года (руб.) | Сумма на конец года (руб.) | Сумма на конец года ($) | |
1-й год | S0 | 2,25*S0 | 2,25*S0 к(1-4*0,01)4= =2,2 S0к*0,964 |
Второй вариант размещения денег.
Сумма на начало года ($) | Сумма на конец года ($) | |
1-й год | S0 к | S0 к(1+6*0,01)12 = S0 к*1,0612 |
По условию задачи необходимо сравнить две суммы: 2,2 S0 к*0,964 и S0 к*1,06 12. примем вторую сумму за 100%, а первую - за х%.
2,2 S0 к*0,964 - х%
S0 к*1,06%, откуда х = 2,2*0,964 *100/1,06 12 %
В задаче требуется найти значение разности (х-100)%.
Получим: (2,2*0,964*100/1,0612 %)-100 = -7%
Следовательно, сумма на рублевом счете будет меньше чем, на валютном, примерно на 7%.
Ответ. На 7% меньше.
Решение 2. Обозначим процент годовых в банке за х%. Оформим в виде таблицы.
Сумма на начало года | Сумма на конец года | Изменения суммы | |
1-й год | 12 | 12(1+х*0,01) | Снято со счета 0,5х*12х*0,01 |
2-й год | 12(1+0,5*х*0,01) | 12(1+х*0,01)(1+0,5*х*0,01) |
По условию задачи в конце второго года на счете вкладчика оказалось 36 тыс. руб. Таким образом, получаем уравнение 12(1+х*0,01)(1+0,5*х*0,01) = 36, откуда х=-400, х=100. Первый корень не подходит по смыслу задачи.
Ответ. 100%.
Решение 3. Пусть S0 - сумма выданного кредита, а х% - процент годовых.
Долг на начало года | Долг на конец года | Изменения суммы | |
1-й год | S0 | S0(1+х*0,01) | Вернул часть долга 0,75S0*(1+х*0,01) |
2-й год | 0,25S0(1+х*0,01) | 0,25S0(1+х*0,01)2 | Погасил долг полностью |
По условию задачи сумма, внесенная в счет полного погашения кредита, превышает его размер на 21%. Примем сумму S0 за 100%, тогда сумма долга на конец второго года составляет 121%. Получим уравнение 121*S0 = 100*0,25S0(1+х*0,01) 2
Оно имеет корни х=120, х=-300. Корень х=-300 не подходит, так как по смыслу задачи х больше 0.
Ответ. 120%.
Пример 2. За время хранения в банке проценты по вкладу начислялись ежемесячно: сначала в размере 5%, затем 11 1/9%, потом 7 1/7%, наконец, 12% в месяц. Известно, что каждая процентная ставка действовала целое число месяцев, и по стечению срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада.
Решение. Анализ текста задачи позволяет принять исходную сумму за 1 денежную единицу. Обозначив сроки хранения вклада под действием указанных процентных ставок за п1, п2, п3, п4 соответственно, получим уравнение
(1+0.01*5)n1 (1+0,01*100/9)п2(1+0,01*50/7) п3 (1+0,01*12)п4 = 2,8, где переменные п1, п2, п3, п4 могут принимать только натуральные значения.
Подсчитав значение выражений в скобках, и записав каждое из них, а также стоящее в правой части число 2,8 в виде обыкновенной дроби, получим уравнение
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
