Математические софизмы (стр. 1 )

Математические софизмы

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным», - писал выдающийся ученый XVII века Блез Паскаль. Многим ученикам школьная математика кажется слишком сложной и скучной наукой. Но издавна существуют и используются на уроках занимательные задачи, так называемые «задачи-шутки». Результаты проведенного опроса свидетельствуют, что ребятам очень нравится решать примеры на восстановление стертых цифр, на отыскание ошибок, допущенных при решении или доказательстве. Недосказанное условие задачи, недописанная фраза, незаконченное решение стимулируют активность учащихся на уроке.

Но ведь эти задачи решаются не только ради развлечения на уроке. Учителя предлагают их, чтобы глубже проникнуть в суть правила, лучше его запомнить.

Часто ученик действует по образцу, по накатанной схеме для данного типа задач. Это приводит к снижению внимания, притуплению бдительности, а, следовательно, увеличивает вероятность ошибки. В математике издавна существует способ формирования интеллектуальной бдительности. И средство это – софизм.

Первым сборником софизмов в России стала книга «Математические софизмы». Рассуждения, содержащие нарочито скрытые ошибки, широко распространены и могут служить учебным, тренировочным материалом в формировании у учащихся способности правильно мыслить и понимать задачу. Математический софизм - своего рода прививка от бездумного и некритического потребления информации. Решение или разоблачение софизма дает учащемуся опыт соответствующей деятельности в житейской ситуации и формирует алгоритм соответствующего поведения. И в этом своем предназначении софизмы важны не только для математики.

Анализ действующих учебников по математике показал, что задания на софизмы в них практически отсутствуют. Заданий на нахождение ошибок в решении задач нет совсем, а задачи на восстановление стертых цифр имеются только в учебниках 5 и 6 классов и , да и то в небольшом количестве. Поэтому мы решили составить сборник задач по алгебре, геометрии и тригонометрии на софизмы для 6-11 классов. Надеемся, что такая подборка задач по каждому классу отдельно будет интересна учащимся и удобна учителям для использования на уроках и занятиях математического кружка.

Выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в математических софизмах:

1.  деление на 0;

2.  неправильные выводы из равенства дробей;

3.  неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4.  нарушения правил действия с именованными величинами;

5.  путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;

6.  проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

7.  неравносильный переход от одного неравенства к другому;

8.  выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

9.  ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Для удобства пользования задачником в приложении помещена классификация алгебраических задач по наиболее часто встречающимся ошибкам.

Сборник задач

Алгебра

6 класс

№1. 5 = 6.

Решение:

Запишем равенство: 35 += 42 +

Вынесем за скобку общие множители:

5∙(7 + = 6∙(7 +

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (он заключен в скобки):

5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).

Значит, 5=6.

№2. Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.

Решение:

Этот софизм основан на очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».

Напишем следующие равенства:

и ; т. е. .

Другими словами, если в левой части равенства +a > - a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же соотношение. Т. е. –a > +a.

№3. Один рубль не равен ста копейкам.

Решение:

1р=100коп.

10р=1000коп.

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10р=100000коп, откуда следует:

1р=10000коп., т. е. 1р.100коп.

7 класс

№4. Все числа равны между собой.

Решение:

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество: а -2ab+b = b -2ab+ а.

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать (а-b)2 = (b-а

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим: a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно a=b.

№5.1. Всякое число равно своему удвоенному значению

Решение:

Запишем очевидное для любого числа a тождество a2 - a2 = a2 - a2,

Вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a). Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

№5.2. Любое число равно своей половине.

Решение:

Имеется тождество: a2-a2=a2-a2, где a – какое угодно число.

Вынесем в левой части a за скобку, а правую разложим на множители по формуле разности квадратов: a(a – a)=(a + a)(a – a).

Разделим обе части на (a – a), тогда a=a+a, или a=2a.

Разделим на 2 и получим .

№5.3. Любое число равно своей половине.

Решение:

Предположим, что a = b.

Умножим обе части неравенства на a и получим: .

Вычтем из обеих частей: .

Разложим на множители: .

Разделим левую и правую части на : .

Так как a = b, то: .

Разделим обе части выражения на 2:

№6. Неравные числа равны.

Решение:

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb, из которого следует равенство а2- аb - ас = аb -b2 -bc. Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-Ь-с), получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.

№7. Единица равна нулю.

Решение:

Возьмем уравнение х-а = 0. (1)

Разделив обе его части на х-а, получим , откуда получаем требуемое равенство1=0.

№8. Единица равна минус единице.

Решение:

Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квад­ратов, получим (х+1)(х-1) =

Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем х + 1 = 0 и х = -1. (2)

Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству 1 = -1.

№9. Если одно число больше другого, то эти числа равны.

