II Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 29 января 2010 г., 6 класс, лига А
1. Прирожденный фальшивомонетчик Вася решил внести свой личный вклад в борьбу с деноминацией. Он берет купюру и пририсовывает к ней некоторое количество нулей. Можно ли пририсовать на нескольких купюрах всего 239 нулей так, чтобы выражаемая ими сумма возросла в 1000 раз? (B обращении находятся купюры номиналом 5, 10, 50, 100 и 500 руб.).
2. Можно ли расставить на шахматной доске 30 фишек таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце с любой фишкой было ровно по 5 других фишек?
3. 16 шахматистов провели между собой турнир: каждые два шахматиста сыграли ровно одну партию. За победу в партии давался 1 балл, за ничью — 0,5 балла, за поражение — 0 баллов. Оказалось, что ровно 15 шахматистов поделили первое место. Сколько очков мог набрать шестнадцатый шахматист?
4. На празднование Рождества пришли 10 человек. Может ли случиться так, что у них будет соответственно 9, 9, 9, 8, 8, 8, 7, 6, 4, 4 знакомых среди присутствующих? (Знакомства предполагаются обоюдными.)
5. Есть плохо отрегулированные двухчашечные весы. Если на чаши положить грузы разного веса, то опустится чаша с более тяжелым грузом, а если одного, то опустится левая чаша. Есть 10 монет, среди которых ровно две фальшивых, более тяжелых. Можно ли с помощью этих весов найти обе фальшивых монеты? Количество взвешиваний не ограничено.
6. У коротышек было несколько монет по 1, 2, 5 рублей общей суммой 100 рублей. Незнайка потерял три 2-рублевую монету, а Знайка нашел две 5-рублевые монеты. Докажите, что по-прежнему этими монетами можно заплатить ровно 100 рублей без сдачи.
7. Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причем Коля получил пятерок столько же, сколько Вася – четверок, четверок столько же, сколько Вася – троек, троек столько же, сколько Вася – двоек, а двоек столько же, сколько Вася – пятерок. При этом средний балл у них за январь оказался одинаковым. Сколько двоек за январь получил Коля?
8. Имеется 100 бусин трех цветов — красные, синие и зеленые. Бусин каждого цвета не больше 45. Докажите, что из всех этих бусин можно сделать ожерелье, в котором никакие две соседние бусины не будут одного цвета.
9. В круге какого наименьшего диаметра могут найтись четыре точки A, B, C, D такие, что AB=3, BC=2, CD=4, DA=5?
10. Можно ли так расставить целые числа в клетках бесконечного клетчатого листа, чтобы каждое целое число встречалось хотя бы в одной клетке, а сумма любых 10 чисел, стоящих подряд по вертикали или по горизонтали делилась бы на 101?
II Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 29 января 2010 г., 6 класс, лига Б
1. Найдите натуральное число с суммой цифр, равной 2010, для которого существует ровно одно другое натуральное число, меньшее его, с суммой цифр 2010.
2. Можно ли расставить на шахматной доске 30 фишек таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце с любой фишкой было ровно по 4 другие фишки?
3. На перекрестке дорог встретились четыре путника: жители города лжецов (которые всегда лгут) и города рыцарей (которые всегда говорят правду), причём не все они были жителями одного города. Первый сказал: "Кроме меня, здесь ровно один житель моего города". Второй добавил: "А из моего города — я один". Третий подтвердил слова второго: "Ты прав". А четвертый промолчал. Из какого города четвертый?
4. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько 17-значных горбатых чисел?
5. Есть плохо отрегулированные двухчашечные весы. Если на чаши положить грузы разного веса, то опустится чаша с более тяжелым грузом, а если одного, то опустится левая чаша. Есть 10 монет, среди которых ровно одна фальшивая, более тяжелая. Можно ли с помощью этих весов найти фальшивую монету? Количество взвешиваний не ограничено.
6. У коротышек было несколько монет по 1, 2, 5 рублей общей суммой 100 рублей. Незнайка потерял одну 5-рублевую монету, а остальные коротышки вместе нашли пять 2-рублевых монет. Докажите, что по-прежнему этими монетами можно заплатить ровно 100 рублей без сдачи.
7. Можно ли разместить в круге диаметра 6см четыре точки A, B, C, D так, что AB=3 см, BC=2 см, CD=4 см, DA=5 см?
8. Даны неравенства x>1, x<2, x>3, x<4, x>5. Какое наибольшее количество из них могут быть одновременно верными?
9. Разрежьте какой-нибудь квадрат на квадратики двух разных размеров так, чтобы квадратиков каждого размера было поровну.
10. Трое часов начали бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые - через каждые 3 с, третьи – каждые 5 секунд. Всего было слышно 22 удара (когда несколько часов бьют одновременно, удар воспринимается как один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?
II Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 29 января 2010 г., 7 класс, лига А
1. Даны два натуральных числа a<b. Докажите, что из любых b последовательных натуральных чисел можно выбрать два числа, произведение которых делится на ab
2. Можно ли расставить на шахматной доске 30 фишек таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце с любой фишкой было ровно 5 других фишек?
3. 16 шахматистов провели между собой турнир: каждые два шахматиста сыграли ровно одну партию. За победу в партии давался 1 балл, за ничью — 0,5 балла, за поражение — 0 баллов. Оказалось, что ровно 15 шахматистов поделили первое место. Сколько очков мог набрать шестнадцатый шахматист?
4. Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 70 км за 3 часа? Скорость пешехода 5 км/ч, скорость мотоциклакм/ч. При этом каждому разрешается сесть на мотоцикл не более двух раз.
5. Есть плохо отрегулированные двухчашечные весы. Если на чаши положить грузы разного веса, то опустится чаша с более тяжелым грузом, а если одного, то опустится левая чаша. Есть 10 монет, среди которых ровно две фальшивых, более тяжелых. Можно ли с помощью этих весов найти обе фальшивых монеты? Количество взвешиваний не ограничено.
6. Внутри (вне) квадрата ABCD взяты точки E и F такие, что треугольники AEB и AFD — равносторонние. Докажите, что ED перпендикулярно FC.
7. Имеется 100 бусин четырех цветов --- красные, синие, желтые и зеленые. Бусин каждого цвета не больше 50. Докажите, что из всех этих бусин можно сделать ожерелье, в котором никакие две соседние бусины не будут одного цвета.
8. На стороне АС треугольника АВС взята точка D. Известно, что угол ABD равен углу ACB и AB=CD. Через точку D проведем параллельно AB отрезок DE (E лежит на стороне BC). Доказать, что AE - биссектриса треугольника ABC.
9. В городе менее 6000 жителей. Известно, что девочек в нем ровно на 10% больше, чем мальчиков, а взрослых мужчин ровно на 15% больше, чем женщин. Количество детей на ровно 20% больше количества взрослых. Сколько жителей в городе?
10. Можно ли так расставить целые числа в клетках бесконечного клетчатого листа, чтобы каждое целое число встречалось хотя бы в одной клетке, а сумма любых 10 чисел, стоящих подряд по вертикали или по горизонтали делилась бы на 101?
II Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 29 января 2010 г., 7 класс, лига Б
1. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько 16-значных горбатых чисел?
2. Можно ли расставить на шахматной доске 30 фишек таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце с любой фишкой было ровно по 4 другие фишки?
3. 16 шахматистов провели между собой турнир: каждые два шахматиста сыграли ровно одну партию. За победу в партии давался 1 балл, за ничью — 0,5 балла, за поражение — 0 баллов. Оказалось, что ровно 15 шахматистов поделили первое место. Сколько очков мог набрать шестнадцатый шахматист?
4. На празднование Рождества пришли 8 человек. Может ли случиться так, что у них будет соответственно 7, 7, 7, 6, 6, 6, 4, 4 знакомых среди присутствующих? (Знакомства предполагаются обоюдными.)
5. Есть плохо отрегулированные двухчашечные весы. Если на чаши положить грузы разного веса, то опустится чаша с более тяжелым грузом, а если одного, то опустится левая чаша. Есть 10 монет, среди которых ровно одна фальшивая, более тяжелая. Можно ли с помощью этих весов найти фальшивую монету? Количество взвешиваний не ограничено.
6. У коротышек было несколько монет по 1, 2, 5 рублей общей суммой 100 рублей. Незнайка потерял одну 5-рублевую монету, а остальные коротышки вместе нашли пять 2-рублевых монет. Докажите, что по-прежнему этими монетами можно заплатить ровно 100 рублей без сдачи.
7. В круге какого наименьшего диаметра могут найтись четыре точки A, B, C, D такие, что AB = 3, BC = 2, CD = 4, DA = 5?
8. На стороне АС треугольника АВС взята точка D. Известно, что угол ABD равен углу ACB и AB = CD. Через точку D проведем параллельно АВ отрезок DE (E лежит на стороне BC). Доказать, что АЕ - биссектриса треугольника АВС.
9. Найдите натуральное число с суммой цифр, равной 2010, для которого существует ровно два других натуральных числа, меньших его, с суммой цифр 2010.
10. Петя и Вася одновременно стартовали и бегут с постоянными скоростями по круглому стадиону. Петя бежит быстрее и через час догоняет Васю. Тогда Вася ускоряется на 2 км/ч и через 2 часа сам догоняет Петю. Тот сразу ускоряется на 1 км в час. Когда Петя теперь догонит Васю?
