Глава 2. Волновые свойства света (стр. 1 )

ГЛАВА 2. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИНЗЫ С ПОМОЩЬЮ КОЛЕЦ НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Наблюдение колец Ньютона в отраженном свете и определение радиуса кривизны выпуклой поверхности линзы.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Интерференция света - это перераспределение результирующей интенсивности света (энергии колебаний) в пространстве при наложении двух или более световых волн. В частности, если при наложении двух световых волн с интенсивностями I1, I2 в точке наблюдения результирующая интенсивность , то происходит интерференция света. В результате в пространстве образуется чередование областей повышенной и пониженной интенсивности.

Стационарная интерференция света происходит при наложении когерентных световых волн. Две волны называются когерентными, если они в точке наблюдения вызывают колебания, разность фаз которых остается постоянной во времени.

Источник света, не являющийся лазером, состоит из огромного количества атомов - излучателей, испускающих кванты света с разными начальными фазами колебаний. Так как время испускания одного кванта очень мало (~10-8 с), то в луче света фаза колебаний меняется хаотично с большой частотой. Лучи света от разных не лазерных источников света не когерентны, так как фазы колебаний в таких лучах меняются не согласованно. Для получения когерентных лучей световая волна одного источника света разбивается на несколько частей (лучей). В каждом таком луче фаза колебаний меняется с большой частотой, но эти изменения происходят одинаково, и разность фаз колебаний в разных лучах остается постоянной. Если эти лучи с длиной волны l проходят от точки разбиения до точки наложения разные расстояния L1 и L2, и в течение
времени наблюдения t изменение разности фаз колебаний не превышает p, то происходит стационарная интерференция света, причем в точках, удовлетворяющих условию

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(m = 0, 1, 2, 3, …) (1)

наблюдается максимум, а при условии

(m = 0, 1, 2, 3, …) (2)

- минимум результирующей интенсивности.

Кольца Ньютона представляют собой интерференционные полосы равной толщины, возникающие при отражении света от поверхностей воздушного зазора между соприкасающимися друг с другом плоской поверхностью толстой стеклянной пластинки и выпуклой поверхностью плоско - выпуклой линзы,
(см. рис. 1).

Монохроматический свет падает на воздушный зазор сверху, причем часть света отражается верхней поверхностью зазора (луч 1), а часть - нижней поверхностью
(луч 2). При отражении света от оптически более плотной среды (луч 2) фаза колебания вектора напряженности электромагнитного поля меняется на p, что равносильно изменению длины хода луча на l/2. На рисунке 1 видно, что луч 1 не проходит через воздушный зазор, а луч 2 проходит его дважды при распространении света вниз и вверх. Если учесть разные условия отражения лучей 1 и 2 и пренебречь их отклонением от вертикали, то геометрическая разность хода лучей связана с толщиной d воздушного зазора формулой
DL = L2 - L1 = 2d + l/2. Наложение когерентных лучей 1 и 2 происходит вблизи верхней поверхности воздушного зазора и приводит к интерференции света. Результат интерференции зависит от разности хода DL, т. е. от толщины d воздушного зазора. При переменной толщине d возникают интерференционные полосы равной толщины, имеющие форму колец: в точках одного кольца толщина воздушного зазора d одинакова. Радиус кольца r можно определить из прямоугольного треугольника на рисунке 1:

, (3)

где R - радиус кривизны выпуклой поверхности линзы.

Так как d << 2R, то из формулы (3) следует r2 = 2Rd или .

Разность хода лучей, проходящих воздушный зазор, равна

DL = 2d + l/2 = r2/R + l/2. Если эта разность хода равна целому числу m длин волн DL = ml, то получим максимум интерференции или светлое кольцо, для которого r2/R + l/2 = ml, и радиус кольца с номером m равен :

(m = 1, 2, 3, …

Из условия минимума интерференции DL = (m + 1/2)l найдем радиус темного кольца:

(m = 1, 2, 3, …

Интерференционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных колец. Квадрат диаметра кольца Dm = 2rm увеличивается линейно с увеличением номера кольца m:

. (6)

Если ввести обозначения

хm = m ; ym = Dm2 ; b = 4Rl , (7)

то формула (6) выражает линейную зависимость величин х и y :

у = bх + a . (8)

В данной работе измеряются диаметры Dm различных темных и светлых интерференционных колец. Методом наименьших квадратов (МНК) определяется коэффициент ²b² полученной зависимости Dm2 = f (m). Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R вычисляется по формуле:

. (9)

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Для наблюдения в отраженном свете интерференционных колец Ньютона и измерения их диаметров используется микроскоп
МБС - 9, установленный на подставке (рис. 2).

