Ф. И.О

Аунг Зо Мо

Название диссертации

Математическое моделирование процесса

истечения жидкости из цилиндрических сосудов

Специальность

05.13.18 «Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ»

Отрасль науки

Технические науки

Шифр совета:

Д 212.110.08

Тел. Ученого секретаря

Диссертационного совета:

4-55

E-mail

*****@***ru

Дата защиты диссертации:

17 января 2011 г. в 14.00

Место защиты диссертации:

Оршанская 3, ауд. 612а

Адрес сайта в сети Интернет: http://www. *****/science/avtorefkanddes. html

На правах рукописи

Аунг Зо Мо

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИСТЕЧЕНИЯ

ЖИДКОСТИ ИЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СОСУДОВ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Москва – 2011

Работа выполнена в ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имени .

Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты : доктор технических наук, профессор

Макарову-Землянскому Николаю Викуловичу

кандидат технических наук, доцент

Ведущая организация : Российский университет дружбы народов

Защита состоится «_______» ____________________2011 г. в ____ч._______мин. на заседании диссертационного совета Д 212.110.08 при «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд. 612а.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» - Российского государственного технологического университета имени .

Автореферат разослан «_____» _________________2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

 

ОБЩАЯ ХАРАТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы . Интенсивное развитие традиционных и новых отраслей современного производства, таких как гидроэнергетика, нефтедобыча, мелиорация, градостроительство, здравоохранение и многих других, вызвало повышенный интерес к теоретическому исследованию задач истечения жидкости из резервуаров через систему отверстий и насадки.

Примером могут служить задачи безопасности энерго – и гидротехнического оборудования, интенсификации нефтедобычи, оптимизации процессов искусственного орошения, производства синтетических волокон, надежности работы водоочистных сооружений и многие другие.

Сложность экспериментального измерения гидродинамических характеристик большинства указанных технологических процессов приводит к необходимости построения аналитических решений и оценок различных стадий протекания процессов .

Наличие у резервуаров разноуровневых отверстий переменного сечения также существенно усложняет анализ процессов истечения жидкости.

В связи с этим актуальна с теоретической и прикладной точек зрения проблема комплексного анализа гидродинамического состояния резервуаров с регулируемыми и нерегулируемыми отверстиями.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертации является исследование методом математического моделирования влияния различных параметров отверстий цилиндрического резервуара на характер процесса истечения из него жидкости.

Поставленная задача находит своё разрешение в нахождении решений задач истечения жидкости из цилиндрического резервуара в зависимости от следующих величин :

    единственного малого отверстия на дне тонкостенного цилиндра ; системы малых отверстий на дне тонкостенного цилиндра ; совокупности малых разноуровневых отверстий на боковой поверхности тонкостенного цилиндра.

Научная новизна работы состоит в том, что на основе единой математической модели найдены новые классы точных аналитических решений различных задач истечения жидкости из цилиндрического резервуара. Исследовано влияние геометрических параметров малых донных отверстий на основные гидродинамические характеристики процесса истечения жидкости. Доказано существование функциональной зависимости интегрального и локальных времен истечения жидкости через донные отверстия. Установлена степень взаимного влияния на процесс истечения жидкости донных и боковых отверстий цилиндрического резервуара.

На основании полученных результатов автор выносит на защиту следующие основные положения :

·  обобщённую математическую модель процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара ;

·  алгоритм вычисления уровня жидкости, скорости истечения и массопереноса через отверстия в цилиндрическом резервуаре ;

·  результаты анализа гидродинамических характеристик процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара с заданным распределением отверстий.

Практическая ценность работы . Полученные результаты математического моделирования процессов истечения жидкости из цилиндрических резервуаров через систему отверстий могут быть использованы при решении широкого круга фундаментальных и прикладных проблем, а также в учебном процессе высших и средних специальных учебных заведений.

Указанные результаты служат основой получения эффективной априорной информации о распределении гидродинамических характеристик цилиндрического резервуара.

Последнее позволяет, зная законы движения уровня жидкости, скорости истечения и массопереноса выбирать технологические режимы, повышающие надежность, безопасность и долговечность машин и механизмов.

