Учебно-методическая разработка по теме «Задачи на проценты на уроках и в жизни» в школе олимпийского резерва с учащимися 8-9 классов (стр. 3 )

(21/10)n1 (10/9)n2 (15/14)n3 (28/25)n4= 14/5.

Анализируя натуральные числа в записи дробей, можно заметить, что набор их простых делителей (2, 3, 5, 7) равен числу переменных. Возникает идея – разложить все получившиеся натуральные числа на простые множители и перемножить слева степени каждого простого числа-делителя. А затем приравнять показатели соответствующих степеней, стоящих в обеих частях уравнения. Выполним эти преобразования.

(3*7/225)n1(2*5/32)n2(3*5/2*7)n3(22*7/52)n4= 2*7/5,

3n1-2n2+n3 = 30 n1-2n2+n3 = 0

7n1-n3+n4 = 71 n1-n3+n4 = 1

2-2n1+n2-n3+2n4 = 21 -2n1+n2-n3+2n4 = 1

5-n1+n2+n3-2n4 = 5-1, - n1+ n2 +n3-2n4 = -1. Сложим почленно второе и четвертое уравнения последней системы: n2–n4=0, откуда n2= n4. Поставим во второе уравнение n2 вместо n4, сложим первые два уравнения и выразим n1:

n1= (1+ n2)/2. Теперь подставим найденное выражение n1 через n2 в первое выражение и выразим n3: n3=(3n2-1)/2.Осталось подставить найденные выражения переменных п1, п2, п3, п4

в третье уравнение. В результате получим систему

n3 = (3n2-1)/2

n1 = (1+n2)/2

-2*(1+n2)/2+n2-(3n2-1)/2 +2n2 = 1

n4 = n2,

откуда

n2 = n4 = 3

n1 = 2

n3 = 4. Следовательно срок хранения вклада п1+ п2+ п3+ п4=2+3+4+3=12 (месяцев).

Ответ. 12 месяцев.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. В банке взят кредит в размере 500 тыс. руб. под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита было внесено 500 тыс. руб., а еще через год для его полного погашения потребовалось выплатить 120 тыс. руб. Чему равен процент годовых по выданному кредиту?

Ответ. 20%.

Задача 2. Банк выделил трем организациям некоторую сумму на кредиты сроком 1 год. Организация А получила кредит в размере 40% от этой суммы под 30% годовых, организация В получила 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Остальные деньги достались организации С. Через год, когда все кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какой % был выдан кредит организации С?

Ответ. Под 15%.

Задача 3. Вкладчик положил в банк несколько тыс. руб. Через год банк начислил на эту сумму проценты в размере 800 руб. Добавив 5000 руб., вкладчик оставил деньги в банке и через год получил 17064 руб. Найдите первоначальную сумму вклада, если известно, что процентная сумма по нему не изменилась.

Ответ. 10000 руб.

Задача 4. Фермер взял в банке кредит под 14% годовых. Через год он вынужден был дополнительно взять в кредит половину суммы первоначального кредита, но уже под 17% годовых. Еще через год в счет погашения обоих кредитов фермер вернул в банк 479700 руб. Чему равна сумма первоначального кредита?

Ответ. 250000 руб.

Задача 5. Предприниматель вложил 3/7 своего капитала в покупку товара А, 70% оставшегося капитала – в покупку товара В, а остальные средства – в покупку товара С. При реализации товара А предприниматель понес убыток в размере 20%, а при реализации товара В получил прибыль в размере 10%. Какой % прибыли получил предприниматель от реализации товара С, если прибыль от реализации всех товаров составила 1%?

Ответ. 32,5%

Задача 6. фирма вложила 50% своего капитала в покупку товара А, 60% оставшегося капитала – в покупку товара В, а остальные средства внесла в банк под 5% годовых. Через год, реализовав товары А и В и сняв деньги со счета в банке, фирма получила 22% прибыли. Какой процент прибыли она получила от продажи товара А, если прибыль от продажи товара В составила 20%?