Монохроматический свет с длиной волны l = (589,3 ± 0,3) нм, испускаемый натриевой лампой, падает сверху на оптическую систему 2. Оптическая система, состоящая из стеклянной пластинки и лежащей на ней плосковыпуклой линзы, заключена в металлическую оправу и помещена на столике 1 микроскопа.

Интерференционная картина, локализованная вблизи поверхности воздушного зазора, наблюдается в фокальной плоскости окуляра микроскопа. Фокусировка изображения и изменение увеличения микроскопа производятся с помощью маховичка 4 и рукоятки 3, расположенных на корпусе микроскопа.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Перед выполнением лабораторной работы должно быть проверено наличие и исправность заземления корпусов электрических приборов.

2. Включите и прогрейте источник света до появления стационарного свечения.

3. Перемещая оправу 2 с линзой и пластиной в горизонтальной плоскости (см. рис. 2), установите центр интерференционной картины примерно в средней части поля зрения микроскопа.

4. Добейтесь четкого изображения интерференционной картины, меняя фокусировку перемещением объектива по высоте.

5. Установите оправу с линзой и пластиной так, чтобы шкала измерения размеров, наблюдаемая в окуляре, проходила вдоль диаметров колец.

6. Измерьте диаметры не менее десяти темных или десяти светлых колец, используя измерительную шкалу, нанесенную на внутренней поверхности окуляра. Цена деления шкалы зависит от увеличения микроскопа и приведена в его техническом описании.

Результаты первой серии измерений занесите в таблицу 1.

7. Поверните оправу с линзой и пластиной на 90° вокруг вертикальной оси симметрии и повторите измерения диаметров тех же интерференционных колец (2 серия измерений).

Таблица 1

Номер кольца, m	Диаметры колец Dmi	Средний диаметр кольца Dm , мм
1 серия	2 серия		k серия
дел. шк.	мм	дел. шк.	мм	дел. шк.	мм
1 2 3 . . . 10

8. Повторяя поворот на 90°, выполните 3-5 серий измерений диаметров колец. Результаты измерений занесите в таблицу 1, в которой в левых колонках каждой серии укажите диаметры колец Dm в делениях измерительной шкалы окуляра. Умножая число делений на цену деления, получите диаметры колец в мм и запишите эти результаты в правые колонки.

9. Для каждого номера кольца m рассчитайте средний диаметр Dm по формуле :

, (10)

где Dmi - результат i - ого измерения кольца с номером m;

k - количество проведенных серий измерений.

10. В прямоугольной системе координат ХОY на миллиметровой бумаге нанесите точки с координатами xm = m , ym = Dm2 , (m = 1, 2, 3, …, n), соответствующие результатам измерений, полученным в таблице 1.

11. Экспериментальные точки соответствуют линейной зависимости y = bх + a, коэффициенты которой ²b² и ²a² определите методом наименьших квадратов (МНК) [3].

Предварительно заполните вертикальные колонки таблицы 2 и для n чисел каждой колонки найдите среднее арифметическое: .

Таблица 2

xm = m

xm2

ym = Dm2

xmym

1

2

10 Среднее

< x > =

< x2 > =

< y > =

< xy > =

Расчетные формулы имеют вид :

; ;

;

; .

12. Используя вычисленные значения ²a² и ²b², в той же системе координат XOY постройте график зависимости (8).

13. Рассчитайте радиус кривизны R выпуклой поверхности линзы по формуле (9).

14. Умножая полученную оценку стандартного отклонения S(b) на соответствующий коэффициент Стьюдента , найдите полуширину доверительного интервала величины ²b²:

где (n - число экспериментальных точек).

Для доверительной вероятности Р = 0,95 и 10 точек наблюдения и (см. Приложение).

15. Полуширину DR доверительного интервала для радиуса кривизны R определите с помощью формулы :

16. Запишите окончательный результат в виде : R ± DR.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Укажите цель данной лабораторной работы.

2. Какое явление называется интерференцией света?

3. При наложении двух лучей с интенсивностями I1 и I2 результирующая интенсивность в разных точках наблюдения равна I = I1 + I2. Происходит ли интерференция света?

4. При наложении двух лучей с интенсивностями I1 и I2 результирующая интенсивность в точке наблюдения равна I = (I1+I2)/2. Происходит ли интерференция света?

5. Какие лучи света называются когерентными?

6. От какого количества источников света, не являющихся лазерами, необходимо использовать световую волну для получения 2,3,4,…,10 когерентных лучей?

7. Что такое кольца Ньютона?

8. Как возникают интерференционные полосы равной толщины в отраженном свете?

9. Как возникают кольца Ньютона в данной лабораторной работе?