Апробация работы . Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийских и международных научно-технических конференциях “ Юность. Наука. Культура ” ( г. Москва, г. г) , “ Гагаринские чтения ” ( г. Москва, 2008 , 2009 г. г) ,

“ Физическая химия и нанотехнологии ” ( г. Москва, 2008 г. ) , “ Физико-химические аспекты технологии наноматериалов, их свойства и применение ” ( г. Москва, 2009 г. ) ,

“ Симпозиум по прикладной и промышленной математике ” ( г. Сочи, 2007 г. ; г. Кисловодск, 2008 г ) , “ Исследование операций ” ( г. Москва, 2007 г. ) , “ Инженерные системы ”

( г. Москва, 2009 г. ) , “ Extremаl Problems in Complex and Real Аnalysis ”( г. Москва , 2007 г. ).

Публикации . По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе две статьи в журнале, входящем в перечень ведущих изданий, рекомендованных

ВАК РФ.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы, приложения. Общий объем диссертации составляет 134 страниц машинописного текста (основное содержание 110 страниц ) , 40 рисунков, 10 таблиц. Список литературы включает 150 наименований российских и зарубежных ученых.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность данной проблемы, сформулированы цель и задачи работы, перечислены основные новые результаты и кратко изложено содержание каждой главы диссертации .

В первой главе приведена общая постановка задачи истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему малых отверстий, расположенных на дне и боковой поверхности.

Дан критический обзор постановок задач истечения жидкости и указаны методы их решения.

Описаны основные физические закономерности процесса истечения. Отмечено, что центральной физической гипотезой процесса истечения жидкости является закон Торричелли, устанавливающий зависимость скорости истечения жидкости от высоты уровня жидкости над отверстием

, (1)

где - коэффициент расхода жидкости .

Приведено деление гидродинамических характеристик процесса истечения на размерные и безразмерные .

Обычно задача определения характера истечения жидкости из резервуара сводится к анализу изолированных отверстий без учета взаимного влияния других отверстий на ход процесса.

Однако для резервуаров с разноуровневыми отверстиями существенна роль их взаимного расположения. Следовательно, разноуровневая модель малых отверстий наиболее адекватно описывает процесс истечения жидкости из резервуара.

Пусть цилиндрический резервуар высоты и радиуса основания имеет малых отверстий площади на дне и малых отверстий площади на боковой поверхности, расположенных на высотах таких , что

. (2)

Вычисление закона изменения уровня жидкости сводится к решению системы задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

; (3)

; ;

; (4)

; ;

................................................................................................................................

; (5)

; ;

; (6)

; ,

где - это интервал времени прохождения уровнем жидкости расстояния от высоты до высоты .

Полное время истечения жидкости из такого резервуара равно

, (7)

где интервалы времени определяются из системы уравнений

;

;

.............

;

.

Закон изменения скорости истечения вычисляется отдельно для любого отверстия

на дне

; (9)

и для каждого отверстия сбоку

; ;

; ; (10)

; .

Вычисление количества вытекающей жидкости через заданное отверстие также распадается на две части.

Во–первых , количество жидкости, вытекшей через каждое из отверстий площади на дне, равно

. (11)

Во-вторых, количество жидкости, вытекающей через каждое из отверстий площади на боковой поверхности, равно

. (12)

Особенностью решения задач Коши (3)–(12) является дискретность интервалов времени , соответствующая моментам прохождения уровнем жидкости боковых отверстий.

В общем случае система уравнений (3)–(10) не интегрируема в квадратурах и решается численными методами.

Однако для отдельных конфигураций отверстий возможно нахождение точных аналитических решений, позволяющих делать качественные выводы о характере истечения жидкости из цилиндрического резервуара с отверстиями.

Для удобства анализа системы уравнений (наряду с размерными переменными

используются и безразмерные (относительные ) величины

; ;

; ; (13)

; ,

где , , , - заданные априорные характеристики системы.

Вторая глава посвящена исследованию процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара через единственное малое отверстие постоянной площади на дне, что эквивалентно условиям

; . (14)

Решение данной задачи является эталонным для последующих моделей процесса истечения жидкости.

На рис.1 изображено изменение величин уровня жидкости , скорости истечения и расхода жидкости в процессе истечения.

При этом время истечения, начальная скорость истечения и объём всей жидкости соответвенно равны

;

; (15)

.

Рис.1 . Изменения безразмерных гидродинамических величин - уровня жидкости , скорости истечения , расхода жидкости при истечении жидкости из цилиндрического резервуара через малое отверстие постоянной площади на дне.

