Билет 1 (стр. 1 )

Билет 1

Антагонистическая игра в нормальной форме. Примеры матричных игр.

Г(Х У К) называют антагонистической игрой в нормальной форме, если Х - множество всех стратегий 1 игрока, - стратегия 1 игрока. У - множество стратегий 2 игрока. - стратегия 2 игрока. (х, у) - ситуация равновесия в игре. К - платежная функция. К (х, у)- выигрыш 1 игрока. - К (х, у) - выигрыш 2 игрока.
интерпретация игры - оюа игрока одновременно и независимо выбирают стратегию и. 1 получит выигрыш К, второй - минус К.

Матричные игры: Если Х и У - конечные множества, то такая игра - матричная.|x|=m - число стратегий 1 игрока.

интерпретация матричной игры: можно занумеровать все стратегии 1 и 2 игроков. - значение платежной функции.

Примеры - полковник Блотто. m и n полков у полковника и противников. есть на каждом ходе 2 позиции. можно распределить бойцов в любом количестве по ним. Если у 1 игрока на позиции полков больше, т оон получает выигрыш - число полков противника + 1. Если у противника больше, то проигрывает все полки и еще 1. общий выигрыш на 2 позициях - сумма выигрышей на 1 и 2.

Игра в пальцы. 2 игрока показывают пальцы одновременно. если сумма пальцев четна - побеждает 1 игрок. его выигрыш - сумма пальцев. если не четно - второй.

Уравнение Эйлера-Лагранжа.

Пусть задан функционал

с подынтегральной функцией , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по t. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

необходимое условие существования экстремума u=u(x, y)

Резольвента и спектр линейного оператора.

А - линейный оператор в n-мерном пространстве . Число - собственное значение оператора А, если Ах= х имеет ненулевое решение. Совокупность всех собственных значений - спектр оператора, а все остальные значения - регулярные.

Пусть А - ограниченный линейный оператор из Банахова пространства (действит или косплексный). если сцществует - резольвента оператора А. Множество всех нерегулярных точек - его спектр. Множ всех собственных значений - - дискретный (точечный) спектр. I - тождественный оператор.

Билет 2.

Нижнее и верхнее значение игры.

Г( Х У К). - нижнее значение. - верхнее значение.
maxmin: если sup достигается на стратегии , то - maxmin стратегии 1 игрока.
minmax: если inf достигается на стратегии , то - minmax стратегии 2 игрока.
Лемма в верхнем и нижнем пределе: Для любой антагонистической игры Г=(Х У К) .
док-во: . берем inf от обеих частей. . берем sup по х слева.

отсюда .

Краевые условия для уравнения параболического типа.

граничные условия:

Дирихле: . Неймана: . Ньютона:
- коэф теплообмена. - делается эта замена и решается для . Х-коэффициент теплопроводности. с-теплоемкость. - плотность. - тепло, выделяемое в объем. Обезразмериваем: , , .Д - некий размер в области. ,

. безразмерная задача. решаем стационарную задачу.

- тепловой поток на границе.

Определение обратного оператора. формулировка теоремы Банаха об обратном операторе.

А - оператор, действующий из Е в Е. - область определения. - образ этого оператора.

Опр: Оператор А обратимый, если для любого уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если А обратимый, то любому можно поставить в соответствие единственный элемент , являющийся решением уравнения Ах=у, оператор, осуществляющий это соответствие - обратимый к А - .

Теорема Банаха: пусть А - линейный ограниченный оператор, взаимно-однозначно отображающий банахово пространство Е на Е. Тогда обратимый оператор А - ограничен.

Е - полное нормированное пространство.

Билет 3.

ситуация равновесия. седловая точка в матричной игре. свойства ситуаций. значение игры. оптимальная стратегия.

Г( Х У К ) - игра. (х* у*)- ситуация равновесия, если К(х у*)К(х* у*)К(х* у).

седловая точка (i* j*) - ситуация равновесия для матр игры с матрицей А, если .

- седловая точка, если она является max в столбце и min в строке.

Свойства ситуаций равновесия:

и . тогда

1)

.

