Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный технический университет им. »
Бийский технологический институт (филиал)
,
МАТЕМАТИКА
ВЕКТОРЫ И МЕТОД КООРДИНАТ
Учебно-методический комплект для абитуриентов
Методические рекомендации по выполнению
контрольного задания №10
Бийск 2006
УДК 373.167.1
Ростова, . Векторы и метод координат. Учебно-методический комплект для абитуриентов: методические рекомендации по выполнению контрольного задания №10 / ,
.
Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск.
Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2006. – 20 с.
Настоящие методические рекомендации представляют собой десятую часть единого учебно-методического комплекта, состоящего из 14 частей, по курсу «Математика» для абитуриентов.
Данная часть посвящена теме «Векторы и метод координат» и предназначена для самостоятельной подготовки учащихся заочных подготовительных курсов к вступительным экзаменам по математике в вуз. Приведены основные понятия и формулы соответствующего раздела геометрии. Теоретический материал иллюстрируется примерами, представлены решения основных типов задач.
Рекомендуется для практических занятий по геометрии в школе.
Рассмотрены и одобрены
на заседании кафедры
высшей математики и
математической физики.
Протокол №31 от 01.01.2001 г.
Рецензент: доцент БПГУ
© БТИ АлтГТУ, 2006
1 ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Некоторые физические величины (например, масса, работа) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения; такие величины называются скалярными. Другие величины (например, сила, скорость) характеризуются числом и направлением, эти величины называются векторными. Для геометрического изображения векторных величин служат векторы.
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, конец – в точке В (рисунок 1), то такой вектор обозначают 
. Модулем вектора называется его длина, обозначается 
.
Нуль-вектором (или нулевым вектором) называется вектор 
, начало и конец которого совпадают. Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление не определено. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
Векторы, лежащие на параллельных прямых (или одной прямой), называются коллинеарными. Например, на рисунке 2 изображены коллинеарные векторы 
и 
, 
и , и .
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными. На рисунке 3 изображен параллелограмм АBCD, векторы 
и 
равны. На рисунке 4 изображен
равносторонний треугольник АВС, векторы и 
не равны, т. к. имеют различные направления.
Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными (векторы и на рисунке 3). Вектор, противоположный вектору , обозначается 
.
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.
Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни были вектор 
и точка А, всегда можно построить единственный вектор с началом в точке А, равный вектору , т. е. 
, или, как говорят, перенести вектор в точку А.
К линейным действиям над векторами относятся сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух векторов и 
называется третий вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что вектор отложен от конца вектора (рисунок 5). Вектор получается по правилу треугольника (рисунок 5) или по правилу параллелограмма (рисунок 6).
Аналогично определяется сумма трех и более векторов. Суммой n векторов 
, 
, …, 
называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец – с концом последнего вектора при условии, что каждый последующий вектор 
отложен из конца предыдущего 
(k=1, 2, …, n-1). Указанный способ построения суммы векторов называется правилом замыкающей. На рисунке 7 изображен вектор 
– сумма трех векторов , , .
Из определения суммы следует, что 
, т. е. нуль-вектор при сложении векторов играет ту же роль, что и число 0 при сложении чисел; 
, т. е. сумма противоположных векторов равна нуль-вектору.
Разностью 
двух векторов и называется такой вектор 
, который в сумме с вектором дает вектор , т. е. 
тогда и только тогда, когда 
.
Чтобы получить разность двух векторов и , необходимо отложить их из одной точки и соединить конец вектора с концом вектора (рисунок 8).
Отметим, что 
, т. е. разность равна сумме двух векторов и 
, где - вектор, противоположный вектору .
Векторы-диагонали 
и 
параллелограмма OABC, построенного на некоторых 
, 
, являются соответственно суммой и разностью этих векторов (рисунок 9).
Задача. Вектор 
делит пополам угол между векторами и . Найти длину вектора , если длина вектора равна 2.
Решение. Отложим векторы и от точки О (рисунок 10), тогда и , 
. Так как вектор делит пополам угол между векторами и , то ОАВС – ромб, длины векторов и равны длинам сторон ромба, т. е. 
.
Задача. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем 
, 
. Найти 
и
.
Решение. Отложим векторы и от точки О (рисунок 11). Пусть и , тогда , 
. В соответствии
с условием задачи параллелограмм ОАВС является прямоугольником, а 
и 
равны длинам диагоналей ОВ и АС прямоугольника. Таким образом, 
.