Решение:

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых рав­на d, т. е. a + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.. Сложив почленно равенства та + mb + тс = md и, nd = na + nb + nc, получим ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md.. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,а вынося слева число т, а справа число п за скобки, при­дем к соотношению т(а+b+с-d) = п(а+b+с-d),

откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что m= n.

№10. Все натуральные числа, большие единицы, равны между собой.

Решение:

Рассмотрим известные алгебраические формулы x2-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х2 + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем хп -1 = (х - 1)(хп-1 + хп-2 + ... + x2 + x + l).

Разделив обе части этих формул на х-1, получим ;

При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение , поэтому должны быть равны и их правые ча­сти, откуда получаем, что

2 = 3 = ••• = n.

8 класс

№11. 7 = 13.

Решение:

Дано уравнение: ;

Преобразуем следующим образом

Следовательно, 7 = 13.

№12. Все числа равны между собой.

Решение:

Возьмем два произвольных и неравных друг другу числа a и b и предположим, что a>b. Обозначим их разность буквой c, получим , .

Умножим обе части последнего равенства на (a – b):

Вычтем из обеих частей ac:

Вынесем общие множители за скобку:

Делим обе части на (a – b – c): a=b.

Таким образом, два взятых произвольно числа a и b<a равны друг другу.

№13. Один ноль не равен другому

Решение:

Пусть даны числа a, b, c, d, x, y, m, и n, причём:

a=b, (1), x=y, (3)

c=d, (2), m<n, (4)

Почленно сложим равенства (1) и (2): a+c=b+d; (5)

Вычтем (с+b) из обеих частей полученного уравнения: a – b=d – c. (6)

Разделим почленно уравнение (3) на уравнение (6): (7)

Сложим уравнение (7) с неравенством (4):

Приведем к общему знаменателю обе части неравенства, умножив их на произведение знаменателей (a – b)(d – c):

Так как a – b = 0 и d – c = 0, то обе части полученного неравенства обращаются в ноль. Поэтому мы и приходим к заключению, что 0<0.

№14. a = ma при всяком значении m

Решение:

Пусть ma = b. Докажем, что a = b. При перестановке множителей произведение не меняется, следовательно можно записать: ab = ba.

Так как – 1= – 1, то – 1∙ab = – 1∙ba.

Но: и . (1)

Для чисел a и b можно записать равенства: ; (2)

; (3)

Подставим выражения (2) и (3) в (1): .

Раскроем скобки: .

Так как: , то .

Но: ; .

Следовательно: .

Отсюда . (4)

Можно записать: . (5)

Сложив почленно равенства (4) и (5), получим: a = b.

Но b = ma, следовательно: a = ma при любом значении m., что и требовалось доказать.

Пользуясь данным способом, легко доказать равенство двух каких угодно неравных между собой величин.

№15. Сумма двух одинаковых чисел равна нулю.

Решение:

Пусть . Докажем, что m всегда равно нулю.

Для этого предположим, что x=a. Умножим обе части на или: Прибавим к обеим частям x2: или:

Получаем: Заменим x на равную величину a: или:

Окончательный результат:

№16. Всякое положительное число меньше нуля.

Решение:

Пусть n – целое положительное число, тогда: . Если умножить это неравенство на (– a), где a – любое положительное число, то получим: . Прибавим к обеим частям неравенства 2an и получим, что a < 0.

№17. Любое положительное число равно отрицательному с той же абсолютной величиной.

Решение:

Из алгебры известно, что .

С другой стороны, .

Отсюда следует, что – a = +a

№18. Любое число равно единице.

Решение:

Пусть a – произвольное число. Возьмем два числа x и y, каждое из которых равно .

Выпишем ряд равенств, в котором каждое последующее равенство получается путем сложения двух предыдущих: x=y;

;

;

;

. (1)

Перепишем уравнение (1) следующим образом:

(2)

Сократим: . (3)

По условию, . Значит: ; (4), . (5)

Подставим выражения (4) и (5) в уравнение (3): или a = 1.

Итак, мы доказали, что произвольное число a равно 1.

№19. Любое число равно

Решение:

Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то . Поэтому с полным основанием мы можем записать следующие два тождества:

x- = z- (1)

-z = -z (2)

Сложив эти два равенства почленно, получим х-г = - (3)

Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину получим :

x + --z = - или, что, очевидно, то же самое,

х + - -z = - (4)

В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде

( +) а третий и четвертый — в ви­де ( + ). В результате этих преобразований равенство (4) примет вид

( +)- ( + )=- (5)

и окончательно может быть записано так:

( +) (- )= - (6)

(если вынести за скобки общий множитель ( +) в левой части равенства).

Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия

+ = l, (7)

а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что

2 = 1, или =, откуда х = , т. е. произвольное число равно .