в 1 заменяем . во втором:

- равенство.

2) и - тоже ситуация равновесия.

- > - ситуация равновесия.

Значение игры - значение платежной функции в положении равновесия - цена игры

оптимальные стратегии: х* и у* - опт стратегии игроков. z =- множество всех стратегий.

- декартово произведение. х*=Прy z y*=Пр x z

Функционал для уравнения теплопроводности.

Сопряженное пространство.
Совокупность всех непрерывных линейных функционалов определнных на некотором линейном пространстве Е образуют линейное пространство. оно называтся пространством сопряженном с Е и обозначается Е.
Теорема: пространство Е*, сопряженное к нормированному пространству Е является Банаховым.

Пространство, сопряженное Е* называется вторым сопряженным пространством (Е*)*

- естественное отображение (вложение) Е в Е**, что является изоморфизмом между Е и линейным многообразием Е**.

Билет 4

1. Теорема о решении антагонистической игры в чистых стратегиях. Вполне определенные игры.

Пусть - антагонистическая игра тогда игра Г имеет ситуацию равновесия в чистых стратегия тогда и только тогда когда существует минимакс и максимин, и они равны .

Доказательство. -ситуация равновесия, докажем что существует маскимин=минимакс(). По определению и - чист стратегии . . . , по лемме о верхних и нижних значениях справедливо обратное неравенство верхние и нижние значения равны . Все нестрогие неравенства превращаются в равенства . на котором достигается минимум. . (2) , на котором достигается максимум. стратегия. Обратно(необходимость): 1) Существует максимин и минимакс, 2) Они равны, доказать что существует система равносильная

(1) Пусть стратегия 1-го игрока, астратегия 2-го игрока, тогда для любого случая значения к, стратегия 1-го игрока, , - точка где достигается sup. 1)

2) Пусть 2-го игрока, тогда , , так как , докажем что -ситуация равновесия , , окончательно: , -ситуация равновесия.

Вполне определенные игры – антагонистическая игра с ситуацией равновесия называется вполне определенной.

2. Основные положения метода конечных элементов.

1) в рассматриваемой области фиксируется конечное число узлов.

2) значений функций в узловых точках является неизвестной и их необходимо найти в процессе решения.

3) область определения функции разбивается на конечное число подобластей, которое называется конечными элементами. Элементы имеют общие узловые точки, которые приближают их область.

4) Исходная функция аппроксимируется на каждом элементе полинома , для каждого конечного элемента подбирается свой полином, таким образом чтобы сохранить непр. на граничной области.

5)Впред. Одного конечного элемента приближенное значение записывается: , где - функция формы

6) Приближенное значение функции получается путем суммирования по всем элементам , значение находится путем минимизации ф-иа соотв. ему исходного дифференциального уравнения.

3. Определение и примеры линейных операторов. Норма линейного оператора.

Пусть и линейные пространства и пусть , тогда всякое отображение называется оператором действующим в .

.

Опред.: Оператор из называется линейным если:

1)  Множество D есть линейное многообразие в L;

2)  свойство адетивности оператора

3)  свойство однородности оператора

Опред.: Образ множество элемента в вида .

называется образом оператора А. . называется ядром оператора А.

Опред.: Оператор А действующий называется непрерывным в точке х из Е , (норма разности стремится к х). и просто непрерывна если он непрерывен в каждой точке из Е.

Для линейного оператора как образа и ядра является линейным многообразием в и .

Опред.: Линейный оператор называется ограниченным если существует число такое .

Теорема. Для линейных операторов свойство непрерывности и ограниченности эквивалентны.

Док-во. Пусть А непрерывный оператор , , Это противоречит условию. Пусть рассмотрим по свойству огранич. тчк.

Опред.: Число нормой огранич. оператора А.

Следствие:

1.

2. т. к.

3.

4.

Примеры линейного оператора.

, - n-мерное линейное пространство, - m-мерное линейное пр-во.

базис в , базис в . , где . , где ,

1. , , , j-ый столбец матрица из столбцов координат .

2. С[a, b]. , .

, . , . . /

Если , , то .

