Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Если y0 известно, то ост. ур. явл. лин. неоднородными с пер. коэф.

Метод линдштедта-пуанкаре

Вводится медленное время .

Решение ищется в виде

Предполагаем, что y явл. период. функцией и приравниваем коэфф. при одинаковых степенях епс.

Раскладываем f в ряд фурье , находим ч. р. по виду правой части.

Вопрос 3.

Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества. Измеримые множества, их свойства.

Внешней (верхней) мерой ограниченного множества А называется точная нижняя грань мер всевозможных ограниченных множеств, содержащих А: .

Внутренней (нижней) мерой … наз точная верхняя грань мер всевозможных замкнутых мн-в, содержащихся в А: .

Теорема. огранич мн-ва А нижняя мера не превосходит верхней

Опр. Огранич. мн-во Е наз. измеримым (по Лебегу), если его внешняя и внутренняя меры совпадают . При этом наз. мерой Лебега и обозн mE.

Теорема (критерий измеримости). Для того, чтобы огр. мн-во Е было изм, н. и.д., чтобы откр. мн-во G и замкн. мн. F такие, что и .

Свойства измеримых множеств

Т1. Всякое мн-во меры нуль измеримо и его мера Лебега = 0

Т2. Всякое ограниченное открытое или замкнутое мн-во измеримо.

Т3. Если объединение конечной или счетной сов-сти измеримых мн-в ограничено, то оно измеримо. При этом если мн-ва сов-сти попарно не пересекаются, то мера объединения равна сумме мер мн-в сов-сти.

Т4. Если мн-ва Е1 и Е2 измеримы, то их разность Е=Е1\Е2 также измерима. При этом если , то mE=mE1-mE2. Следствие: если , то .

Т5. Пересечение конечной или счетной сов-сти измеримых мн-в измеримо.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Билет 11

Вопрос 1. Вполне смешанные игры и их свойства

Опр. Смеш. страт. наз. вполне смешанной, если , т. е. .

Опр. Ситуация (x, y) наз вполне смешанной, если x и y – вполне смешанные стратегии.

Опр. Игра наз. вполне смешанной, если у неё все сит. равн. вполне смешанные.

Теорема (св-ва вполне смеш. игр)

Пусть ГА – вполне смеш. игра. Тогда

1) существует единств. сит. равновесия

2) м-ца игры квадратная (m=n)

3) если цена игры , решение игры может быть найдено методом обратной матрицы: , где , , .

Замеч. Ограничение 3 несущественно благодаря лемме о масштабе.

Вопрос 2 Модель Лотки-Вольтерра

Это модель межвидовой конкуренции, которую можно использовать для моделирования системы «хищник-жертва».

Допустим, что есть закрытый ареал. Пусть еды для травоядных имеется в избытке. Тогда уравнение количества жертв примет вид , где х – число жертв, а – коэффициент рождаемости.

Так как хищники стабильным питанием не обеспечены, то они вымирают , где - коэффициент убыли хищников, у – число хищников.

Встречи хищников и жертв (которые пропорциональны xy) убивают жертв с коэффициентом и порождают новых хищников с коэффициентом . С учётом этого получаем систему уравнений

Для стационарной позиции изменение популяции равно нуля. Следовательно,

, - центр.

(0,0) – неустойчивое седло.

Вопрос 3

Множества меры нуль. Мера ограниченных открытого и замкнутого множеств, их свойства монотонности и аддитивности.

Множества меры нуль – мн-ва, значение ф-ции на которых не сказывается на значении интеграла.

Опр. Мн-во называется мн-вом меры нуль, если его можно покрыть конечной или счётной совокупностью интервалов, сумма длин которых не превосходит .

Теорема. Всякое конечное или счетное мн-во имеет меру нуль.

Теорема. Объединение конечной или счетной сов-сти мн-в меры нуль есть мн-во меры нуль.

Мера ограниченного открытого мн-ва

Опр. Мн-во наз. ограниченным, если оно содержится в некотором отрезке.

Опр. Мерой интервала (a, b) называется его длина b-a:

m(a, b)=b-a.

Опр. Мерой непустого ограниченного открытого мн-ва G наз. сумма длин составляющих его интервалов:

, - попарно не пересек. интервалы.

Мера ограниченного замкнутого мн-ва

Опр. Мерой ограниченного замкнутого мн-ва F наз. разность , где , , .

Свойства меры множеств

1) Мера любого непустого открытого мн-ва положительна. Мера замкнутого – неотрицательна.

