Лекция № 1
Введение. Понятие математических моделей и методов
Раздел 1. Введение
1. Содержание, цели и задачи дисциплины «Методы моделирования». 1
2. Методы построения математических моделей. Понятие о системном подходе. 1
3. Основные понятия математического моделирования экономических систем.. 4
4. Методы аналитического, имитационного и натурного моделирования. 5
Контрольные вопросы.. 6
1. Содержание, цели и задачи дисциплины «Методы моделирования»
Настоящая дисциплина посвящена изучению методов моделирования и практическому применению полученных знаний. Целью дисциплины является обучение студентов общим вопросам теории моделирования, методам построения математических моделей и формального описания процессов и объектов, применению математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач, с использованием современных вычислительных средств.
В задачи дисциплины входит:
-ознакомить студентов с основными понятиями теории математического моделирования, теории систем, теории подобия, теории планирования эксперимента и обработки экспериментальных данных, используемых для построения математических моделей,
-дать студентам навыки в области постановки задачи моделирования, математического описания объектов /процессов/, численных методов реализации математических моделей на ЭВМ и решения оптимизационных задач.
В результате изучения дисциплины студент должен освоить методы математического моделирования процессов и объектов от постановки задачи до реализации математических моделей на ЭВМ и оформления результатов исследования моделей.
Курс дисциплины рассчитан на 12 лекций и 12 практических работ. В результате изучения дисциплины студент должен освоить методы математического моделирования от постановки задачи до реализации математических моделей на ЭВМ
2. Методы построения математических моделей. Понятие о системном подходе
Модель - абстракция, отражающая свойства и функции реального объекта. Целью моделирования является исследование свойств и характеристик существующего или планируемого (проектируемого) объекта в тех условиях, когда такое исследование реального объекта невозможно или связано с большими затратами (денег, ресурсов, времени). При проектировании новых объектов их моделирование позволяет выбрать оптимальный вариант конструкции при учете самых разных факторов (условий эксплуатации, технического обслуживания, ремонта и т. д.).
Моделирование бывает натурным или мысленным.
К натурному моделированию относятся:
- испытания уменьшенных (геометрически подобных) копий реального
объекта;
- испытания моделей, отражающих физические свойства реальных объектов (физическое подобие), например, испытания на разрыв образца нового материала;
- макетирование (уменьшенная копия не отражает всех свойств реального объекта, а передает, например, только внешний вид);
- аналоговое моделирование (реальные процессы поведения объекта заменяются на аналогичные процессы другой физической природы, например, электрическая аналогия при исследовании гидравлических систем).
Мысленное моделирование отличается тем, что испытания модели ведется либо мысленно, либо с использованием вычислительных средств (ЭВМ).
К мысленному моделированию относятся:
- аналоговое (аналитически или численно исследуются процессы другой физической природы);
- символическое или языковое, знаковое (каждому процессу ставится в соответствие только одно слово или знак, наборы слов или знаков составляют зависимости, которые можно исследовать лингвистически или с помощью алгебры-логики);
- математическое (к исследованию мысленной модели привлекается математический аппарат).
Математическая модель - совокупность математических объектов (чисел, переменных, векторов, матриц) и отношений между ними (функций, функционалов, алгоритмов), которая адекватно отражает некоторые свойства реального объекта.
Математические модели:
аналитические,
имитационные,
комбинированные.
Аналитическое моделирование проводится, когда поведение реального объекта описывается известной системой уравнений, точно отражающих его свойства и допускающих аналитическое решение. Аналитические преобразования уравнений могут выполняться на ЭВМ, например с помощью средств Mathcad.
Имитационное моделирование проводится, когда вид уравнений, описывающих свойства реального объекта, неизвестен. Тогда уравнения подбираются более или менее произвольно (принцип черного ящика). Частный случай имитационного моделирования – приближенное решение сложной системы уравнений при упрощающих допущениях (например, применение гипотез турбулентности при решении уравнений Навье-Стокса).
Другой частный случай – выбор уравнений для описания процессов поведения объекта на основе аналоговой модели (например, в прочностных расчетах реальный объект заменяется моделью, состоящей из набора стержней и пластин).
Комбинированное моделирование проводится, когда часть процессов поведения реального объекта описывается точными аналитическими выражениями, а другая часть – приближенными уравнениями, имитирующими реальные процессы.
С точки зрения адекватности модели своему реальному объекту предпочтительнее применять аналитическое моделирование. Однако, преимуществом имитационного моделирования является возможность решения таких задач, когда точных аналитических решений не существует или они не известны. Имитационные модели достаточно просто учитывают такие факторы, как наличие дискретных элементов, нелинейных характеристик, случайных воздействий. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный, а часто и единственно возможный метод исследования сложных объектов.
Для построения математических моделей наиболее рациональным способом является системный метод (системный подход), который отличается от классического метода (индуктивного подхода).
В обоих методах объект понимается как система, состоящая из нескольких элементов (подсистем). Индуктивный подход к исследованию системы заключается в предварительном (априорном) разбиении ее на ряд элементов (подсистем).
Для каждого элемента определяются исходные данные для моделирования, ставятся цели моделирования свойств элемента, в соответствии с исходными данными и целями находится математическое описание данного компонента системы. Совокупность таких компонентов составляет математическую модель. В основу такого подхода положен принцип логической индукции – от частного к общему. При этом подходе подразумевается, что компоненты математической модели независимы друг от друга и выполняют каждый свою функцию. На практике отдельные элементы испытывают влияние друг на друга, изменяющее их поведение и свойства. Поэтому лишь простейшие системы допускают при исследовании классический подход.
