Ответы и решения олимпиады по математике

г

9 класс

1. Решение. а) Нет, так как сумма цифр любой степени двух не делится на 3, а сумма цифр любой степени трех делится; б) Да, например: , .

2. Решение.

3. Решение. при имеем

при y 3 получаем

4. Решение. Так как угол АQР равен углу СВQ и равен углу АВQ, то треугольник АВQ – равнобедренный, АВ = АQ (см. рисунок). Так как средняя линия делит пополам любой отрезок с концами на основаниях, то ВР = РQ. Следовательно, АР – медиана и высота, и угол АРQ равен 90 градусов.

 

5. Решение. Пусть масса алмаза равна m, его стоимость равна km, где k – некоторый коэффициент пропорциональности. Пусть от алмаза откололся кусок, масса которого равна n, тогда стоимость отколовшейся части алмаза равна km, а стоимость оставшейся части k(m – n). По условию задачи справедливо равенство

k(m – n)= (1 – 0,36) km.

Разделив обе части равенства на kmи перенеся все члены уравнения в левую часть, имеем

(1 -,

Откуда, учитывая, что 1 - > 0, имеем 1 - = 0,8, то есть = .

Это означает, что от алмаза откололась часть.

Ответ. Откололась часть алмаза.