2) Если каждое из мн-в E1 и E2 открыто или замкнуто и , то (св-во монотонности)

3) Если ограниченное открытое мн-во G явл. объединением не пересек. открытых мн-в G1,G2,…, а ограниченное замкнутое мн-во F явл. объединением попарно не пересек. замкнутых мн-в F1,…,Fn, то , (св-во аддитивности)

Билет 12

Вопрос 1

Симметричные игры и их свойства

Опр. Игра называется симметричной, если матрица игры кососимметрическая, то есть . В этом случае все диагональные элементы равны 0.

Теорема (свойства симметричной игры).

Пусть ГА – симметричная игра. Тогда 1) , 2) множества оптимальных стратегий совпадают .

Вопрос 2

Примеры моделей систем с распределенными параметрами

Если объект характеризуется некоторым параметром, различным по своему значению в разных точках объекта, то можно сказать, что значения такого параметра распределены (по объекту). Если таких параметров несколько, то объект рассматривается как система с распределенными параметрами.

1) потенциал в проводящих средах

2) процесс диффузии - закон Фика. C – концентрация, D – коэффициент диффузии.

3) Уравнение Гельмгольца В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране

4) Уравнение Кортвега-де Фриза

Вопрос 3

Теорема об ортогонализации. Гибель Гильбертово пространство.

Теорема. Пусть - лин. нез с-ма (конечная или бесконечная) в евклидовом пр-ве Н. Тогда существует ортогональная система такая, что линейные оболочки этих двух с-м совпадают.

; ; ; …; ;

=> ; …; .

g1,…,gn явл л. к. в-ров f1,…,fn (по построению), сл-но, их лин оболчки совпадают. ч. т.д.

Описанный в теореме процесс ортогон. с-мы наз. процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

Следствие. В сепарабельном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Опр. Полное бесконечномерное евклидово пространство наз. Гильбертовым.

Примеры:

1) . Его точки суть бесконечные последовательности вещ. чисел , для которых сходится ряд . Скалярное произведение: .

2) Пространство измеримых функций с вещественными значениями на [a, b] с интегрируемыми по Лебегу квадратами, т. е. таких, что интеграл определён и конечен. Скалярное произведение: .

Билет 13

1. Постановка задач линейного программирования.

Область допустимых решений, допустимое решение, оптимальное решение.

Переход от общей задачи к стандартной и обратно.

Общая задача линейного программирования имеет вид:

G- область допустимых решений основной задачи

Допустимое решение - решение x которое принадлежит области допустимых решений.

Оптимальное решение-решение x из области допустимых решений на котором целевая функция достигает своего максимума.

Стандартная задача:

И все переменные больше или равны нулю. Переход:

Избавляемся от равенства: больше или равно и меньше или равно одну и туже формулу.

Для переменных для которых отсутствует последнее ограничение заменяем эту переменную: во всех формулах.

2.Уравнение Кортвега-деФриза, его вывод.

Рассмотрим систему пружин соединённых между собой и на каждой груз массой m.

,

, h - расстояние между пружинами

Положим цепочки частиц одинаковой массы, каждая из которых соединена с соседними пружинами с такой силой упругости. (x считается безразмерной)

3. Ряд Фурье элемента евклидова пространства по ортонормированнй системе. Неравненство Бесселя. Неравенство Парсеваля.

Пусть H - евклидово пространство. …- ортонормированный базис.

()==

Координаты вектора в ортонормированном базисе совпадают с его проекциями. В этом случае коэффициенты ck называются коэффициенты Фурье, а рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе. Если ряд сходится и именно к f, то это означает что система ek ортонормированный базис.
Неравенство Бесселя: сумма квадратов проекций вектора f на ортогональные направления не превосходят квадрата длины самого вектора f.

Равенство Парсеваля: ортогональная нормированная система называется замкнутой если для любой f из R справедливо равенство Парсеваля.

Билет 14

1. Анализ на чувствительность задач распределительного типа.

Пусть - оптимальное решение. Тогда ограничение называется активным, если оно превращается в равенство при подстановке оптимального решения.

Ресурс с номером активного ограничения называется дефицитным.

Анализ на чувствительности :

Определить на сколько можно изменить дефицитный ресурс, чтобы это ограничение осталось активным

Анализ на коэффициенты целевой функции:

1.Определение углов наклонов всех ограничений.

2.Нахождение оптимального решения.

3.Определение насколько можно изменить наклон ограничения, чтобы оптимальное решение осталось оптимальным.

Исследование по правым частям активных ограничений:

Ценность дополнительной единицы i ресурса.