Системный подход при составлении математических моделей (рис. 1.1) начинается с формулировки главной цели моделирования (главной цели функционирования системы). Затем на основе исходных данных формулируются требования, которым должна удовлетворять математическая модель. На основе этих требований из модели вычленяются ее отдельные элементы и описываются уравнениями. Как правило, элементы модели представляют собой реальные элементы реального объекта.
Совокупность всех уравнений представляет собой математическую модель, которая испытывается на соответствие главной цели моделирования (обратная связь - соответствие расчетов с опытными данными).
Если цель моделирования не достигнута (большое расхождение расчетов и эксперимента), то производится корректировка требований к элементам модели и изменение самих элементов. Эти изменения производятся на основе критериев выбора (второй контур обратной связи, включающий память о сделанных изменениях и реакций на них математических моделей).
Рис. 1.1. Схематическое изображение системного подхода (Ц – главная цель; Д – исходные данные; Т – требования к модели; Э – элементы модели; М – математическая модель; О. С. – обратная связь (1-й контур); К. В. – критерий выбора (2-й контур обратной связи).
При системном подходе принцип разбиения системы на элементы совершенно иной, чем при индуктивном подходе. Элемент выбирается не априорно, а на основе требований ко всей математической модели, составленных для удовлетворения одной главной цели моделирования. Поэтому элемент учитывает взаимодействия с другими элементами (если это отражено в требованиях). Элемент системы в данном случае уже не представляет собой реальный элемент реального объекта, а включает в себя то влияние (реакцию), которое оказывают на него другие элементы. Наличие в модели двух контуров обратной связи позволяют получить системе следующие свойства:
1. Саморегуляция - возможность проверки математической модели на соответствие исходной цели (обеспечивается первым контуром ОС).
2. Самоорганизация - целенаправленное изменение математической модели до возможно более полного совпадения расчета с экспериментом (обеспечивается вторым контуром ОС, включающей память о реакциях модели на сделанные изменения).
3. Основные понятия математического моделирования экономических систем
Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.
Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:
1. Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т. п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.
Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.
На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.
Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:
1. Содержательная постановка задачи.
2. Системный анализ.
3. Системный синтез (математическая постановка задачи)
4. Разработка или выбор програмного обеспечения.
5. Решение задачи.
Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.
Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.
4. Методы аналитического, имитационного и натурного моделирования
Моделирование представляет собой мощный метод научного познания, при использовании которого исследуемый объект заменяется более простым объектом, называемым моделью. Основными разновидностями процесса моделирования можно считать два его вида - математическое и физическое моделирование. При физическом (натурном) моделировании исследуемая система заменяется соответствующей ей другой материальной системой, которая воспроизводит свойства изучаемой системы с сохранением их физической природы. Примером этого вида моделирования может служить пилотная сеть, с помощью которой изучается принципиальная возможность построения сети на основе тех или иных компьютеров, коммуникационных устройств, операционных систем и приложений.
Возможности физического моделирования довольно ограничены. Оно позволяет решать отдельные задачи при задании небольшого количества сочетаний исследуемых параметров системы. Действительно, при натурном моделировании вычислительной сети практически невозможно проверить ее работу для вариантов с использованием различных типов коммуникационных устройств - маршрутизаторов, коммутаторов и т. п. Проверка на практике около десятка разных типов маршрутизатров связана не только с большими усилиями и временными затратами, но и с немалыми материальными затратами.
Но даже и в тех случаях, когда при оптимизации сети изменяются не типы устройств и операционных систем, а только их параметры, проведение экспериментов в реальном масштабе времени для огромного количества всевозможных сочетаний этих параметров практичеки невозможно за обозримое время. Даже простое изменение максимального размера пакета в каком-либо протоколе требует переконфигурирования операционной системы в сотнях компьютеров сети, что требует от администратора сети проведения очень большой работы.
Поэтому, при оптимизации сетей во многих случаях предпочтительным оказывается использование математического моделирования. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий), определяющих процесс изменения состояния системы в зависимости от ее параметров, входных сигналов, начальных условий и времени.
Особым классом математических моделей являются имитационные модели. Такие модели представляют собой компьютерную программу, которая шаг за шагом воспроизводит события, происходящие в реальной системе. Применительно к вычислительным сетям их имитационные модели воспроизводят процессы генерации сообщений приложениями, разбиение сообщений на пакеты и кадры определенных протоколов, задержки, связанные с обработкой сообщений, пакетов и кадров внутри операционной системы, процесс получения доступа компьютером к разделяемой сетевой среде, процесс обработки поступающих пакетов маршрутизатором и т. д. При имитационном моделировании сети не требуется приобретать дорогостоящее оборудование - его работы имитируется программами, достаточно точно воспроизводящими все основные особенности и параметры такого оборудования.
Преимуществом имитационных моделей является возможность подмены процесса смены событий в исследуемой системе в реальном масштабе времени на ускоренный процесс смены событий в темпе работы программы. В результате за несколько минут можно воспроизвести работу сети в течение нескольких дней, что дает возможность оценить работу сети в широком диапазоне варьируемых параметров.
Результатом работы имитационной модели являются собранные в ходе наблюдения за протекающими событиями статистические данные о наиболее важных характеристиках сети: временах реакции, коэффициентах использования каналов и узлов, вероятности потерь пакетов и т. п.
Существуют специальные языки имитационного моделирования, которые облегчают процесс создания программной модели по сравнению с использованием универсальных языков программирования. Примерами языков имитационного моделирования могут служить такие языки, как SIMULA, GPSS, SIMDIS.
Существуют также системы имитационного моделирования, которые ориентируются на узкий класс изучаемых систем и позволяют строить модели без программирования.