Ответ. 30%.

Задача 7. Вкладчик поместил в банк некоторую сумму под 3% годовых. Через сколько лет сумма на его счете превзойдет первоначальную более чем в два раза?

Ответ. Через 24 года.

Но в математике есть совершенно особый класс задач – задачи на смеси, проценты и концентрации, умение их решать – чрезвычайно важно как для процесса обучения (сдачи экзаменов), так и для общего развития.

Задачи на смеси и сплавы. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность» и т. д. и основана на следующих допущениях:

1)  Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

2)  Не делаются различия между литром как единицей ёмкости и литром как единицей массы.

3)  Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С (которые имеют массы соответственно m, m, m, то величина (соответственно ) называется концентрацией вещества А (соответственно В, С) в смеси. Ясно, что , т. е. от концентрации двух веществ зависит концентрация третьего.

4)  При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех которые сплавляются (смешиваются и т. д.).

5)  Проба – число частей драгоценного металла на 1000 частей сплава. Проба сплава есть отношение массы благородного металл к общей массе сплава.

Рассмотрим задачи, в которых происходит преобразование исходного вещества. Среди всех задач по сюжету представляют наибольший интерес те, где идёт процесс сушки или выпаривания.

Задача 1. Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 75 % воды?

Решение. Итак, в 500 кг массы содержится 15 % целлюлозы. Выпаривается вода. В новом веществе остаётся 75 % воды, а исходное количество целлюлозы составляет 25 %, поскольку массу нового вещества мы примем за 100%. Исходя из такого анализа происходящих процессов, мы можем решить задачу по действиям:

1)  100 – 85 = 15 (%) составляет целлюлоза в исходной массе;

2)  500 · 0,15 = 75 (кг) масса этой целлюлозы;

3)  100 – 75 = 25 (%) составляет целлюлоза в новой массе;

4)  · 100 = 300 (кг) составляет полученная масса;

5)  500 – 300 = 200 (кг) воды следует выпарить.

II способ. Числовое выражение 0,5 -

Ответ. 200 кг.

Задача 2. Свежие грибы содержат 90 % воды по массе, а сухие грибы 12 %. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение: Проводим анализ. Итак, грибная масса в свежих грибах составляет 10 %, а сушённых эта же масса – 88 %. Нам нужно определить конечную массу. Для решения задачи, как и в предыдущем случае мы можем составить числовое выражение: .

Результаты же анализа мы можем представить схемой:

Свежие грибы
90% воды	10% гр. м.
22 кг

Сухие грибы
88% гр. м.	12% воды
х кг.

Мы рассмотрели стандартный пример решения задачи на так называемое «сухое вещество», когда по условию задачи оно сохраняет неизменную массу. Общая схема решения этой группы задач такова:

S - 100 % S - g %

S - p % x - 100 %

где S - масса сухого вещества, а р и g – его процентное содержание в различных продуктах.

22 кг – 100 % х = = 2,2 (кг) грибной массы.

х кг - 10 %

2,2 кг - 88 % х = = 2,5 (кг).

х кг - 100 %

Ответ. 2,5 кг.

Рассмотрим задачи на составление растворов (изменение концентрации).

Задача 3. Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г

15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Эта ситуация похожа на предыдущую ситуацию, отличие состоит лишь в агрегатном состоянии вещества. Итак, мы имеем две массы жидкости, в каждой из которых содержится определённое количество соляной кислоты. Краткая запись условия и результаты анализа могут быть представлены следующей схемой.

