Билет 1 (стр. 2 )

2. Формирование матрицы жесткости и вектора нагрузки в методе конечных элементов.

Формирование матрицы жесткости: , ; ; ;

Формирование вектора нагрузки: ; - локальная матрица жесткости, - локальный вектор нагрузки. , ; . Нужно сформировать глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор нагрузки глобальной матрицы жесткости , а вектор длины М . , локальной матрице мы добавили глобальную номерацию , . i, j, k - глобальные номера узлов.

3. Сравнение интеграла Римана и интеграла Лебега. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.

Опред.: Измеримая функция f, определена на множестве х с бесконечной конечной мерой s и называется суммируемой на х если она суммируема на каждом измеримом подмножестве , конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности предел существует и не зависит от выбора этой последовательности. Этот предел называет интегралом от f по множеству х и обо обозначается символом

Теорема. Для того чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [a, b] необходимо и достаточно чтобы она была ограничена и множеством ее точек разрыва имела меру 0 (т. е. чтобы повсюду была непрерывна).

Теорема 2. Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то она интегрируема по Лебега, причем оба интеграла совпадают.

Связь между Интегралом Лебега и Римана. на [0,1],

.

Суммируема ли f(x)=1 на [0,1]/ . Послед. f(x) не убывающая,

.

2. на [0,1].

, . По теореме Лебега , , функции от не суммируема, интеграл Лебега не существует.

Опред.: Всякая неогр. ф-ия суммируется на отрезке если ее не собственный интеграл Римана сходится не абсолютно и не суммируема если интеграл сходится условно или расходится. То же самое справедливо для интеграла по функции неограниченного множества.

Опред.: Множество Х представлена как сумма счетного числа множеств конечной меры . Если пространство Х, в котором задана мера µ, представлено как сумма счетного числа множеств конечной меры, то мера µ на Х называется бесконечной (пример: мера Лебега на прямой, плоскости ). Меру не удовлетворяющее условию бесконечности можно получить приписав каждой точке на прямой вес 1. Тогда все подмножества прямой можно считать измеримым причем, конечные множества будут иметь конечную меру, а остальные бесконечную.

Билет №7

Свойства оптимальных смешанных стратегий
Теорема 1 () – ситуация равновесия в смешанных стратегиях k() - чистая стратегия 1 игрока - чистая стратегия 2 игрока,-i-ая строка А, -j-ый столбец А

Доказательство(необходимость) Необходимость очевидна из определения ситуации равновесия

Доказательство(достаточность) Дано: Доказать: .
, и , аналогично для второго неравенства

Докажем, что

Теорема 2

-ситуация равновесия , где

i=1..m j=1..n

и

i=1..m j=1..m

j=1..n j=1..n

Все maxmin и minmax равны

Теорема 3

Если чистая стратегия одного игрока активна, то она уравновешивает любую оптимальную стратегию противника, т. е:

Теорема 4

-оптимальная стратегия 1 игрока, тогда если -оптимальная стратегия второго игрока

оптимальная стратегия 1 игрока

2)Примеры конечных элементов

А)Треугольные элементы(нумерация идет по некоторой системе)

Б) Прямоугольные элементы(могут быть с дополнительными узлами)

В)Тетраэдры, параллелепипеды, если есть симметрия - цилиндры 3д

3)Определение и основные свойства интеграла Лебега

Пусть f(x) измерима на множестве E и ограничена, то есть Разобьем [A, B] на n частей

Определение: Суммы и называются соответственно нижней и верхней суммами Лебега.

Определение: Общий предел нижних и верхних сумм Лебега при называется интегралом Лебега от ограниченной функции f(x) по множеству E.

Основные свойства интеграла Лебега:

1)Теорема о среднем: если

Следствие 1: Следствие 2: | m=0

Следствие 3:

2)Полная аддитивность: если множество Е - объединение конечной или счетной совокупности попарно не пересекающихся измеримых множеств в , то

Следствие 1: если на Е , если , то .