максимальное возможное значение I ого ресурса при котром данные огарничения остаётся активным.

2. Пример. Солитонные решения, их свойства.

Уединённая волна - солитон. - солитон бризер при столкновении просто разойдутся, не трансформируясь как частицы.

В среде возникают солитоны: кник и антикинк(всегда парой)

3. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

Линейное действительное пространство наз евклидовым, если для любого x, y принадлежащего Y поставлено в соответствие действительно число называемое их скалярным произведение, для которого выполняется :

1) (x, x)>=0 , притом x=0 ó(x, x)=0

2) (x, y)=(y, x) Коммутативность

3) (x+y, z)=(x, z)+(y, z) Аддитивность

4)

3 и 4 вместе определяют линейность.

Число называется нормой x.

Теорем: Справедливо неравенство Коши-Буняковского:

Доказательство:

1) x=0 ó 0=0

2) x!=0 => Рассмотрим P()=

такие как это скалярный квадрат: => =>

Билет 15

1. Основные теоремы л. п.: о существовании допустимого базисного решения, о выпуклости множества Q допустимых решений.

Пусть где -матрица басзисного минора определитель кготорой не равен 0.

Тогда называется допустимым базисным решением.

Теорема: Если множество допустимых решений не пусто, то существует допустимое базисное решение (без доказательства)

Теорема 2: Множество допустимых решений стандартной задачи является выпуклым, то есть если , где

Доказательсво:

2. Переменные Эйлера и Лагранжа.

Переменная Эйлера:

Мы сидим на берегу и наблюдаем как некоторое сечение проходит определенный объём жидкости. Это подход Эйлера :

Переменная Лагранжа:

Фиксируем некоторую подвижную систему координат (как бы фиксируем некоторый объём и следуем за ним). Движение жидкости (и газа при определённых условиях) типичная модель с распределёнными параметрами.

3. Полная система элементов и базис в нормированном пространстве. Определение и примеры банановых пространств.

Систему элементов из E называют полной, если её замкнутая линейная оболочка совпадает с E.

[L(E)]=E

Например

Пусть Е - бесконечномерное нормированное пространство. Упорядоченная система называется базисом в E, если любой элемент x из E однозначно представим в виде :

Где - координаты.

Всякий базис является полной линейно независимой системой.

Полное бесконечномерное нормированное пространство называется Банаховым.

Например: , множество ограниченных последовательностей.

Билет 16

1. Основные теоремы л. п.: достаточное условие существования крайней точки Q, необходимое условие существования крайней точки Q, о разрешимости стандартной задачи.

Теорема.

Допустимые базисные решения стандартной задачи являются крайними точками множества всех допустимых решений.

Д. Пусть Y0 – допустимое базисное решение. Докажем, что Y0 – крайняя точка.

От противного. Предположим, что Y – внутренняя точка.

Теорема.

Любая крайняя точка G является допустимым базисным решением стандартной задачи.

Д. Пусть

Докажем, что столбцы, соответствующие этим компонентам линейно независимы.

Предположим что p столбцов A линейно зависимы:

Пусть J={j:>0}. Определим число и определим

значит Y – внутренняя точка отрезка с концами -противоречие.

Теорема. Пусть стандартная задача разрешима, т. е. , тогда существует крайняя точка G на которой достигается maxf(x), т. е. -допустимое базисное решение.

2. Математическая модель для описания идеальной жидкости

Где – вектор скорости жидкости, - давление в жидкости, - плотность жидкости, - вектор напряжённости силового поля.

Эта система уравнений называется системой уравнений Эйлера.

В общем случае жидкость не является идеальной, и существует трение между слоями.

Если считать жидкость несжимаемой, то

3. Определение и примеры нормированных пространств.

Линейное пространство E называется нормированным, если каждому элементу x из E поставлено в соответствие число , называемое нормой этого элемента, причём выполняются 3 условия:

Примеры.

Билет 17

1. Теорема о сходимости симплекс метода. Основные леммы.

Теорема. Симплекс метод для невырожденной задачи сходится за конечное число шагов, т. е.

1) или устанавливается, что задача не имеет решения

2) или находит решение

Д.

т. к. число всех крайних точек конечно, то метод сходится.

Леммы:

1) Для вырожденной задачи алгоритм может зациклиться т. к.

2) Для любой стандартной задачи существует антициклин.

3) Симплекс метод сходится за конечное число шагов для любой стандартной задачи.

2. Математическая модель для описания вязкой жидкости.

