5. ПОТОКИ СОБЫТИЙ

Потоком событий __________________________________________________

________________________________________________________________________

События, образующие поток, в общем случае могут быть различными. Мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, ________________________

________________________________________________________________________

Поток событий называется:

регулярным _____________________________________________________________

________________________________________________________________________

стационарным__________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

потоком без последействия ______________________________________________

________________________________________________________________________

ординарным ____________________________________________________________

________________________________________________________________________

Если поток событий стационарен, ординарен и не имеет последействия, то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Число событий такого потока, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено_____________________________________________________________

Простейший поток играет среди потоков событий особую роль, аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. При суммировании большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. При этом складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерно малое влияние. Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями. В простейшем потоке эта длина распределена по показательному закону. У этого закона есть одно замечательное свойство: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Интенсивностью потока событий называется _________________________

________________________________________________________________________

Для стационарного потока , для нестационарного потока интенсивность в общем случае зависит от времени: . Если поток событий нестационарен, то его основной характеристикой является мгновенная плотность .

Потоком с ограниченным последействием (потоком Пальма) называется

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Интересным примером потоков с ограниченным последействием являются так называемые потоки Эрланга. Они образуются «просеиванием» простейшего потока. Рассмотрим простейший поток и выбросим из него каждую вторую точку. Оставшиеся точки образуют поток, который называется потоком Эрланга первого порядка. Очевидно, этот поток есть поток Пальма. Поскольку независимы промежутки между событиями в простейшем потоке, то независимы и величины, получающиеся суммированием таких промежутков по два. Поток Эрланга второго порядка получится, если сохранить в простейшем потоке каждую третью точку, а две промежуточные выбросить.

Закон распределения промежутка времени между соседними событиями в потоке Эрланга -го порядка:

– закон Эрланга -го порядка.

При он обращается в показательный. При неограниченном увеличении нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами.

6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайная величина характерна тем, что она в результате опыта принимает некоторое одно, заранее неизвестное, но единственное значение. Однако на практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Такие случайные величины называются случайными функциями. Если случайная величина изменяется в зависимости от времени, то она называется случайным процессом. Конкретный вид (заранее неизвестный), принимаемый случайным процессом в результате опыта называется реализацией случайного процесса. Если зафиксировать время, случайный процесс превратится в случайную величину. Такая случайная величина называется сечением случайного процесса. Будем обозначать случайный процесс , где – случайный аргумент, – время.

Закон распределения случайного процесса ______________________________

________________________________________________________________________

Даже если его можно записать в какой-либо символической форме, то практически использовать такую характеристику невозможно.

Рассматривают другие вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Рассмотрим случайную величину – сечение случайного процесса в момент времени . Ее закон распределения называется одномерным законом распределения случайного процесса. Однако данная функция не отражает зависимость случайных величин в разные моменты времени. С этой точки зрения более полной характеристикой является двумерный закон распределения . Можно дальше увеличивать число аргументов, но использовать подобные характеристики крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных процессов ограничиваются рассмотрением частных случаев.

Характеристики случайных процессов

Для случайных процессов вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин. Однако они представляют собой не числа, а функции.

Математическим ожиданием случайного процесса называется

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

По смыслу математическое ожидание случайного процесса есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайного процесса.

Дисперсией случайного процесса называется ______________________

________________________________________________________________________

По смыслу дисперсия случайного процесса есть разброс возможных реализаций относительно среднего.

Среднеквадратичное отклонение случайного процесса равно_____________

Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса. Однако для описания особенностей случайного процесса этих характеристик недостаточно.

Например, у случайных процессов на рисунке примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии. Однако характер этих случайных процессов резко различается.

Для описания различия внутренней структуры процессов необходима специальная характеристика.

Корреляционной функцией случайного процесса называется

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайного процесса, относящимися к различным . При корреляционная функция обращается в дисперсию случайного процесса.

Часто пользуются нормированной корреляционной функцией:

.

Она представляет собой коэффициент корреляции величин и . При :.

Стационарные случайные процессы

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний около некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний существенно с течением времени не изменяются. Такие случайные процессы называются стационарными. Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго. В свою очередь нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени. Характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, от времени.

