«Математика»

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

РАЗДЕЛ 2 «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ»

МОСКВА

Уважаемый студент!

Вы изучили раздел математики «Теория вероятности»

Мы предлагаем Вам выполнить контрольное задание, чтобы определить степень Вашей подготовленности по данному разделу математики.

Выполнение задания должно включать не только указание правильного ответа, но и краткое изложение решения задачи.

Полная аттестация Вас по разделу «Теория вероятности» будет осуществляться только после выполнения Вами данного контрольного задания.

Для выполнения этой работы Вам надо завести отдельную тетрадь, в которой Вы должны указать правильные ответы к задачам и кратко изложить решение этих задач. Следует четко выделять правильный ответ.

Решение задач в тетради должно быть в той же последовательности, как задачи изложены в контрольном задании.

Задача в тетради должна быть переписана полностью.

Тетрадь необходимо подписать с указанием фамилии, имени и отчества, и номер группы.

Просьба писать аккуратно и разборчиво!

Желаем Вас успехов!

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

1)  Элементы комбинаторики.

2)  Определение вероятности события.

1.1.Упростить выражение:

-

1.2. На 7 одинаковых карточках написаны буквы с, у, е, т, н, д.

Карточки перемешаны. Наугад берут одну карточку за другой и кладут в ряд. Какова вероятность того, что получится слово СТУДЕНТ?

1.3 Окружность радиуса R вписана в квадрат. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, окажется внутри вписанного круга, если вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга?

1.4. В партии 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечено 5 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных.

Ответы:

1.1.

1	2	3

1.2.

1	2	3
0,0002	0,03	0,1

1.3

1	2	3
	1-

1.4

1	2	3
0,584	0,32	0,64

2. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

1)  Сложение вероятностей.

2)  Умножение вероятностей.

3)  Независимые события.

2.1.  События А, В. С, Д образуют полную группу событий. Вероятности событий таковы: Р(А) =0.4; Р(В) =0.1; Р(С)=0.1. Найти вероятность события Д.

2.2.  Три автомобиля одновременно проходят таможенный досмотр, причем вероятность успешного прохождения досмотра для каждого из них равна соответственно: 0.9, 0.8, 0.7. Найти вероятность того, что хотя бы один автомобиль пройдет досмотр?

2.3.  Рабочий обслуживает три станка. Вероятность остановки на протяжении одного часа для 1-го станка составляет 0.2, для 2-го станка – 0.1, для 3-го – 0.15. Найти вероятность бесперебойной работы всех трех станков в течение часа.

Ответы:

2.1	1	2	3
	0,4	0,1	0,2

2.2	1	2	3
	0,721	0,994	0,635

2.3	1	2	3
	0,387	0,612	0,834

3)  ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

3.1.  Условная вероятность.

3.2.  Формула полной вероятности.

3.3.  Формула Бейеса.

3.1.Имеется три партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработали заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа проработает заданное время?

3.2.В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен операционистом без помощи заведующего составляет 0,9 и 0,75 соответственно. Клиент был обслужен без помощи заведующего. Определите вероятность того, что он был обслужен 1-м операционистом.

Ответы:

3.1	1	2	3
	0,83	0,74	0,56

3.2	1	2	3
	0,72	0,64	0,87

4)  ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

Формула Бернулли Форма Пуассона Интегральная формула Лапласа

4.1 Контрольная работа состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Студент не готов к контрольной работе и поэтому выбирает ответы наугад. Какова вероятность того, что он правильно ответит:

а) на 1 вопрос;

б) на 3 вопроса.

4.2 В типографии по специальному заказу изготовлено 5000 экземпляров акций, каждая из которых имеет средства защиты в виде водяных знаков. Вероятность того, что в отдельном экземпляре акции содержится типографская ошибка, равна 0,0002. Найти вероятность того, что в продажу поступит 3 негодных экземпляра акций?

4.3 Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна Р=0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет от 710 до 740 раз. (Чтобы решить эту задачу, необходимо воспользоваться табличными интегралами Ф(х) = в учебниках по теории вероятностей).

Ответы:

4.1	1	2	3
	а) 0.6 б) 0.3	а) 0.4 б) 0.09	а) 0.7 б) 0.2

4.2	1	2	3
	0,34	0,23	0,06

4.3	1	2	3
	0,7492	0,6031	0,2475

5)  ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЁ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Распределение дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

5.1. Банк выдал 5 кредитов, оценив вероятность невозврата в 0,1 для каждого из 5 заемщиков. Пусть Х – количество заемщиков, не вернувших денег по истечении установленного срока
. Составить закон распределения Х, считая, что заёмщики друг с другом никак не связаны.

5.2. Вероятностный прогноз для величины Х - процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение 6 месяцев дан в виде закона распределения:

Х	5	10	15	20	25	30
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3% в месяц сроком на 6 месяцев.

5.3. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:

Х	2	3	5
р	0,1	0,6	0,3

5.4. Случайные величины Х и У независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если Dx =5, Dy =6.

Ответы:

5.1.	Х	0	1	2	3	4	5
Вариант 1	Р	0,59049	0,32805	0,0729	0,0081	0,00045	0,00001
Вариант 2	р	0,63247	0,21714	0,04563	0,00231	0,04753	0,05499
Вариант 3	р	0,53274	0,16287	0,10723	0,01654	0,12357	0,05705

5.2	1	2	3
	0,42	0,6	0,75

5.3	1	2	3
	Mx =3.5 Dx = 1.05 σx = 1.0246	Mx = 7 Dx = 2.1 σx = 1.45	Mx = 2.3 Dx = 4 σx = 2

5.4	1	2	3
	54	32	69

6)  НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

6.1  Непрерывная случайная величина Х задана на интервале [1,), имеет функцию распределения F(x)=1 -. Найти плотность f(x), математическое ожидание Мх, дисперсию Dx.

Ответ:

1	2	3
f(x) = Мх = Dx. =	f(x) =1 – х2 Мх = 3 Dx. = 7	f(x) = х3 Мх = 11 Dx. = 17