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из двух уравнений:

уравнения движения,

уравнения неразрывности.

Где – вектор скорости жидкости, - давление в жидкости, - плотность жидкости, - вектор напряжённости силового поля, - коэффициент кинематической вязкости.

Если считать жидкость несжимаемой, то

3. Определение сжимающего отображения. Принцип сжимающих отображений

Опр. Отображение A:M->M называется сжимающим, если существует число такое что

Теорема(принцип сжимающих отображений)

Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет неподвижную точку, притом единственную.

Опред. Любая точка x, которая отображением A переводится в себя называется неподвижной точкой этого отображения Ax=x

Д. Пусть x0-произвольная точка в R. Положим x1=Ax0, x2=Ax1=A2x0 и т. д., вообще xn=Axn-1=Anx0. Покажем, что последовательность {xn} фундаментальная. Действительно, считая для определённости mn, имеем

т. к. <1, то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты R последовательность {xn} будучи фундаментальной имеет предел . Тогда в силу непрерывности отображения А:

Докажем единственность неподвижной точки.

Если Ax=x, Ay=y, то неравенство принимает вид т. к. <1->

Билет 18

1. Антициклин. Пример антициклина

Антициклин – это метод выбора очередного базиса, гарантированно спасающий программу от зацикливания на этапе выбора очередного базиса.

Анонимус добавляет, что вообще мы не проходили эту хрень и сожалеет, что Вам попался этот билет.

Пример:

Пусть v0 – некоторая угловая точка множества допустимых решений с базисом . К симплекс-таблице точки v0 добавим ещё r столбцов единичной матрицы порядка r.

Пусть уже сделано несколько шагов симплекс-метода с расширенной симплекс-таблицей и найдена очередная угловая точка vl, пусть в результате преобразований в дополнительных столбцах первоначальных появились столбцы . Предположим что базисом является . Пусть

Образуем множество . Поскольку в вырожденном случае это множество может состоять из двух и более номеров, образуем множество и т. д., пока найдём множество в котором содержится только один номер. Выведем переменную с полученным таким образом номером s из базисных и вместо неё в базисные введём переменную uk.
Метод введения безразмерных переменных. Числа Кнудсена и Рейнольдса.
Метод заключается в делении переменной на константу, относительно которой будет изменяться новая безразмерная величина.

Таким образом например мы имеем стержень длиной l, а x – переменная длины стержня. Тогда x/l будет безразмерной величиной, изменяющейся от 0 до 1 в пределах стержня.

Число Кнудсена (Kn) — один из критериев подобия движения разрежённых газов:

, где λ — средняя длина свободного пробега молекул в газе, L — характерный размер течения (например, длина обтекаемого тела, диаметр трубопровода, диаметр свободной струи). Для идеального газа формула имеет вид:

где kB — постоянная Больцмана, P — давление, T — температура, σ — поперечный размер частицы.

Численная величина Kn характеризует степень разрежённости газового потока. Если $\mathrm{Kn}\gg 1$ (теоретически при $\mathrm{Kn}\to\infty$ ), то аэродинамические характеристики обтекаемых разрежённым газом тел (или течение в вакуумных трубопроводах) можно рассчитывать, не рассматривая столкновений молекул между собой, а учитывая лишь удары молекул о твёрдую поверхность (свободное молекулярное течение). Практически такие методы становятся применимыми и используются уже при Kn˜1. Если $\mathrm{Kn}\ll 1$ (теоретически — при $\mathrm{Kn}\to 0$ ), справедливо основное предположение гидроаэромеханики о сплошности (континуальности) среды и при расчете течения можно пользоваться уравнениями Эйлера или уравнениями Навье — Стокса с соответствующими граничными условиями.

Число или критерий Рейно́льдса ( $\!\mathrm{Re}$ ) — безразмерная величина, характеризующая отношение нелинейного и диссипативного членов в уравнении Навье-Стокса. Число Рейнольдса также считается критерием подобия течения вязкой жидкости.

Число Рейнольдса определяется следующим соотношением:

$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta}=\frac{vL}{\nu}=\frac{QL}{\nu A},$

где

ρ — плотность среды, кг/м3; v — характерная скорость, м/с; L — характерный размер, м; η — динамическая вязкость среды, Н*с/м2; ν — кинематическая вязкость среды, м2/с( $\nu = \frac{\eta}{\rho}$ ) ; Q — объёмная скорость потока; A — площадь сечения трубы.