Случайный процесс называется стационарным, ___________________

________________________________________________________________________

Так как изменение стационарного случайного процесса должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы математическое ожидание было постоянным:________________________________________________

Корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка между первым и вторым аргументами:_____________________________________________

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента.

Эргодическое свойство стационарных процессов

Поскольку стационарный случайный процесс протекает однородно по времени, естественно предположить, что одна единственная реализация достаточной продолжительности может служить достаточным опытным материалом для получения характеристик случайного процесса. При более подробном рассмотрении этого вопроса оказывается, что такая возможность существует не для всех случайных процессов. Рассмотрим два стационарных случайных процесса, представленных совокупностью своих реализаций.

Для случайного процесса характерна следующая особенность. Каждая из ее реализаций обладает одними и теми же характерными признаками: средним значением, около которого происходят колебания, и средним размахом этих колебаний. Выберем произвольно одну из таких реализаций и продолжим мысленно опыт, в результате которого она получена, на некоторый участок времени Т. При достаточно большом Т эта одна реализация сможет дать нам достаточно хорошее представление о свойствах случайного процесса в целом. Про такой процесс говорят, что он обладает эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество отдельных реализаций той же общей продолжительности.

Рассмотрим теперь случайный процесс . Выберем произвольно одну из его реализаций и продолжим мысленно на достаточно большой участок времени. Среднее значение для каждой реализации будет свое и может существенно отличаться от математического ожидания случайного процесса, построенного как среднее из множества реализаций. Про такой процесс говорят, что он не обладает эргодическим свойством. Для этого случайного процесса характерно то, что его можно разложить на более элементарные случайные процессы. Каждый из них осуществляется с некоторой вероятностью и имеет свои индивидуальные характеристики.

Характеристики эргодического стационарного случайного процесса могут быть определены не как средние по множеству наблюдений, а как средние по времени.

Марковский случайный процесс

Аналитическое определение марковского случайного процесса неоднозначно, но все определения отражают свойство Маркова. Это свойство состоит в следующем: при известном настоящем будущее не зависит от прошлого.

Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским, если ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример. Рассмотрим элементарный пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс случайным образом перемещается точка Х. В момент времени точка Х находится в начале координат и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета. Если выпал «орел», то точка Х перемещается на одну единицу длины вправо, если «решка» – влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение и т. д. Процесс изменения положения точки (блуждания) представляет собой случайный процесс с дискретным временем и счетным множеством состояний: Схема возможных переходов имеет следующий вид.

… …

Этот процесс – марковский. Действительно, пусть в некоторый момент система находится в состоянии . Возможные положения точки через единицу времени будут и с вероятностями ½ и ½; через две единицы времени – , , с вероятностями ¼, ½, ¼ и т. д. Очевидно, все эти вероятности зависят только от того, где находится точка в момент времени , и совершенно не зависят от того, как она туда пришла.

Рассмотрим марковские случайные процессы с дискретными состояниями . Такие процессы удобно иллюстрировать с помощью графа состояний. Прямоугольниками обозначены состояния системы, а стрелками – возможные переходы из состояния в состояние. Задержка системы в данном состоянии отмечается петлей. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным, но счетным.

Цепью Маркова называется___________________________________________

________________________________________________________________________

Для такого процесса моменты времени, когда система может менять свое состояние, удобно рассматривать как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, рассматривать не время, а номер шага. Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний.

Начальное состояние может быть как заданное заранее, так и случайное. Обозначим – вероятность перехода из -го состояния в -е состояние или переходную вероятность. Цепь Маркова называется однородной, _______________

________________________________________________________________________

Все эти вероятности образуют матрицу переходных вероятностей в соседние моменты времени:

Начальному моменту времени ничто не предшествует, следовательно, с начальный момент задают начальные вероятности:___________________________

Обозначим – вероятность перехода из -го состояния в -е состояние за шагов. В однородных цепях важно сколько временных интервалов, но не важно какие. Эти вероятности образуют матрицу перехода за n шагов. Матрица перехода за шагов определяется матрицей перехода за 1 шаг:__________________________