Из схемы составим систему уравнений:

II. Эту же задачу можно решить, составив уравнение 0,3х + 0,1(600-х) = 0,15 · 600.

III. Арифметическое решение. Пусть 300 г. – I раствора и 300 г – II раствора, тогда

1)  300 · 0,3 = 90 (г) соляной кислоты в первом растворе;

2)  300 · 0,1 = 30 (г) соляной кислоты во втором растворе;

3)  600 · 0,15 = 90 (г) соляной кислоты по условию;

4)  (90 + 30) – 90 = 30 (г) соляной кислоты – избыток по предположению;

5)  10 · 0,3 = 3 (г) соляной кислоты в 10 г 30 % раствора;

6)  10 · 0,1 = 1 (г) соляной кислоты в 10 г 10 % раствора;

7)  3 – 1 = 2 (г) соляной кислоты теряется при замене 10 г I раствора на 10 г II раствора;

8)  30 : 2 = 15 замен необходимо произвести, чтобы избавиться от 30 г кислоты;

9)  15 · 30 = 450 (г) 30 % раствора.

10)  90 · 15 = 1350 (г) 10 % раствора.

Ответ. 450 г. 30 % раствора и 1350 г. 10 % раствора.

Рассмотрим ситуацию со сплавами драгоценных металлов, где используется понятие пробы.

Задача 4. Сплавили 30 г серебра некоторой пробы с медью. Получили сплав 63 пробы. Определите пробу серебра и количество меди, зная что если бы взяли 20 г серебра, то получили бы сплав 56 пробы.

Структура текста: У - Т - У. Поэтому можно предположить, что задача решается составлением системы уравнений. Условия задачи и результаты анализа представим схемами. Заметим, что схем будет две (условие задачи состоит из двух частей).

Первый сплав		Второй сплав
63 части серебра 0,063(30+у)	примеси	56частей серебра 0,056(20+у)	примеси
30 г серебра	медь	20 г серебра	медь
0,03х г	у г	0,02х г	прим.	у г

Из условия мы видим, что изменилась лишь масса серебра, проба же его и масса меди остались прежними. Из схемы следует, что мы можем обозначить пробу серебра за х, а массу меди за у. Сравнив массу серебра в каждом случае, мы составим систему уравнений:

42 у = 60 · 7 ; у = 10 (г) меди. х = 84 (проба).

Ответ. 84 проба серебра и 10 г. меди.

Если в предыдущих задачах мы рассматривали процесс соединения веществ, то теперь рассмотрим обратный ему процесс разделения веществ на фракции.

Задача 5. Из молока, жирность которого составляет 5 %, изготовляют творог жирностью 15,5 %. При этом остаётся сыворотка 0,5 %. Сколько творога получится из 1 т молока?

Краткое условие представим схемой:

Творог		Молоко 1 т		Сыворотка
Жир.5 % 50 кг	примеси
Жир 15,5%	примеси	Жир 0,5%	примеси

Анализируя эту схему мы можем получить новую, обозначая искомую величину за х.

Примеси Примеси

Творог х кг Сыворотка (1000-х) кг

Жир 0,155х кг Молоко 1000 кг Жир 0,005(1000-х) кг

Жир 50 кг Примеси

Из неё видно, что имеющийся в молоке жир переходит в творог и сыворотку. Используя это наблюдение, составим уравнение:

0,155х + 0,015(1000 – х) = 50 ; х = 300.

Ответ. 300 кг.

Рассмотрим задачи, использующие физические понятия и закономерности.

Задача 6. Из двух жидкостей, плотность которых 1,2 г/см и 1,6 г/см, составили смесь массой 60 г. Сколько граммов каждой жидкости взято и какова плотность смеси, если её 8смимеют массу такую же, как масса всей менее тяжёлой из смешанных жидкостей.

В данной задаче используются понятия плотности, массы, объёма, которые связаны так же, как и путь, скорость, время, следовательно, анализ и поиск решения данной задачи сходен с анализом задачи на движение.

Составим на основе анализа условия схему:

V = 8

60 г = m

x = m m=60 – x

Составленная схема позволяет ввести переменную и выразить все компоненты на схеме. По структуре она совпадает со схемами для решения задач на движение и на совместную работу. Отметим, что менее тяжёлая – первая жидкость.