Произведением вектора на число α (или числа α на вектор ) называется вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1) 
;
2) и одинаково (противоположно) направлены при α>0 (α<0).
Единичный вектор 
, сонаправленный с вектором , находится по формуле:
.
На рисунке 12 изображены векторы , 
, 
. Очевидно, что 
, если α или 
.
Напомним свойства произведения вектора на число:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Условием коллинеарности двух векторов и является выполнение равенства (α – некоторое число)
. (1)
Если векторы 
и неколлинеарны, то любой компланарный с ними вектор можно единственным образом представить в виде
.
Такое представление называется разложением вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам и .
Задача. Даны три ненулевых вектора 
, , , каждые два из которых неколлинеарны. Найти их сумму, если 
и 
.
Решение. По условию , используя условие коллинеарности векторов (1), запишем, что 
, или 
. Аналогично заключаем, что 
, 
. В силу того, что вектор единственным образом разлагается по векторам , , заключаем, что α и β удовлетворяют системе уравнений
Отсюда α =β=-1, тогда 
. Из последнего равенства следует, что 
.
Углом между векторами называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. Таким образом, если от одной точки отложить векторы 
и 
(рисунок 13), то величина угла MON есть по определению угол между векторами и .
Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0о, а угол между противоположно направленными векторами равен 180о. Если угол между векторами и равен 90о, то векторы и называются перпендикулярными или ортогональными. Перпендикулярность векторов и обозначается так: 
.
Скалярным произведением 
векторов и называется число, равное произведению их длин и косинуса угла 
между ними, т. е.
. (2)
Скалярное произведение векторов положительно, если угол между ними острый; скалярное произведение векторов отрицательно, если угол между векторами тупой.
Ниже приведены свойства скалярного произведения:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Например, используя эти свойства, получим 
.
Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя:
,
Выражая скалярный квадрат вектора по формуле (2), получим, что
, (3)
т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, поэтому 
, если 
, 
, если 
.
Задача. Единичные векторы 
, 
, 
таковы, что 
. Найти 
.
Решение. Найдем скалярный квадрат вектора 
: 
. С другой стороны 
. Так как векторы , , - единичные, то в соответствии с равенством (3) имеем: 
, 
, 
. Получим равенство 
. Отсюда 
.
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является выполнение равенства
. (4)
Задача. Векторы и таковы, что и 
перпендикулярны. Найти 
, если 
.
Решение. Найдем скалярное произведение векторов и , на основании условия (4) приравняем его нулю: 
, 
, 
, 
, 
.
К такому же результату можно прийти, если заметить, что и – векторы-диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , тогда перпендикулярность векторов и означает, что параллелограмм является ромбом, следовательно, .
2 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
Если через некоторую точку О плоскости проведены две взаимно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета, то говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рисунок 14). Прямые называются осями координат, обозначаются: Ох (ось абсцисс), Оу (ось ординат). Вся система координат обозначается Оху.
Пусть М1, М2 – ортогональные проекции точки М на координатные оси Ох и Оу соответственно. Точка М1 как точка координатной прямой Ох, имеет координату х, аналогично точка М2 на координатной прямой Оу имеет координату у. Упорядоченная пара чисел х, у называется координатами точки М: М(х, у).
Соответствие между точками и их координатами взаимно однозначное.
Пусть на плоскости задана декартова система координат и вектор имеет начало в точке 
, а конец – в точке 
. Координатами вектора называются два числа 
и 
, т. е. упорядоченная пара чисел, равных разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
Координаты нулевого вектора равны нулям.
Равные векторы имеют равные соответствующие координаты; если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны. Векторное равенство 
равносильно системе равенств: 
Задача. Дана точка А(-1, 1) и вектор . Найти координаты такой точки В, что 
.
Решение. Пусть (х; у) – координаты точки В, тогда 
, и если 
, то х+1=3 и у-1=2, отсюда х=2, у=3. Тогда В имеет координаты (2; 3).
Единичные векторы, имеющие направление положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами (рисунок 15). Координатные векторы осей Ох и Оу принято обозначать 
и 
(рисунок 15). Итак, 
, 
.
Если вектор задан своими координатами 
, то имеет место равенство
,
которое называется разложением вектора по координатным векторам.
Например, если 
, то 
.
Напомним правила действия над векторами, заданными своими координатами.