Установлено , что уровень жидкости и расход жидкости носят параболический характер, а скорость истечения линейно уменьшается от максимального до нулевого значений.

Доказано , что время истечения первой и второй половин объёма жидкости цилиндра через малое отверстие постоянной площади на дне относятся, как

. (16)

Отношение же объёмов жидкости, вытекающих из цилиндра через малое отверстие на дне постоянной площади за первую () и вторую () половины времени истечения, равно

. (17)

Если жидкость вытекает из цилиндра через систему малых отверстий постоянной площади на дне, то это эквивалентно истечению жидкости через одно отверстие площади

. (18)

При этом время истечения жидкости из такого цилиндра зависит от времени истечения всего объема жидкости только через отдельные отверстия следующим образом

. (19)

В частности, время истечения жидкости из цилиндра через два отверстия на дне равно

, (20)

где и - время истечения жидкости из цилиндра только через первое и второе отверстия.

В третьей главе найдено и проанализировано решение задачи истечения жидкости из цилиндрического резервуара через два одинаковых малых отверстия постоянной площади .

Одно отверстие расположено на дне цилиндра, второе – на боковой поверхности на высоте такой , что

. (21)

Данная математическая модель соответствует классификации

, . (22)

Полное время истечения состоит из двух периодов

. (23)

В течение первого периода уровень жидкости опускается с начальной высоты до высоты бокового отверстия . В это время жидкость вытекает через оба отверстия одновременно.

За время второго периода уровень жидкости опускается с высоты до дня и жидкости вытекает только через нижнее отверстие.

Гидродинамические характеристики процесса истечения жидкости из этого резервуара существенно зависят от безразмерного параметра высоты бокового отверстия

. (24) В данном случае система уравнений для безразмерных переменных (13) сводится к двум задачам Коши

; (25)

;

и

; (26)

; .

Основной особенностью решения задач (25) , (26) является необходимость параллельного вычисления параметров и , необходимых для определения суммарного времени истечения

. (27)

На рис. 2 представлено изменение безразмерных величин относительного времени в зависимости от безразмерного параметра высоты бокового отверстия.

Рис. 2. Изменение времени в зависимости от высоты бокового отверстия .

Аналитически и численно установлено, что условие

(28)

достигается при расположении бокового отверстия на высоте

. (29)

При этом

, (30)

если

, (31)

и

, (32)

если

. (33)

Наличие бокового отверстия на стенке цилиндрического резервуара не вносит качественных изменений в характер движения уровня жидкости.

На рис. 3 изображен закон движения безразмерного уровня жидкости в цилиндре

с боковым отверстием на высоте и без бокового отверстия () .

Соответствующие параметры процесса истечения жидкости принимают значения

; ; ; . (34)

Рис. 3 . Изменение уровня жидкости в цилиндре с отверстием на дне и с боковым

отверстием на высоте (а) и без бокового отверстия (б) .

Вычисление массовых долей жидкости, вытекающей через два одинаковых малых отверстия сбоку и на дне цилиндра , также сводится к решению двух задач Коши и окончательно имеет вид, изображенный на рис. 4 .

При этом очевидно, что

. (35)

Рис. 4. Распределение объемов жидкости , вытекающей из цилиндра через боковое

отверстие () и отверстие на дне () в зависимости от высоты

бокового отверстия .

В четвертой главе приведены результаты численного решения задачи истечения жидкости из цилиндрического резервуара через три малых одинаковых отверстия постоянной площади .

Одно отверстие расположено на дне цилиндра, два других – на боковой поверхности на высотах и таких, что

. (36)

Классификация этой задачи

; . (37)

Процесс истечения жидкости состоит из трех этапов. Каждый этап описывается соответствующей задачей Коши.

На первом этапе уровень жидкости опускается с высоты до и жидкость вытекает через все три отверстия одновременно

; (38)

; .

На втором этапе уровень жидкости опускается с высоты до и жидкость вытекает через два оставшихся отверстия

;

; . (39)

На третьем этапе уровень жидкости опускается с высоты до дна и жидкость вытекает только через одно донное отверстие

;

; . (40)

Параметры и характеризуют высоты боковых отверстий

; , (41)

а

; ; (42)

- это продолжительности этапов истечения жидкости.