3. состояние из всех функций на [a, b] имеющих непрерывные производные.

, , ,

Билет 5.

1. Смешанное расширение матричных игр. Основная теорема матричных игр (Дж. Неймана).

По любой матричной игре можно построить игру, стратегиями которой являются смешанные стратегии исходной матричной игры.

Опр. Пара смешанных стратегий игроков в матричной игре, где и как случайные величины являются независимыми, называется ситуацией в смешанных стратегиях в этой игре

Если имеем дело с игрой и стратегиями игроков в ней, то в условиях ситуации в смешанных стратегиях каждая обычная ситуация (в чистых стратегиях) по определению оказывается случайным событием и, в виду независимости и , реализуется с вероятностью . Поскольку в этой ситуации игрок 1 получает выигрыш , мат. ожидание его выигрыша в условиях ситуации в смешанных стратегиях равно .

Это число принимается за выигрыш игрока 1 в ситуации в смешанных стратегиях и обозначается через . Таким образом приходим к новой игре, которую можно описать след образом:

Опр. Смешанным расширением матричной игры Г= называется антагонистическая игра Г с тильдочкой =, в которой множествами стратегий игроков являются множества их смешанных стратегий в исходной игре, а функция выигрыша игрока 1 определяется выражением .

В обозначениях матричных произведений его можно переписать как .

Теорема (о минимаксе). Для матричной игры с любой матрицей А величины

 Е (А, х, y)  и   Е (А, х,y)

существуют и равны между собой.

2. Основные достоинства метода конечных элементов.

В 50 - х годах прошлого века с появлением первых компьютеров возникла необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Методы конечных элементов (МКЭ) в настоящее время, пожалуй, самые распространенные в мире численные методы. К их достоинствам относятся:

возможность счета на неравномерных сетках, в двумерном и трехмерном случаях для областей сложной геометрии; хорошая аппроксимация границы универсальность широкий круг решаемых задач в силу параметрического представления функций, входящих под знак интеграла, интегрирование по криволинейным областям, мы можем заменить интегрированием по области базового конечного элемента, достаточно простой, кубике или треугольной призме, обычно применение для границ со смешанными граничными условиями использование МКЭ приводит к системе лин. алгебраических уравнений, большинство коэффициентов которых равны нулю

3. Непрерывные линейные функционалы в нормированных пространствах. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала

Т1. Для того, чтобы линейный функционал был непрерывен на , необходимо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность нуля в , на которой функционал ограничен.

Пусть рассматриваемое пространство Е нормировано, по т1 всякий непрерывный л. ф. ограничен в окрестности нуля. Но в нормированном пространстве всякая окрестность нуля содержит шар и, значит, ограничен на некотором шаре. В силу линейности функционала это равносильно его ограниченности на любом шаре, в частности на единичном . Обратно, из ограниченности на единичном шаре следует в силу той же теоремы, его непрерывность (ибо внутренность шара представляет собой окрестность нуля).

Итак, в нормированном пространстве линейный функционал непрерывен в том и только в том случае, когда его значения на единичном шаре ограничены в совокупности.

Пусть - непрерывный л. ф. в нормированном пр-ве Е. Число т. е. точную верхнюю грань значений на единичном шаре пространства Е назовем нормой функционала . Ее свойства:

1) , это сразу следует из того, что для всякого

2) для любого . Действительно, если , то элемент принадлежит единичному шару, и по опр нормы функционала . Если же х=0, то справа и слева стоят нули.

Теорема Хана-Банаха. Пусть Е – действительное нормированное пространство, - его подпространство и - ограниченный линейный функционал на . Этот линейный функционал м. б. продлен до некоторого линейного функционала на всем пространстве Е без увеличения нормы, т. е. так, что

БилетЛемма о масштабе и ее следствия.

, , , тогда такие игры стратегически эквивалентны, то есть множества ситуаций равновесия совпадают , Цена игры связана таким же линейным преобразованием .

Доказательство. , то есть .

, и прибавляем к каждой части, , , - ситуация равновесия с платежной функцией аналогично в обратную сторону , , множества совпадают, следовательно .