МИНОБРНАУКИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
« » 2010 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I
ЕН. Ф.1.07
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
трудоемкость дисциплины 6 зачетных единиц
НАПРАВЛЕНИЕ 010400 – ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Томск
2010
УТВЕРЖДЕНО кафедрой программной инженерии. Протокол №19 от 01.01.2001 Зав. кафедрой, профессор | СОСТАВИТЕЛЬ д. ф.-м. н, профессор кафедры программной инженерии |
I. Организационно-методический раздел
Цель курса – освоение математического анализа.
Задача учебного курса – изучение методов математического анализа.
Дисциплины-предшественники – нет.
Требования к уровню освоения дисциплины – владение методами математического анализа.
II. Содержание дисциплины
II.1. Лекционный курс
Тема 1. Теория вещественных чисел.
Множества, операции над множествами. Взаимно-однозначное соответствие между множествами. Счетные множества, их свойства. Взаимно-однозначное соответствие точка – число. Несчетность отрезка [0, 1] и понятие о множествах мощности континуума.
Счетность множества рациональных чисел. Вещественные числа, правило сравнения вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани числового множества, супремум и инфимум, их свойства. Теорема о существовании супремума.
Приближение вещественных чисел рациональными.
Тема 2. Теория пределов.
Определение числовой последовательности, операции над последовательностями. Определение предела числовой последовательности. Бесконечно-малые последовательности и их свойства. Сходящиеся последовательности и их свойства. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности, теорема о существовании предела монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Бином Ньютона и число e.
Подпоследовательности и предельная точка, связь этих понятий. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Признак сходимости Больцано-Коши для последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности и их свойства.
Функция одной переменной, способы ее задания. Предельное значение функции. Теорема, связывающая понятие предела функции и предела последовательности. Свойства предельных значений. Монотонные функции, теорема о существовании предела монотонной функции. Признак Больцано-Коши существования предела функции. Сравнение бесконечно-малых и бесконечно-больших величин, 
O и o символика.
Тема 3. Непрерывные функции.
Определение непрерывности функции, разрывы функции, типы разрывов. Свойства непрерывных функций, непрерывность сложной функции.
Первая и вторая теоремы Больцано-Коши, первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Обратная функция и теорема о существовании обратной функции у строго монотонной непрерывной функции. Равномерная непрерывность и теорема Кантора.
Непрерывность элементарных функций – показательная функция гиперболические функции, логарифмическая функция, степенная функция. Непрерывность тригонометрических функций и функций, обратных к тригонометрическим.
Замечательные пределы: 
, 
, 
, 
, и другие. Неопределенные выражения. Раскрытие степенных неопределенностей.
Тема 4. Производная.
Определение производной и ее геометрический смысл. Алгебра производных, таблица производных. Особые случаи.
Теорема Ферма, теорема Ролля. Формулы Коши и Лагранжа.
Производные высших порядков. Дифференциал и его геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции, связь дифференциала и производной. Правила дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Производные от параметрически заданных функций.
Формула Тейлора для полинома. Формула Тейлора для функции, свойства остаточного члена. Остаточный член в форме Пеано, остаточный член в форме Лагранжа. Разложение в ряд Тейлора функций 
Тема 5. Применение производных.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа 
и 
.
Условие постоянства и монотонности функции. Определение локального и глобального экстремума функции, необходимое и достаточное условия экстремума. Схема исследования функции на экстремум.
Выпуклые и вогнутые функции, вид их графика и свойства Неравенство Иенсена. Связь выпуклости с поведением производной и видом ее графика по отношению к касательной. Точки перегиба, необходимое и достаточное условия точки перегиба. Схема исследования функции на выпуклость – вогнутость.
Асимптоты. Схема исследования графика функции.
II.2. Практические занятия
По всем темам лекционной части курса предусмотрены практические занятия.
III. Распределение часов курса по темам и видам работ
№№ пп | Наименование тем | Всего часов | Аудиторные занятия (час), в том числе | Самостоятельная работа | ||
лекции | практики | лабораторные занятия | ||||
1 | Теория вещественных чисел | 28 | 8 | 6 | 14 | |
2 | Теория пределов | 28 | 8 | 6 | 14 | |
3 | Непрерывные функции | 38 | 12 | 12 | 14 | |
4 | Производная | 32 | 8 | 10 | 14 | |
5 | Применение производных | 36 | 10 | 10 | 16 | |
ИТОГО | 162 | 46 | 44 | 0 | 72 |