Следствие 2: если и , то

3)Линейность :

4)Монотонность: 5)

Билет 8

1) Спектр стратегии. Существенная стратегия. Восстановление стратегии 2-го игрока по спектру оптимальной стратегии 1-го и обратно.

Спектр стратегии

множество индексов называется спектром

– спектр х

- смешанная стратегия

Существенная стратегия

Чистая стратегия I - ui называется существенной стратегией, если оптимальная стратегия этого игрока

- существенная стратегия II игрока, если - оптимальная стратегия II игрока

Восстановление

- оптимальная смешанная стратегия I игрока, тогда если , т. е. -оптимальная стратегия II игрока

Аналогично: если , т. е. - оптимальная стратегия I,

Если - известно, определяется из системы

Аналогично

, - смешанная стратегия

1) -дано

2) -спектр оптимальной стратегии II игрока определяется из системы

Теорема: -оптимальная смешанная стратегия I, тогда если - оптимальная стратегия II. Аналогично, если - оптимальная стратегия I

Док-во

-опт. стратегия II равносильно, если -опт. стратегия II

от противного: пусть , т. е. для всех оптимальных компонент. выполнено (всегда верно )

сложим все эти нер-ва: - противоречие

2) Метод Холесского

Матрица заполняется по столбцам (по строкам ­–по строкам появится неизвестность)

Ах=В A=LLT L-треуг. Матрица LLTx=B(LTx=Y) LY=B

такие элементарно решаются

Метод Холесского: если матрица симметричная, ее можно разбить на треугольные матрицы.

3) Определение и простейшие св-ва измеримых функций. Простые функции и определение интеграла Лебега для них.

Пусть f(x) определена на мн-ве Е, если

Определение:

функция f(x) наз. Измеримой на мн-ве Е, если Е измеримо и все мн-ва Е(f>a) также измеримы

Св-ва измеримых функций:

Если f(x) и g(x) измеримы на мн-ве Е, то на этом мн-ве измеримы также

Определение:

Функция f(x), определяющая на некотором пр-ве X с заданной на нем мерой, наз. простой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Определение:

Простая функция f наз. интегрируемой или суммируемой (по мере u) на мн-ве А, если ряд , где -(1) абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда (1) наз. интегралом от f по мн-ву А.

Св-ва измеримых функций:

1) всякая функция заданная на мн-ве меры 0 – измерима

2)Если f(x) измерима на Е1,Е2,… и измерима, то f(x) измерима на E

Д-во: 2 функции f(x) и g(x) заданы на Е наз. эквивалентными, если они равны почти всюду (за исключением может счетного мн-ва точек) на Е,

3) Если f(x) измерима на Е, , то g(x) –измерима

Д-во: f измерима на g измерима на B, g измерима и на измерима на измерима не Е

4) Если f(x) измерима на Е, то при измеримы мн-ва . Если хотябы одно из мн-в измеримо , то f(x) измерима на Е

Д-во:

Билет №9

Доминирование стратегий, строгое доминирование, эквивалентность. Свойства доминируемых (доминирующих) стратегий.

Пусть x’ – смешанная стратегий первого игрока. x доминирует другую смешанную стратегию x’’, если

x строго доминирует, если , эквивалентен если

Пусть y’ – смешанная стратегия второго игрока. y’ доминирует смешанную стратегию y’’ второго игрока, если

Чистая стратегия доминирует стратегию другую чистую стратегию если

Чистая стратегия второго игрока доминирует если

Свойства

- если некая стратегия доминирует оптимальную, то она тоже оптимальна

Доказательство: 1)

2) имеем

x’ – оптимальная стратегия

- никакая оптимальная стратегия не может быть доминируема строго

Доказательство: х* - оптимальная стратегия, которая доминирует х* строго . Докажем, что это невозможно

1) из свойств 1 x’ доминирует x* она оптимальна

2) из строгого доминирования пусть - оптимальная стратегия второго игрока, , для . Для всех остальных неравенства могут быть не строгими. Сложим все неравенства: . v>v – противоречие

- пусть чистая стратегия первого игрока доминируема выполнением линейных комбинаций других чистых стратегий и A’ – получается из A вычеркиванием . Тогда:

1) - цены игр A и A’.