Зная, что 8 см жидкости имеют ту же массу, что и вся менее тяжёлая жидкость, составим уравнение ирешим:

.

В заключение разговора о решении задач на сплавы, смеси, концентрации, отметим, что при внешнем различии сюжета задачи на сплавы, смеси, концентрации, на соединение либо на разделение различных веществ, решаются по общей схеме.

Заключение.

С математической точки зрения тема “Проценты” в школьной математике является простейшей, если ограничить ее рамками школьных учебников. Научить процентам - это в первую очередь научить быстро и без колебаний переводить ту или иную словесную формулировку с участием процентов в соответствующую математическую формулировку шаблонных вопросов и решение на их основании самих задач. В таком умении современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно - достаточно одних банковских операций. Совершенно справедливо то, что понятие процента, как математически тривиальное, вводится уже в самом начале средней ступени обучения, но неприемлем тот факт, что жизненно важные понятия и умения операций с процентами не закрепляются в старших классах.. Следствием этого может стать неуспешная социальная адаптация. из-за нарушение деловых коммуникаций.

Таким образом, дополнительная работа по развитию и совершенствованию навыка решения задач на проценты имеет значимость не только для будущих абитуриентов, которые возможно встретятся с такими заданиями на ЕГЭ, но и для всех учащихся, так как современная жизнь неминуемо заставит в своей повседневности решать задачи на проценты.

Литература.

, , Коротаев текстовых задач по математике для профильных классов 7-11кл. , , Из опыта преподавания математики в средней школе: пособие для учителя. М. Просвещение 1979г. Фридман научиться решать задачи. М. Просвещение 1994г. Фридман математику. М. Просвещение 1995г. , , Коротаев текстовых задач по математике для профильных классов 7-11кл. , , и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991. – 208с. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методическое пособие / , , ; под ред. к. п.н., доц. Радченко, к. п.н. . С. Петербург: «Образование», 1992; Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ , , : Под ред. проф. . Н. Новгород: НГПУ,2003; Шарыгин винегрет. – М.: Издание агентства “Орион”, 1991; Шумилина для “шустриков” и “мямликов” //3-я научно-методическая телеконференция “Информационные технологии в общеобразовательной школе” (25.11.2002 – 31.03.2003 г.) – Новосибирск, НООС; Шумилина , переправа (Задачи разного уровня сложности)//Информатика в школе. 2003. №6; http://www. *****/?action=Page&ID=399-сайт «МАТЕМАТИКА. ШКОЛА. БУДУЩЕЕ»; http://*****/articlef. php? ID= - статья «Как научится решать задачи», На этот вопрос отвечает Мария Бура, методист Сибирского института развивающего обучения "Пеленг" г. Томска»; http://www. omsk. edu/article/vestnik-omgpu-145.pdf - Сложность и трудность структуры решения текстовой задачи. , Омский государственный педагогический университет. В статье рассмотрено применение метода графового моделирования для оценки сложности структур решений задач; http://www. omsk. edu/article/vestnik-omgpu-144.pdf - статья «Структурная полнота систем задач в курсе математики 6 класса» , , Омский государственный педагогический университет. В статье рассмотрено применение метода графового моделирования для оценки сложности структур решений задач, приведены структуры решений сюжетных задач, показаны возможности применения метода графового моделирования для систематизации задач по нарастающей сложности структур их решений. Журнал»Математика для школьников»,№2,2006г Журнал»Математика в школе»№8,2007г. . Факультативный курс по математике. Решение задач,1989г; , , Шень – М.: Дрофа, 1997; Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ , , : Под ред. проф. . Н. Новгород: НГПУ,2003; О некоторых аспектах методики обучения учащихся решению сюжетных задач арифметическим методом/ Вопросы методики обучения математике в средней школе: Учебное пособие/отв. ред. , .-Ярославль: Издательство ЯГПУ им. , 2002 (http://www. yspu. *****/vestnik/uchenue_praktikam/27_3/