При сложении векторов и 
их соответствующие координаты складываются: 
. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: 
. Скалярное произведение векторов и равно сумме произведений соответствующих координат: 
. (5)
равен 
. (6)
и вычисляется по формуле 
. (7)
Задача. Найти угол φ между векторами 
и 
, если 
и 
.
Решение. Находим координаты векторов и : 
, т. е. 
и 
, т. е. 
. По формулам (5-6) вычислим длины векторов и и их скалярное произведение: 
и 
, 
. По формуле (7) находим cos φ:
.
Следовательно, угол между векторами и равен 45о.
Если через некоторую точку О пространства проведены три взаимно перпендикулярные координатные прямые (Ох, Оу, Oz) с общим началом отсчета О, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Охуz. В этом случае Ох - ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат. Плоскости, проходящие через каждые две координатные оси, называются координатными плоскостями, таких плоскостей три: Оху, Оуz, Охz.
Координатные векторы осей абсцисс, ординат и аппликат обозначим 
, 
и 
. Очевидно, 
, 
, 
.
Если вектор задан своими координатами
(а1; а2; а3), то справедливо равенство
.
Действия над векторами, заданными своими координатами в пространстве и на плоскости, выполняются аналогично. Аналогичны и условия равенства, коллинеарности и перпендикулярности векторов, записанные в координатах на плоскости и в пространстве. Следующая таблица это иллюстрирует.
Декартова система координат на плоскости ( | Декартова система координат в пространстве ( | |
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
, 
,
)
, 
,
, 
Задача. Найти, при каких m и n векторы 
и 
коллинеарны.
Решение. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат, т. е. выполнение равенства
.
Отсюда находим значения m и n: 
, 
.
Задача. Найти угол, который образует с осью Ох вектор 
.
Решение. Вычислим скалярное произведение вектора с координатным вектором 
: 
. Длина координатного вектора равна 1, вычисляем длину вектора : 
. Находим косинус угла φ между векторами и : 
. Таким образом, 
.
Рассмотрим точки , 
, С(х, у) на плоскости (
, 
, С(х, у, z) в пространстве). Положим, что С – середина отрезка АВ. Ниже в таблице указано, как найти длину отрезка АВ и координаты точки С на плоскости и в пространстве.
Декартова система координат на плоскости | Декартова система координат | |
Длина отрезка АВ |
|
|
Коорди-наты С |
|
|
, 
Задача. В трапеции ABCD 
, 
, 
. Найти длину отрезка MN, где М и N – середины сторон АВ и CD соответственно.
Решение. Поместим точку А в начало координат, т. е. А(0, 0, 0), тогда 
, 
, 
. Очевидно, что векторы и коллинеарны, значит ВС и AD – основания трапеции (рисунок 16). Найдем координаты точек М и N: М
,
N(2; 3; 1). Длина отрезка МN
.
3 УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим систему координат на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k и начальной координатой q имеет вид
. (8)
Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ох, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Оу.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А(х0; у0), имеет вид:
. (9)
Уравнение (8) и (9) единообразно можно представить в виде
. (10)
Уравнение (10) называется общим уравнением прямой.
Если прямая параллельна оси Ох, то ее уравнение: y=b. Уравнение прямой, параллельной оси Оу: х=а.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых 
и 
соответственно имеют вид
,
.
В частности, если прямая параллельна оси Ох, то 
.
Уравнение окружности с радиусом R и с центром С(а; b) имеет вид:
.
Если центр окружности лежит в начале координат, то ее уравнение таково:
.
Задача. Дана окружность 
. Составить уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и пересекающей окружность в таких точках М и N, что MN=1.
Решение. Пусть М(х1; у1), N (х2; у2). Очевидно, что в данном случае М и N симметричны относительно оси Оу, следовательно, х1=-0,5, х2=0,5, у1=у2=у (рисунок 17). Значение у найдем из уравнения
, получим 
. Это есть начальная ордината искомой прямой, угловой коэффициент равен 0. Получаем уравнение прямой: .
Задача. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, образованного прямыми у=0,2х-0,4; у=х+2; у=8-х.
Решение. Угловые коэффициенты прямых у=х+2 и у=8-х равны соответственно 
и 
. Так как , то выполняется условие перпендикулярности прямых; значит треугольник АВС – прямоугольный и центром описанной окружности является середина О1 его гипотенузы АВ (рисунок 18). Найдем точки пересечения прямой у=0,2х-0,4 с прямыми у=х+2 и у=8-х, решив системы уравнений
и 
получим точки А(-3; -1) и В(7; 1) – концы гипотенузы. Найдем координаты точки О – середины отрезка АВ, центра окружности: О(2; 0). Радиус окружности есть 
. Искомое уравнение окружности имеет вид: 
.