Время полного истечения жидкости из такого резервуара характеризует параметр

. (43)

Задача (38) не имеет аналитического решения, поэтому решалась численно методом Рунге-Кутта в пакете MathCAD.

Решения задач (39) , (40) совпадают с точностью до обозначений с ранее найденными в главе 3.

Рис. 5 . Изменение безразмерного уровня при истечении жидкости из цилиндра

через три отверстия с параметрами ; ; .

На рис. 5 представлен график изменения безразмерного уровня жидкости при истечении из цилиндра через три одинаковых малых отверстия постоянной площади с набором параметров

; ; . (44)

При этом

; ; ; . (45)

Истечение жидкости из такого резервуара завершится на 25% быстрее аналогичного времени истечения того же объёма жидкости только через одно донное отверстие.

Рис. 6 . Изменение безразмерной скорости истечения жидкости через верхнее (1)

среднее (2) и нижнее (3) отверстия в цилиндре с параметрами ;

; .

Эпюры скоростей истечения жидкости из цилиндра через каждое из отверстий , представленные на рис. 6 , наглядно демонстрируют существенное отклонение от линейного закона, соответствующего истечению только через одно донное отверстие.

Рис. 7. Распределение массовых долей жидкости, вытекшей через отверстия “1” ,

“2”, “3” цилиндра с параметрами ; ; .

Диаграмма , представленная на рис.7 показывает количественное распределение массовых долей жидкости при истечении из цилиндра через три одинаковых малых отверстия постоянной площади, расположенных на высотах (44) .

Рис. 8. Распределение массовых долей жидкости при истечении из цилиндра через

верхнее (1) , среднее (2) и нижнее (3) отверстия для различных наборов (46)

параметров .

На рис. 8 представлено распределение массовых долей жидкости, вытекшей из цилиндра через верхнее (1) , среднее (2) и нижнее (3) отверстия для различных наборов высоты отверстий

“ а ” : ; ; ;

“ б ” : ; ; ; (46)

“ в ” : ; ; .

Из анализа рис. 8 в частности следует, что изменение высоты боковых отверстий обратно пропорционально изменению массовых долей протекающей через них жидкости.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Предложена обобщённая математическая модель, описывающая процесс истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему разноуровневых отверстий. Указан алгоритм вычисления основных гидродинамических характеристик - уровня жидкости , скорости истечения и массопереноса через отверстия. Найдены численные и аналитические решения трех конкретных математических моделей истечения жидкости из цилиндра. Установлено, что скорость истечения жидкости из цилиндрического резервуара через единственное отверстие носит линейный характер. Определена связь локальных и полного времени истечения жидкости из цилиндра через систему донных отверстий. Доказаны теоремы о взаимной зависимости времен истечения различных периодов процесса истечения. Установлены закономерности массового распределения жидкости при истечении через каждое из разноуровневых отверстий цилиндра.

Список публикаций по теме диссертации

Аунг Зо Мо , , Сорокин уровня жидкости в цилиндре при истечении через систему малых отверстий на дне. – XXXV Гагаринские чтения, М. : МАТИ, 2009 , с. 73 . Аунг Зо Мо , , Ширшиков скорости истечения жидкости через систему малых отверстий на дне. – XXXV Гагаринские чтения, М. : МАТИ, 2009 , с. 135 . , Аунг Зо Мо . Математические модели процесса истечения жидкости из шара. - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, т.13, в.6, с.1079. , Аунг Зо Мо. Моделирование гидродинамических процессов истечения жидкости из цилиндра. – Физико-химические аспекты технологии наноматериалов, их свойства и применение, М. : НИФХИ, 2009, с. 209 . , Аунг Зо Мо. Моделирование процесса истечения жидкости из цилиндра . - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2009 , т.16, в. 1, с., Аунг Зо Мо, Блатиков модель истечения жидкости из цилиндра. : Всероссийская конференция по физической химии и нанотехнологиям “НИФХИ-90” .-М: НИФХИ, 2008, с. 226. , Аунг Зо Мо, , Ширшиков моделирование процесса истечения жидкости из цилиндра. Международная научно-практическая конференция : “ Инженерные системы -2009 ” . Тезисы докладов. - М.: РУДН, 2009, с.78.

Подписано в печать 15.04.2010 . Объем 1,5 п. л., тираж 100 экз.

Ротапринт МАТИ, 109240 , г. Москва, Берниковская Наб., 14 .