Для каждого вида течения существует критическое число Рейнольдса, Recr, которое, как принято считать, определяет переход от ламинарного течения к турбулентному. При Re < Recr течение происходит в ламинарном режиме, при Re > Recr возможно возникновение турбулентности. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения.

Компактное метрическое пространство. Свойства непрерывной функции на компактном пространстве.
Пусть M – метрическое пространство.

Множество называется компактным, если в любой последовательности элементов этого множества можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к т.

Если при этом , то множество k называется компактным в себя.

Компактное метрическое пространство называется компактом.

Компакт является полным пространством.

Пример: 1) (a, b) в R является компактным множеством

2) [a, b] в R является компактным в себя множеством.

3) R не является компактным множеством.

Свойства:

1) Любая функция, непрерывная на компакте ограничена на нём.

2) Любая функция, непрерывная на компакте достигает на нём своих точной нижней и верхней граней.

3) Если функция непрерывна на компакте, то она и равномерно непрерывна на нём.

Д. 1) Пусть f непрерывна на компакте K. Предположим, что она неограниченна

Это противоречит (*)т. к.

Предположение о неограниченности неверно.

Д. 2) По свойству 1 существует supf(x) на компакте

Предположим т. е.

Рассмотрим непрерывно на K и значит по свойству 1 ограничена сверху.

- противоречие

Аналогично для inf.

Д. 3) Предположим функция не является равномерно непрерывной. Это значит, что

, расстояние между которыми

. Ввиду компактности . Считаем, что при противоречие.

Билет 19

Вопрос 1. Методы нахождения допустимого базисного решения.

1. Когда известно сразу допустимое решение

2. Метод искусственных переменных.

Теорема о разрешимости вспомогательной задачи.

Вспомогательная задача всегда разрешима и

1) если

2) если , то исходная стандартная задача имеет пустое множество допустимых решений

Д-во:

1) Докажем, что (1) всегда разрешима.

а) - решение этого вида является доп. базисным решением (1),

т. е. , т. к.

б)

в) запускаем симплекс метод 1) 2) находим (1) всегда имеет решение

г) докажем, что если от противного:

пусть - область для исходной задачи (2), пусть - доп для (1)

- противоречие, т. к. должно быть max.

3) - допустимое базисное решение и крайняя точка (1)

Докажем, что является крайней точкой G – допустимого базисного решения (2), а след. дополнительным базисным решением.

От противного:

Пусть не является крайней точкой G

Противоречие. не внутренняя точка G

Вопрос 2 Ламинарные и турбулентные течения. Классические представления об их природе.

Если трубки тока параллельны друг другу, то такое течение называется ламинарным. Наблюдается при малых числах рейнольдса. Турбулентное течение: при увеличении Re начинается вихревое движение.

Представление об их природе: в жидкости возникает молекулярное сопротивление, которое характеризуется вязкостью и турбулентным сопротивлением за счет пульсации скорости. Существует и переходный режим, когда ламинарность переходит в турбулентность. Для систем (для каждой свои) есть критические значения Re* - выше которого турбулентное течение, Re со звездой внизу – ниже которого ламинарное.

Вопрос 3 Фундаментальная последовательность. Определение и примеры полных метрических пространств.

Последовательность точек метрического пространства R называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т. е. для любого существует такое число , что для всех .

Из аксиомы треугольника следует, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Действительно, если сходится к х, то для данного можно найти такое число , что для всех . Тогда для любых

Если в пространстве R любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Примеры.

1) в пространстве изолированных точек фундаментальны только стационарные последовательности, т. е. такие, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка. Всякая такая последовательность сходится, т. е. это пространство полно

2) Полнота евклидова пространства R известна из анализа.

3) Полнота евклидова пространства вытекает из полноты R. Пусть -фундаментальная последовательность точек из , это означает, что для каждого найдется такое N=, что при всех p, q больших, чем N. Здесь . Тогда для каждого k=1,…,n получаем соответствующее неравенство для координаты : для всех p, q>N, т. е. - фундаментальная числовая последовательность. Положим и . Тогда очевидно,

4) Полнота пространств и доказывается аналогично

5) Докажем полноту пространства C[a, b]. Пусть - некоторая фундаментальная последовательность в C[a, b]. Это означает, что для каждого существует такое N, что при n, m>N для всех . Отсюда вытекает, что последовательность равномерно сходится. Как известно в этом случае ее предел x(t) будет непрерывной функцией. Устремляя в предыдущем неравенстве m к бесконечности, получим для всех t и для всех n>N, а это и означает, чтосходится к x(t) в смысле метрики пространства C[a, b].