2) - оптимальная стратегия второго игрока в игре A’ является оптимальной стратегией второго игрока в игре с A

3) Пусть найдена оптимальная стратегия первого игрока, x* в игре с A’, тогда - расширение х* на -ом месте является оптимальной стратегией первого игрока в игре с А

4) Пусть доминируема строго выполнением линейных комбинаций других стратегий (вместо имеем <)

Любая оптимальная стратегия в игре с А является расширением некоторой оптимальной стратегии x* в игре с A’

Нелинейные динамические системы и их линеаризация

Нелинейная система — динамическая система, в которой протекают процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Свойства и характеристики нелинейных систем зависят от их состояния. В отличие от линейной системы не обладает свойствами суперпозиции, частота выходного сигнала зависит от его амплитуды и др. Многие нелинейные системы в области малых изменений параметров поддаются линеаризации. Линеаризация — один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной

- аттрактор i=1,…,n

- шунт

- неустойчивая

Канторовское троическое множество. Его мощность, мера и категория

Канторово множество – замкнутое. Дан отрезок [0,1], выбрасываем из него интервал (1/3, 2/3), оставшееся замкнутое множество обозначим F1 . Затем выбросим из F1 интервалы (1/9,2/9) и (7/9,8/9), а оставшееся замкнутое множество (состоящее из четырёх отрезков) обозначим. В каждом из этих четырёх отрезков выбросим средний интервал длины (1/3)3 и т. д. Продолжая этот процесс получим убывающую последовательность замкнутых множеств Fn. Положим . Множество F – замкнутое (как пересечение замкнутых), оно получается из отрезка [0,1] выбрасыванием счетного числа интервалов. Ему принадлежат точки 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, … - концы выбрасываемых отрезков, однако множество F не исчерпывается этими точками. Запишем каждое из чисел в троичной системе счисления

Где числа могут принимать значения 0, 1 или 2. Множеству F принадлежат те и только те числа , которые могут быть записаны хотя бы одним способом в виде троичной дроби так, чтобы в последовательности ни разу не встретилась единица. Таким образом, каждой точке можно поставить в соответствие последовательность , где равно 0 или 2. Совокупность таких последовательность образует множество мощности континуума. В этом можно убедиться, поставив в соответствие каждой последовательности последовательность , где =0, если =0, и =1, если =2. Последовательность можно рассматривать, как запись некоторого действительного числа в виде двоичной дроби. Таким образом мы получаем отображение множества F на весь отрезок [0,1]. Отсюда вытекает, что F имеет мощность континуума.

Мера канторова множества равна нулю, так как длина отрезков канторова множества стремится к нулю при дроблении отрезков до бесконечности.

Точки 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, … называются точками первого рода множества F (образуют всюду плотное множество), остальные точки называются точками второго рода.

Билет 10

Итеративный метод Брауна-Робинсона решения матричных игр

Заключается в многократном фиктивном разыгрывании игры.

В 1й партии 1й игрок выбирает произвольную стратегию. В k-й партии каждый игрок выбирает стратегию основываясь на действиях противника в предыдущих партиях.

Предположим, что за первые k партий 1й игрок выбирал i-ю стратегию раз. Тогда второй игрок в k-ой партии будет использовать -ю стратегию, где .

Если второй использовал j-ю стратегию , тогда 1ы игрок в k+1 партии будет использовать стратегию, где .

Векторы и являются смешанными стратегиями игроков, поэтому по определению значения игры имеем .

Теорема. .

Вопрос 2

Определение периодических решений нелинейных динамических систем методом возмущения.

Теория возмущений

(*), , .

Пусть при существует единственное решение на отрезке .

Теорема. Если дост. мало, то при решение задачи Коши (*) существует на всём и справедливо , где - решение задачи (*) при , а .

Подставим разложение в (*) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях .

0 |

1 |

k |

, =0,…,.