10. На какой поверхности происходит разделение падающей световой волны на две когерентные волны в данной лабораторной работе?

11. Что происходит с фазой колебания волны при отражении от оптически более плотной среды?

12. Что происходит с фазой колебания волны при отражении от оптически менее плотной среды?

13. Где локализованы кольца Ньютона в отраженном свете?

14. На воздушный зазор толщиной d = 2,5 мкм между стеклянными поверхностями падает световая волна с длиной λ = 0,5 мкм. Найдите геометрическую разность хода лучей, отразившихся от двух поверхностей зазора.

15. Почему в центре колец Ньютона в отраженном свете наблюдается темное пятно?

16. Почему интерференционные полосы равной толщины в данной лабораторной работе имеют форму колец?

17. Укажите условие максимума интенсивности света при интерференции двух когерентных лучей.

18. Укажите условие минимума интенсивности света при интерференции двух когерентных лучей.

19. Выведите формулы для радиусов светлых и темных колец Ньютона в отраженном свете.

20. Найдите радиус восьмого темного кольца Ньютона в отраженном свете с длиной волны λ = 580,3 нм, если радиус кривизны поверхности плосковыпуклой линзы равен R = 5 м.

21. Найдите радиус шестого светлого кольца Ньютона в отраженном свете с длиной волны λ = 580,3 нм, если радиус кривизны поверхности плосковыпуклой линзы равен R = 5 м.

22. Найдите радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете, если радиус четвертого темного кольца равен r4 = 4 мм.

23. Какой вид имеет зависимость между номером m = хm и квадратом диаметра Dm2 = ym кольца Ньютона?

24. Для чего в данной лабораторной работе используется метод наименьших квадратов (МНК)?

25. Где в экспериментальной установке находится оптическая система, состоящая из стеклянной пластинки и лежащей на ней плосковыпуклой линзы?

26. Укажите ход лучей света в экспериментальной установке данной работы.

27. Укажите последовательность действий при выполнении данной лабораторной работы.

28. Какой график нужно построить в данной лабораторной работе?

29. По какой формуле определяют радиус кривизны R выпуклой поверхности линзы?

30. Как влияет на интерференционную картину увеличение радиуса кривизны выпуклой поверхности линзы?

2.2. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ДИФРАКЦИИ ПЛОСКИХ
СВЕТОВЫХ ВОЛН НА ОДНОЙ И ДВУХ ЩЕЛЯХ
ПРИ ПОМОЩИ ЛАЗЕРА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы заключается в изучении дифракции Фраунгофера от одной и двух щелей с использованием лазерного источника света. Содержание лабораторной работы состоит в определении положений максимумов или минимумов и проверке распределения интенсивности в картине дифракции от одной и двух щелей при наблюдении в свете лазера.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями (например, вблизи границ непрозрачных или прозрачных тел, сквозь малые отверстия и т. п.) и связанных (явлений) с отклонениями от законов геометрической оптики. При дифракции, как и при интерференции, происходит перераспределение интенсивности колебаний в пространстве в результате суперпозиции когерентных волн.

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. При этом разность фаз δ колебаний, возбуждаемых (в точке наблюдения) (любыми) двумя различными волнами, остается постоянной во времени.

Дифракция света на одной щели.

В случае дифракции света на узкой щели, ширина которой одного порядка с длиной волны падающего излучения, волновой фронт в плоскости щели можно считать плоским, причем, согласно принципу Гюйгенса, каждую точку этого плоского фронта волны можно рассматривать как источник вторичных волн. Дальнейшее взаимодействие этих волн между собой можно объяснить как суперпозицию (наложение) волновых компонент (по Френелю) с разными фазами, обусловленными различными длинами пути от точек щели (источников вторичных волн) до точки наблюдения Р на экране.

Пусть на узкую щель шириной "b" нормально к ее плоскости падает монохроматическая плоская волна. Проведем ось координат ОХ поперек щели в ее плоскости, выбирая за начало отсчета точку О на краю щели (см. рис. 1).

Разобьем поверхность щели (фронта волны) на узкие полоски шириной dx, параллельные длинным краям щели. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждая полоска (каждый элемент фронта волны или волновой поверхности) является источником вторичной сферической волны, которая вызывает колебания с амплитудой прямо пропорциональной площади полоски, т. е. ширине полоски dx. Собирающая линза, поставленная за щелью, собирает вторичные параллельные лучи в точке Р своей фокальной плоскости (рис.1). Если направление вторичных лучей совпадает с направлением лучей, падающих на щель, т. е. j = 0, то колебания в точке Р, вызванные разными вторичными лучами, имеют одинаковые фазы

где С - некоторая постоянная. Интегрируя это равенство по всей поверхности щели и обозначая амплитуду колебаний в фокальной плоскости линзы при j = 0 буквой А0, получим

Отсюда .