№20. Единица наибольшее натуральное число.(Нижеследующий софизм приписывается Перрону).

Решение:

Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим натуральным числом является единица.

Пусть число k 1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, что k * k = k2 k * 1 = k.

Последнее равенство показывает, что принятое нами в качестве наибольшего натурального числа число k не является таковым, так как ясно, что число, равное k2, больше этого числа k 1 не может быть наибольшим целым. Остается принять, что наибольшим натуральным числом является 1, так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

№21. Единица равна двум.

Решение:

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости ра­венства 1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6 +, в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е. (1-)=(2-).

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство: 1-=2 -, откуда следует, что 1=2.

№22. Любые два неравных числа равны.

Решение:

Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму а,

т. е. x + z = a. Умножив обе части этого равенства на x-z, получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax - az. Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим x2-ax = z2-az.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства число , будем иметь:

х2 – а х + = z2 – a z + ,

или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим .

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадрат­ные корни, придем к выражению

. Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве рав­ны, то заключаем, что x=z.

№23. Половина любого числа равна половине числа, ему противоположного.

Решение:

Возьмем произвольное число а и положим х =-|. Тогда 2х + а = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0. При­бавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем

х2 + 2ах + а2 = х2. Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство мож­но записать в виде (х + а)2 = х2 (1), а после извлечения квадратного корня из обеих частей по­следнего равенства получаем х + а = х. (2) Поскольку по условию х =-, то из равенства (2) имеем -+ а= -, и поэтому получаем окончательно - = .

№24. Если a и b – положительные числа, то a>b и b>a.

Решение:

Даны два неравенства. Оба со знаком > (больше) или оба со знаком < (меньше), поэтому их можно сложить или перемножить их почленно, причем в новом неравенстве будет тот же знак.

Т. е., если a>b и c>d, то: и

Пусть имеется два положительных числа a и b. Запишем для них два очевидных неравенства: , .

Перемножим неравенства почленно и получим, что ab>b2.

Разделим обе части неравенства на b (b>0): a>b.

Если написать для чисел a и b другие очевидные неравенства: b>-a, a>-a, то после аналогичных рассуждений окажется, что ba>a2, т. е. b>a.

Следовательно, для любых двух положительных чисел каждое больше другого.

№25. Чётное число равно нечётному.

Решение:

Возьмем произвольное четное число 2n, где п — любое целое число, и запишем тождество

(2n)2-2n(2(2п) + 1) = (2n + 1)2-(2n + 1)(2(2n)+1), в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества , пере­пишем его в следующем виде: (2nn) +=(2n+1n+1) +

или в таком: (2n-)2=(2n+1-, откуда следует, что

2n - = 2n + 1 - или 2n=2n+1, что означает равенство четного числа нечётному.

№26. Восемь равно шести.

Решение:

Решим систему двух уравнений подстановкой у из второго уравнения в первое. Получаем х + 8 - х = 6, откуда 8 = 6.

№27. 4 = 5.

Решение:

Пусть a = 4, b = 5, c =. Тогда:    a = 2c - b   и    2c - a = b.

Умножим первое на второе, получим: a2 - 2ac = b2 - 2bc

a2 - 2ac + c2 = b2 - 2bc + c2

(a - c)2 = (b - c)2

a - c = b - c

Откуда a = b, или 4 = 5.

9 класс

№28. Любое число есть произведение бесконечного числа единиц.

Решение:

Рассмотрим равенство:

Перепишем его в следующем виде:

Так как , то:

Извлечём из обеих частей корень степени : или .

При х = 3 имеем: .

Так как: и , то: или:

10 класс

№29. Ноль равен бесконечности.

Решение:

Для доказательства рассмотрим сумму бесконечного числа равных слагаемых и обозначим её Х: Х = а + а + а +а +… (1)

Но сумма ряда (1) будет также равна Х, если мы начнём счёт со второго слагаемого. Тогда можно записать иначе:

х = а + х (2) или Х – Х = а, (3) т. е. а =

Вставим найденное для а значение в выражение (1) :

х=0+0+0+0+… . (5)

из выражения (1) видим, что значение х, с одной стороны, должно равняться бесконечности, а с другой – из выражения (5) – х=0. следовательно: 0=бесконечности.

№30. Сумма бесконечного числа нулей равняется единице.

Решение:

Известно, что .

Но .

Следовательно: .

Пусть m = , тогда: .

Зная, что , получаем: 0+0+0+…=1.

№31. Две неравные величины равны между собой.

Решение:

Пусть a > b. (1)

Рассмотрим два выражения: и .

Пусть n принимает значение бесконечности, тогда можно записать:

(2) или: (3)

Так как количество множителей в выражениях (3) одинаково, то их произведения будут равны только при равенстве отдельных множителей. Отсюда заключаем, что: