Романтика математических олимпиад (стр. 6 )

§ 5. Задачи на раскраску и инварианты.

В этом классе олимпиадных задач для ответа на определённый вопрос помогает удачная раскраска либо клеток некоторой таблицы, либо точек некоторой области в разные цвета. Такое разделение по цветам часто бывает связано с некоторым свойством, которое сохраняется в некоторых состояниях системы, но может меняться в других. Такое свойство принято называть инвариантом. В зависимости от того, сохраняется или меняется инвариант, делается вывод о том способна или нет система перейти из одного состояния в другое. Рассмотрим простой, интересный пример.

Задание №28. Деревянный куб размером 3*3 условно разделен на 27 маленьких кубиков. Жук начинает прогрызать один из крайних угловых кубиков, двигаясь только параллельно рёбрам куба. Может ли жук прогрызть все кубики, побывав в каждом только один раз, и закончив путь в центральном кубике?

Решение. Раскрасим кубики в шахматном порядке. То есть так, чтобы любые два соседних имели разный цвет: один белый, другой – чёрный. Тогда, двигаясь по условию задачи, жук непременно должен проходить из кубика одного цвета – в кубик другого цвета. Чередование цвета при переходе из одного кубика в другой – инвариант данной задачи. Пусть жук начинает движение из кубика чёрного цвета. (См. рис. 29 ).

Рис 29. . Раскраска куба в шахматном порядке.

Составим таблицу смены цветов кубиков при движении жука.

№ кубика	1	2	3	4	…	26	27
Цвет кубика	Ч	Б	Ч	Б	…	Б	Ч

То есть последний 27 – й кубик должен быть черным, но по рисунку совершенно очевидно, что он – белый. Это противоречие говорит о том, что жук не сможет проделать путь, описанный в задании.

§ 6. Задачи на геометрическую интерпретацию.

О задачах этого класса уже упоминалось в предыдущих главах. Основной смысл поиска решения – это удачная замена аналитических выражений наглядными геометрическими образами. Для решения задач методом геометрической интерпретации нужно знать, в частности уравнения основных фигур в декартовых координатах. Кроме того, может понадобиться умение построения четвёртого пропорционального отрезка по данным трём отрезкам. Полезно также представлять себе аналитические соотношения между сторонами прямоугольного и других треугольников. Для этого, в принципе, достаточно просто знать теоремы Пифагора и косинусов. Красивый вариант геометрической интерпретации представляет использование неравенства между модулем скалярного произведения двух векторов и произведением модулей этих векторов:

Равенство имеет место в случае коллинеарности векторов.

Задание № 29 . Решите уравнение:

Решение. Введём векторы:

.

Тогда:

Так как равенство возможно лишь для коллинеарных векторов, то имеем уравнение:

Проверка показывает, что это и есть корень исходного уравнения.

§ 7. Задачи, решаемые с помощью графов.

Случается, что в процессе поиска решения приходится обозначать точками некоторые элементы и соединять их линиями. Тогда мы невольно применяем, по крайней мере, самые простейшие понятия теории графов. Рассмотрим некоторые определения из этой теории.

Графом называется непустое множество точек, некоторые из которых соединены отрезками. При этом точки называются вершинами, а соединяющие их отрезки – рёбрами графа.

Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.

Вершина называются изолированной, если она не принадлежит ни одному ребру.

Граф называется полным, если каждые две различные вершины его соединены единственным ребром. Число рёбер полного графа, имеющего n вершин равно n(n – 1) / 2.

Уже перечисленных сведений вполне достаточно для решения многих задач на теорию графов. Рассмотрим не самый сложный пример.

Задание № 30. В футбольном первенстве МЯЧЛАНДИИ изъявили желание участвовать сразу 2008 команд. Причем турнир решено провести так, что каждая команда встречается с каждой по одному разу. Может ли случится так, что в какой – то момент времени каждая из участвующих команд сыграет разное количество матчей?

А что такое всего 2008 команд?! Пусть их будет на много больше, к примеру, целых n. Допустим в какой – то момент каждая из команд действительно сыграла по разному количеству матчей. Тогда, не нарушая общности, можно представить следующую таблицу.

Номер команды	1	2	3	4	…	n
Число сыгранных матчей	0	1	2	3	…	n - 1

Легко убедиться в том, что тогда общее число матчей, сыгранных на данный момент равно n(n – 1) / 2 , то есть числу рёбер полного графа, содержащего n вершин. Но тогда откуда одна из них оказалась изолированной? Следовательно, ситуации, описанной в задании не существует ни в МЯЧЛАНДИИ, ни в какой другой футбольной стране.

В предыдущей главе подробно рассмотрен класс заданий связанный с геометрией масс. Описания некоторых других классов содержаться в прилагаемой списке информационных ресурсов. Таким образом, из полного графа слагаемых успешного решения математических олимпиадных заданий (см. введение, с 8, рис. 1 или Пр.1.ppt), остаётся самое главное – собственный исследовательский поиск! Автор приводит сравнительно не большой список заданий из своей коллекции. Эта подборка обусловлена личными взглядами на рассматриваемую тему и, поэтому, возможно, является несколько ограниченной и субъективной. Но этот пробел интересующиеся читатели с лихвой заполнят, используя материалы из списка литературы, из Интернета и из других информационных источников. Сейчас, Слава Богу, нет недостатка в олимпиадных задачах по любым предметам, на любой вкус и уровень.

Задания для самостоятельного исследовательского поиска.

№ 1. На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами часовых стрелок этих часов равно m, максимальное равно М. Найдите расстояние между центрами часов. (12-й Турнир Городов, осенний тур, 10-11 кл.)

№ 2. Окружность с центром в начале координат О проходит через точки А(4;3) и В(-3;4). Найдите на окружности такую точку М, чтобы вектор имел наибольшую длину. («Юный техник» № 12, 1983 г. Одна из задач вступительного экзамена в ЗФТШ).

№ 3. Даны два круга (см. рисунок 30) и AB параллельна CD, АВ = 24 см. Чему равна площадь зарисованной части? (Из серии «Квант для младших школьников»).

Рис. 30.

№ 4. Докажите равенство двух углов, показанных на рисунке 31. (Из серии «Квант для младших школьников»).

Рис. 31.

№ 5. Кто построить сможет с блеском треугольник из отрезков, пару точек и квадрат – тот поступит на МЕХМАТ!!! Ну, а если более серьёзно, постройте график уравнения:

№ 6. Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8*8, чтобы в любых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух строках – различным? (Олимпиада Юга России – 1996 г., 8 кл.)

№ 7. Докажите, что в тетраэдре отрезки, соединяющие вершины с точкой пересечения медиан противоположной грани и отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер имеют общую точку. Найдите, в каком отношении делятся соответствующие отрезки их общей точкой.

№ 8. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

№ 9. Пусть стороны треугольника равны a, b, c. Выразите отношения, в которых делятся биссектрисы их точкой пересечения.

№ 10. Докажите теорему Чевы: Если на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, или на их продолжениях отмечены соответственно точки P, Q и R, то прямые AQ, BR и CP (их называют чевианами) пересекаются в одной точке тогда, и только тогда, когда выполняется векторное равенство:

№ 11. Докажите теорему Менелая: Если на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, или на их продолжениях отмечены соответственно точки P, Q и R, то эти точки лежат на одной прямой тогда, и только тогда, когда выполняется векторное равенство:

№ 12. а) Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 300. Из этого угла по медиане к противоположной стороне выпущен шар (материальная точка). Докажите, что после восьми отражений от бортов шар попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 600. (4 Турнир Городов, март 1983г.);

б) Изобразите маршрут движения шара и докажите, что существуют две точки, через которые проходят три отрезка этого маршрута. (Личное авторское дополнение).

№ 13. Найдите все такие пары натуральных чисел (a; b) , что число 3a+2 делится на b +1, а число 3b + 2 делится на a + 1.

№ 14. Решите в натуральных числах уравнение xy – 3x – 5x = 0.

№ 15. Докажите, что для любого натурального числа n, число

тоже натуральное.

№ 16. Найдите все целые х, для которых (8х3 – 12х2 + 6х – 217) – простое число.

№ 17. Решите в натуральных числах уравнение

№ 18. Вычислите сумму

№ 19. Решите уравнение

№ 20. Докажите, что

где a, b и c – натуральные числа.

№ 21. Круг поделили хордой АВ на два сегмента и один из них повернули вокруг точки А на некоторый угол. При этом точка В перешла в точку В*. Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка ВВ*, перпендикулярны друг другу.

№ 22. Докажите, что уравнение

имеет бесконечное множество решений в целых числах.

№ 23. На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника АВС с углом 20О при вершине А отложен отрезок AD, равный основанию ВС. Найдите угол ВСD.

№ 24. Дан треугольник АВС, Н – точка пересечения его высот. Докажите, что окружности, описанные около треугольников АВС, АНС, АНВ и СНВ имеют равные радиусы.

№ 25. Найдите решение системы уравнений:

№ 26. В королевстве ОСТРОЗУБИИ любые два человека отличаются набором зубов. Максимальное количество зубов 32. Найдите максимально возможное число жителей королевства.

№ 27. Найдите сумму S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + … + nxn – 1.

№ 28. Клетки прямоугольника 5*41 раскрашены в два цвета. Можно ли выбрать три строки и три столбца так, чтобы все 9 клеток, находящиеся на их пересечении были одного цвета?

№ 29. Пусть х = sin18o. Докажите, что 4х2 + 2х = 1.

№ 30. В городе Буле некоторые жители – лжецы, и они всегда лгут, а все остальные всегда говорят правду. Однажды в одной комнате находилось несколько жителей этого города, и трое из них сказали следующее:

- Нас тут не больше трёх человек. Все мы – лжецы.

- Нас тут не более четырёх человек. Не все мы лжецы.

- Нас тут пятеро. Трое из нас лжецы.

Определите, сколько человек в комнате и сколько из них лжецов?

№ 31. В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках никогда не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу. Докажите, что найдётся террорист, который участвовал не менее чем в 11 вылазках.

№ 32. Муравей ползёт по проволочному каркасу куба. При этом он никогда не поворачивает назад. Может ли он побывать в одной из вершин куба 25 раз, а в остальных по 20?

№ 33. Решите систему уравнений

№ 34. Лидер общественного движения «АЛГЕБРОЛЮБЫ» предлагает ввести новую операцию:

Чему тогда равно значение выражения:

№ 35. Найдите многочлен с целыми коэффициентами, имеющий одним из своих корней число, равное sin150.

№ 36. Плоскость покрыта квадратной решёткой. Можно ли через любой узел провести прямую не проходящую больше ни через один узел решётки?

№ 37. В каждой клетке доски 5*5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

№ 38. Муха вылетает из одного города в другой со скоростью 1 метр в секунду. Расстояние между городами 2500 километров. Муха удваивает скорость после каждого метра пути. Оцените время полёта мухи.

№ 39. В математический КВН играют команды двух школ. Соревнование состоит из нескольких конкурсов. За победу в конкурсе команда получает три балла, за ничью – два, и за поражение – один утешительный балл. С каким счётом могли и с каким не могли закончится соревнования: 23:20, 17:17, 24:16, 17:15?

№ 40. В соревновании двух команд, состоящем из нескольких туров, в каждом из которых команда за победу получает три очка, за ничью – два очка, и за поражение – одно очко, итоговый счёт оказался равным 17:15. Сколько победных, ничейных и проигрышных туров могло быть у победителей?

№ 41. На столе лежат две кучи конфет, в первой – 12, а во второй – 13. Мальчик и девочка играют в такую игру: за ход разрешается либо съесть 2 конфеты из одной кучи, либо переложить 1 конфету из первой кучи во вторую. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Мальчик, по джентельменски уступает право первого хода – даме! Сможет ли он выиграть?

№ 42. Найдите все пары квадратных трёхчленов x2 +ax +b и x2 + cx + d, такие, что a и b – оба корня второго трёхчлена, c и d – оба корня первого трёхчлена.

№ 43. Взяли два натуральных числа a и b. Оказалось, что a2 + b2 делится на ab. Докажите, что a = b.

№ 44. Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могло ли такое произойти?(Отражение шара от борта происходит по правилу: «угол падения равен углу отражения).

№ 45. Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил их сумму на их произведение. После этого Незнайка стёр самое маленькое число и поделил сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в три раза больше первого. Какое число стёр Незнайка?

№ 46. Лидер партии «Новая Геометрия» предложил ввести следующую формулу для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости:

Чем в такой геометрии является «новый серединный перпендикуляр» к отрезку АВ, если А(1;3), В(3;7)?

№ 47. Миша стоит в центре круглой лужайки радиуса 100 м. Каждую минуту он делает шаг длиной 1 м. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Катя имеет право заставить его сменить направление на противоположное. Может ли Миша действовать так, чтобы в какой-то момент выйти с лужайки или Катя всегда сможет ему помешать?

№ 48. Дана функция, обладающая следующим свойством:

Известно, что f(10) = - π. Найти f(-2/7).

№ 49. В письменности антиподов числа тоже записываются цифрами 0, 1, 2, …, 9, но при этом каждая из цифр у них и у нас имеют разные значения. Оказалось, что у антиподов тоже верны равенства: 5*8 + 7 + 1 = 48, 2*2*6 = 24, 5*6 = 30. Как продолжит равенство 23 = … грамотный антипод? Что означает у антиподов цифра 9?

№ 50. Найдите все целые x и y, удовлетворяющие уравнению

Ответы, указания.

№ 1. (M+m ) / 2. Можно применить метод вращающегося вектора (см. Гл. 2).

№ 2. . Вращающийся вектор.

№ 3. 144π. Принцип удачной переформулировки. Совместите центры кругов.

№ 4. Воспользуйтесь равенством двух углов, вписанных в одну окружность.

№ 5. Что должно получиться сказано в условии. Изучите аналогичную задачу из Гл. 2.

№ 6. Такая расстановка возможна. Одно из решений приведено в следующей таблице, где шашки закодированы цифрой 1:

							1
						1	1
					1	1	1
1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

№ 7. Найдите центр масс точек 1A, 1B, 1C, 1D. Где A, B, C, D – вершины тетраэдра.

№№ 8; 9. Воспользуйтесь тем, что биссектриса делит сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам и докажите, что точка пересечения биссектрис совпадает с центром масс материальных точек aA, bB, cC. Пусть J є [ AA1] , тогда:

№№ 10; 11. Поместите в вершины треугольника массы в соответствии с заданным отношением отрезков. Найдите центр масс получившихся материальных точек и воспользуйтесь его свойствами.

№ 12 а). Воспользуйтесь свойством упругого соударения шара о стенки бильярда: угол падения равен углу отражения. В месте удара шара о стенку стройте прямоугольный треугольник, симметричный данному, относительно этой стороны. Тогда весь маршрут можно спрямить в отрезок прямой. В соответствии с идеями геометрии масс можно рассчитать, в каком отношении точки ударения делят любую из сторон. Для удобства изображения всего маршрута можно больший катет разделить на 35 равных частей, меньший катет на 6, а гипотенузу на 12 равных частей. Маршрут начинается в вершине А, заканчивается в вершине В и имеет восемь точек столкновения со стеками: M1, M2, … M8 . Положения этих точек на соответствующих сторонах отвечает следующим отношениям длин отрезков:

CM1 : M1B = 1; BM2 : M2A = 4 : 8 ; AM3 : M3C = 20 : 15; AM4 : M4B = 1; AM5: M5C = 28 : 7 ; CM6 : M6B = 2 : 4; BM7 : M7A = 3 : 9; AM8 : M8C = 30 : 5.

б) В одной из точек пересекаются отрезки M8B, M6M7 , M1M2 , в другой – отрезки AM1, M2M3 , M4M5. Для доказательства можно применить теоремы Менелая и Чевы.

№ 13. (1;4), (3;10), (4;6), (4;1), (10;3), (6;4).

№ 14. (6;18), (8;8), (10;6), (20;4).

№ 15. Приведите дроби к общему знаменателю, числитель разложите на множители, сделайте вывод.

№ 16. При х = 4, р = 127. Выделите полный куб.

№ 17. x = 1, y = 2, z = 3.

№ 18. 9. Избавление от иррациональности в знаменателе.

№ 19. Замена переменной по формуле: x2 - 5x = t.

№ 20. Возьмите правильный 5-угольник с центром в начале координат и одной из вершин – на оси абсцисс. Сумма пяти векторов с общим началом в начале координат и концами – в вершинах пятиугольника равна нуль-вектору.

№ 21. Можно воспользоваться координатным методом. Сегменты лучше заменить соответствующими им равнобедренными треугольниками. Заменить отрезки векторами, координаты которых можно выразить и найти скалярное5 произведение этих векторов.

№ 22. Можно воспользоваться равенством:

№ 23. 70О. Постройте внутри треугольника АВС равносторонний треугольник со стороной ВС.

№ 24. Точка Н*, симметричная точке Н относительно прямой АС лежит на окружности, описанной около треугольника АВС!

№ 25. x = y = z = t = 1. Примените неравенство Коши: .

№ 26. 232. Можно начать с максимального числа зубов, равного 4 и сделать индуктивное обобщение.

№ 27.

№ 28. Можно. Для доказательства трижды используйте Принцип Дирихле (Гл. 4.).

№ 29. Для вычисления синуса 180 можно воспользоваться равнобедренным треугольником с углом при вершине 360 , построив внутри исходного треугольника ему подобный. Можно также использовать решение задачи № 20.

№ 30. В комнате четверо, из них двое лжецов.

№ 31. По принципу Дирихле, найдётся вылазка, состоящая не менее, чем из 11 человек…!

№ 32. Нет, не может. Раскрасьте вершины куба в два цвета так, чтобы концы любых двух рёбер были разноцветными.

№ 33. Приметите геометрическую интерпретацию, заменив переменные отрезками, из которых можно сложить прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 и гипотенузой 10. Далее останется лишь использовать подобие треугольников. Ответ: (0.6;1.2;1.8;2.4).

№ 34. Обозначьте через y результат «предпредпоследней» операции и выразите через него число x – результат предпоследней операции. Остаётся сделать правильный вывод и получить ответ: 1/3.

№ 35. 16х4 – 16х2 + 1.

№ 36. Можно. Выясните, к примеру, пройдёт ли прямая через какой-нибудь узел решётки, отличный от начала координат?

№ 37. Раскрасьте клетки доски в два цвета в шахматном порядке. Тогда каждый жук при описанном переходе попадёт в клетку нового цвета. Клеток - нечётное число. Какой можно сделать вывод?

№ 38. Первый метр пути муха пролетает за время t1 = 1 c, второй метр за время t2 = ½ c, …, tn = 1/(2n-1) c. Общее время полёта равно сумме 2500000 членов убывающей геометрической прогрессии с первым членом t1 = 1 c и знаменателем q = 0.5. Поэтому:

Таким образом, полёт мухи не превышает двух секунд!

№ 39. Общая сумма баллов двух команд за тур равна 4. Поэтому сумма баллов общего счёта должна быть крана 4.

№ 40. Пусть победители выиграли x туров, сыграли в ничью в y турах, и проиграли – в z турах. Тогда, по условию задачи можно составить следующую систему:

Система имеет следующие решения: (1;7;0), (2;5;1), (3;3;2), (4;1;3).

№ 41. Да, сможет, причём при любой стратегии девочки.

№ 42. Ответ: а) x2 + ax, x2 – ax, a ε R, б) x2 + x – 2, x2 + x – 2.

№ 43. Можно воспользоваться неравенством:

№ 44. Да, могло! Вы найдёте несколько возможных маршрутов, если разделите исходный правильный треугольник на девять равных между собой треугольников, подобных данному.

№ 45. Незнайка записал числа 4, 5 и 7, и затем стёр 4.

№ 46. В «новой геометрии» серединным перпендикуляром будет ломаная линия l, определяемая формулой:

№ 47. Миша всегда сможет покинуть круг на определённом шаге, если каждый шаг, начиная со второго будет делать в направлении перпендикулярном отрезку, соединяющему центр круга и точку, в которой он на данный момент находится.

№ 48. Можно доказать, что f(x) = - 0.1πx. Тогда: f(-2/70 = π / 35.

№ 49. Грамотный антипод продолжит запись также, как и мы : 23 = 8. А вот цифра 9 у них – это наш ноль. Задачу можно решить достаточно длинным но не сложным перебором вариантов, методом исключений.

№ 50. Построив в координатной плоскости область определения данного уравнения, легко убедиться в том, что она содержит единственную точку с целочисленными координатами (3;2). Непосредственная подстановка этих координат в уравнение убеждает в том, что это и есть его целочисленное решение.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ.

, Болтянский масс. Серия: Библиотечка «Квант», М.: Наука, 1987. – 206 с. Барсуков математика: хитрые задачи для школьников всех возрастов. – М: ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д: Издательский центр «МарТ», 2007. – 88 с. (Серия «Школьный корабль»). Гаврилова математика. 5-11 классы. (Как сделать уроки математики нескучными). – Волгоград: Учитель, 2006. – 90 с. Заболотнева задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад: развитие творческой сущности учащихся. – Волгоград: Учитель, 2007. – 99 с. , Теплов олимпиадных заданий для учащихся 8-11 классов. Математика. Физика. Астрономия. Биология. Экология. Химия. География.: Практическое пособие. – М.: АРКТИ, 2006. – 128 с. (Школьное образование). , , Якир шаг или сто тринадцать красивых задач (Методическое пособие). – Киев: Агрофирма «Александрия», 1993 г. – 60 с. Миракова задачи на уроках математики в 5-8 классах: пособие для учителя. – Львов: журнал «КВАНТОР», 1991 г. – 96 с. Шеховцов для абитуриентов и студентов. Учебно-методическое пособие. – Новокубанск. . ГАУ. – 2003 г. 123 с. *****@***ru – Сайт издательства «УЧИТЕЛЬ» г. Волгоград; *****@***ru – электронный адрес Центрального жюри Международного Математического Турнира Городов; http://crdo-bernoulli. ***** – сайт Центра развития дополнительного образования им. Бернулли, г. Краснодар.