Задачи для подготовки к олимпиаде по математике, 8 класс

Задачи для подготовки к олимпиаде по математике. 8 класс.

1. Социологи провели опрос: «Что Вы предпочитаете пить по утрам: чай или кофе?» 56,25% опрошенных ответили «Чай», 37,5% опрошенных ответили «Кофе», а семь человек не ответили ничего. Сколько человек опросили социологи?

2. Про числа a, b, c и d известно, что , , и . Найдите эти числа.

3. В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, бездетных семей нет. Известно, что у каждого мальчика есть сестра, и что мальчиков больше, чем девочек. Кого больше в этом доме: мальчиков или девочек?

4. Два равносторонних треугольника с периметрами 12 и 15, расположены так, что их стороны соответственно параллельны (см. рис.). Найдите периметр образовавшегося шестиугольника.

5. Число 2004 представили в виде суммы пяти натуральных слагаемых и вычислили их наибольший общий делитель. Какое максимальное число могло при этом получиться?

6. BK и BM - биссектрисы соответственно внутреннего и одного из внешних углов при вершине B треугольника ABC. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины A на прямые BK и BM. Докажите, что прямая PQ проходит через середину стороны AC.

1. На острове всех мужчин женаты и всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

2. Квадрат суммы цифр числа A равен сумме цифр числа . Найдите все такие двузначные числа A.

3. Дана окружность с диаметром AB. Другая окружность с центром в A пересекает отрезок AB в точке C, причём . Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке D. Докажите, что прямая CD перпендикулярна AB.

4. Двое игроков по очереди выставляют на доску по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

5. В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются в точке M.

Докажите, что если угол AMB

а) прямой;

б) острый,

то .

6. В клетчатом прямоугольнике каждая клетка может быть либо живой, либо мёртвой. Каждую минуту одновременно все живые клетки умирают, а те мёртвые, у которых было нечётное число живых соседей (по стороне), оживают.

Укажите все пары , для которых найдётся такая начальная расстановка живых и мёртвых клеток, что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно (то есть в каждый момент времени хотя бы одна клетка будет живой)?