Задания контрольной работы
для студентов отделения «Математика»
по дисциплине «Теория случайных процессов»
IV курс
1. Препарат облучается потоком радиоактивных частиц через равные интервалы времени 
. Вероятность того, что за время облучения препарат поглотит r радиоактивных частиц, определяется формулой 
. Каждая радиоактивная частица, содержащаяся в препарате за время между двумя последовательными обручениями можно распасться с вероятностью q. Определить предельные вероятности числа частиц в препарате.
2. Число Х дефектных изделий в каждой независимой выборке объема N из бесконечно большой партии подчиняется биноминальному закону, т. е. 
. Если при очередной выборке получено r дефектных изделий, то считается, что по условиям приема партия изменила свое предыдущее состояние 
на 
, причем партия бракуется, если 
, и принимается, когда 
. Определить вероятность того, что партия будет принята, если начальное состояние партии по условиям приема 
.
3. При данной серии выстрелов каждый стрелок группы с равной вероятностью получает любое количество очков от N+1 до N+m. Определить вероятность того, что среди следующих n стрелков из этой группы хотя бы один стрелок получит N+k очков, если наибольше число очков, полученных предыдущими стрелками, равно N+l (
).
4. Система может находиться в одном из состояний 
переходя за время состояние с номером, на единицу большим, с вероятностью 
. Найти вероятности 
перехода системы из состояния 
в состояние 
за время t.
5. Система массового обслуживания состоит из m приборов, каждый из которых может обслужить одновременно только одно требование, затрачивая на обслуживание случайное время, распределенное по показательному закону с параметром m. В систему поступает простейший поток требований с параметром l. Обслуживание требования начинается сразу после его поступления, если в этот момент имеется хотя бы один свободный прибор; в противном случае требование получает отказ и не возвращается в систему. Определить предельную вероятность отказа в обслуживании.
6. Клиенты, обращающиеся в мастерскую бытового обслуживания, образуют простейший поток с параметром l.
Каждый клиент обслуживается одним мастером в течении случайного времени, подчиняющегося показательному закону с параметром m. В случае отсутствия свободных мастеров клиент не ждет, а отказывается от обслуживания. Определить, сколько необходимо иметь мастеров, чтобы вероятность отказа клиенту в немедленном обслуживании не превосходила 0,015, если
m =l.
7. Два стрелка А и В поочередно стреляют по мишеням, причем после каждого попадания стреляет А, а после каждого промаха стреляет В. Право первого выстрела стрелкам предоставляется на тех же условиях по результату предварительного выстрела, который производит наудачу выбранный стрелок. Определить вероятность поражения мишени n - м выстрелом независимо от предыдущих попаданий, если вероятности поражения мишени при каждом выстреле для этих стрелков равны соответственно a и b.
8. Поток поступления неисправной аппаратуры в мастерскую гарантийного ремонта является простейшим с параметром l =10ед./час. Продолжительность ремонта одной единицы является случайной величиной, имеющей показательный закон распределения с параметром m=5ед./час. Определить среднее время, проходящее от момента поступления неисправной аппаратуры до начала ремонта, если в мастерской 4 ремонтных рабочих, каждый из которых одновременно ремонтирует только один прибор.
9. Составить уравнение Колмогорова для многомерного марковского процесса, компоненты которого 
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
,
где 
- заданные непрерывные функции, 
- заданные постоянные, а 
- независимые случайные функции, обладающие свойством «белого шума», т. е. 
. 
10. Дано, что U(t) – стационарный нормальный процесс, спектральная плотность которого
,
где с, a и b - постоянные.
Показать, что U(t) можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса, определить число измерений процесса и коэффициенты уравнений Колмогорова для этого процесса.
11. Определить коэффициенты уравнений Колмогорова для многомерного марковского процесса, заданного системой уравнений
,
а 
и 
- заданные непрерывные функции своих аргументов.
12. Определить закон распределения ординаты случайной функции
U(t) для момента времени 
, если
,
при t = 0 (
).