Рассмотрим вторичные лучи, отклонившиеся при дифракции от направления падающих лучей на угол j ¹ 0. Так как фронт волны (волновая поверхность) параллельных лучей перпендикулярен лучам, то фронт волны лучей, отклонившихся на угол j пересекает плоскость чертежа по линии ON^BN, а фронт волны падающих лучей - по линии ОВ. До ОВ и после ON до точки Р оптическая длина хода лучей, проходящих через разные точки щели, одинакова, а между ОВ и ON - разная. В частности, длина хода вторичного луча, испускаемого точкой К с координатой х, больше длины хода луча, испускаемого точкой О на величину . Это вызывает запаздывание фазы колебаний на величину . Поэтому в точке Р фокальной плоскости линзы складываются колебания , вызванные вторичными лучами от всех точек щели, т. е. при изменении х от О до "b":

. (1)

Из формулы (1) видно, что Еj зависит от времени t по гармоническому закону, причем амплитуда колебаний Аj для лучей, отклонившихся при дифракции на угол j, в точке Р фокальной плоскости линзы равна

Так как интенсивность света I прямо пропорциональна квадрату амплитуды А2, то в фокальной плоскости линзы интенсивность света Ij равна

. (2)

На рис.2 представлено распределение интенсивности света , дифрагированного на одиночной щели шириной "b". По оси абсцисс отложены значения .

Из (2) следует, что при углах

(3)

т. е в случае, если

, (к = 1,2,3...), (4)

интенсивность обращается в нуль.

Итак, условие (4) определяет положение минимумов интенсивности при дифракции Фраунгофера на одной щели.

Между минимумами интенсивности расположены максимумы, положение которых может быть определено уравнением , имеющим корни ;; и т. д. Значения интенсивности

в максимумах быстро убывает с увеличением порядка максимумов.

Численные значения интенсивностей главного и следующих максимумов относятся как

(5)

Из (5) видно, что основная часть светового потока сосредоточена в центральной дифракционной полосе, расположенной между минимумами первого порядка.

Из (4) следует, что угловая ширина главного максимума при условиях к = 1 и равна

. (6)

При увеличении ширины щели (b) угловая ширина максимумов уменьшается, при этом главный (или центральный) максимум становится резче и первые минимумы приближаются к центру дифракционной картины (На рис. 3 b2 > b1).

Дифракция света на двух щелях.

Рассмотрим явление дифракции на N одинаковых щелях шириной “b” каждая и расстоянием “d” между ними. Так устроена дифракционная решетка (рис.4), у которой d - это период или постоянная решетки, a - ширина непрозрачного промежутка: .

Разность хода между вторичными волнами, исходящими из соседних щелей решетки, равна ,

а разность фаз

, (7)

где - угол дифракции.

В этом случае осуществляется многолучевая интерференция когерентных пучков света одинаковой интенсивности, дифрагировавших на отдельных щелях решетки.

Минимумы от щели будут прежними, т. к. направ-ления, определяемые условием (4), по которым каждая отдельная щель не посылает света, не получает его и при N щелях.

Помимо этого, возможны такие направления, в которых колебания от отдельных щелей вследствие их взаимного наложения либо усиливают действия друг друга, либо взаимно уничтожаются.

Можно показать, что результирующая интенсивность () света в точке наблюдения Р от всех N щелей решетки имеет вид [1]:

, (8)

где - интенсивность света в точке Р от одной щели, определяемая формулой (9), - разность фаз по (7).

Обозначим

. (9)

Тогда интенсивность дифракционного света в точке Р на экране Э с учетом (2, 3, 9) принимает вид:

. (10)

Из (10) следует, что при любом числе щелей (N) дифракционное распределение интенсивности света по экрану Э будет всегда иметь огибающую , определяемую дифракцией света на одной щели, которая модулирует интенсивность интерференционного распределения от N источников , создаваемого совокупностью N щелей.

В случае дифракции света на N = 2 одинаковых щелях формула (10) принимает вид

, (11)

где , . (см. 3, 9)

Картина распределения минимумов и максимумов при дифракции на одинаковых щелях определяется из следующих условий.

Первый множитель в (11) обращается в нуль, если , тогда

, (к = 1,2,3,

т. е. в этих точках интенсивность, создаваемая при дифракции каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (4)).

Следует отметить, что результирующая интенсивность (11) обращается в нуль также вследствие интерференции когерентных световых пучков, приходящих от отдельных щелей.

В этом случае , если , тогда