Если в пространстве задана декартова система координат, то общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору 
и проходящей через точку 
, имеет вид
.
Уравнение сферы радиуса R с центром в точке 
имеет вид
.
4 ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА И МЕТОДА
КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Метод координат является самым универсальным методом геометрии. Главное при решении геометрических задач координатным методом – удачный выбор системы координат: выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбираются прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии (если таковые имеются) фигур, рассматриваемых в задаче.
Проиллюстрируем применение метода координат к решению задач, условия которых не содержат упоминания о координатах.
Задача. В круге с центром О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. На радиусе ОВ взята точка К так, что 
, а на радиусе ОD – точка М так, что 
. Доказать, что точка пересечения прямых СК и АМ расположена на данной окружности.
Решение. Будем считать, что данная окружность имеет радиус, равный 1. Введем систему координат, поместив ее начало в точку О, в качестве осей координат будем использовать прямые ОВ и ОС (рисунок 19). Уравнение данной окружности в выбранной системе координат имеет вид 
. Точка К имеет координаты 
, М 
. Уравнение прямой, проходящей через точки С(0; 1) и К , есть 
. Уравнение прямой, проходящей через А(-1; 0) и М, есть 
. Решая систему уравнений
найдем координаты точки пересечения прямых СК и АМ: 
. Поскольку 
, то найденная точка лежит на окруж-ности.
Задача. На плоскости расположены два квадрата ABCD и BKLN так, что точка К лежит на продолжении АВ за точку В, N лежит на луче ВС. Найти угол между прямыми DL и AN.
Решение. Пусть AB=AD=х, BK=BN=у. Рассмотрим систему координат с осями АВ и AD (рисунок 20). Точка А имеет координаты (0; 0), D – (0; х), N – (x; y), L – (x+y; y). Выразим координаты векторов 
и 
: 
, 
. Найдем скалярное произведение векторов и , а также их длины: 
, 
, 
. Найдем косинус угла φ между векторами и : 
. Таким образом, угол между прямыми DL и AN равен 45о.
Следующие два примера показывают возможности векторного метода для решения геометрических задач.
Задача. В окружность радиуса 3 см вписан равносторонний треугольник АВС. Пусть М – произволь-
ная точка окружности. Чему равна сумма 
?
Решение. Прежде всего заметим, что если О – центр окружности (рисунок 21), то выполняется
векторное равенство 
(докажите
самостоятельно). Таким образом, 
. Поскольку 
, то 
. Значит, 
. Отсюда
см2.
Задача. На стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ=2СМ. Точки К и L выбраны на сторонах АС и АВ соответственно так, что АК=2СК, BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок АМ?
Решение. Пусть , 
, 
, 
(рисунок 22). Имеем:
, 
. С другой стороны, 
.
В силу единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам получим систему уравнений
откуда 
. Искомое отношение равно 
.
СОДЕРЖАНИЕ
1 Векторы и действия над ними………………….…….….…...3
2 Декартовы координаты на плоскости
И в пространстве…………………………………………………….9
3 Уравнения некоторых фигур на плоскости
И в пространстве………………………………………..…....…….14
4 Применение векторного метода и Метода
координат к решению геометрических задач…………16
РОСТОВА Ольга Дмитриевна
ТУШКИНА Татьяна Михайловна
МАТЕМАТИКА
ВЕКТОРЫ И МЕТОД КООРДИНАТ
Учебно-методический комплект для абитуриентов
Методические рекомендации по выполнению
контрольного задания №10
Редактор
Технический редактор
Корректор
Подписано в печать 25.10.06. Формат 60х84 1/16.
Усл. п. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,25.
Печать – ризография, множительно-копировальный
аппарат «RISO TR -1510»
Тираж 100 экз. Заказ 2006-70.
Издательство Алтайского государственного
технического университета,
г. Барна
Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ.
Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ.
9
Учебно-методический комплект для абитуриентов | , МАТЕМАТИКАВЕКТОРЫ И МЕТОД КООРДИНАТ Методические рекомендации по выполнению контрольного задания №10 Бийск 2006 |
