Зміст (стр. 3 )

Знак

Функція зростає на інтервалі та спадає на інтервалі .

Точка є точкою мінімуму функції.

Обчислимо .

Тобто точка екстремуму нашої функції .

6) Знайдемо .

Дослідимо функцію на вгнутість та опуклість.

, звідки , - критичні точки.

Функція вгнута на інтервалі , опукла на інтервалах та . У точках , функція має перегин графіку.

Знайдемо , .

Отже, , - точки перегину.

7) Вертикальних асимптот графік не має.

Для похилих асимптот знайдемо і .

Будемо мати:

,

.

Отже, похилих асимптот не буде.

8) Будуємо графік.

4. .

1) .

2) Якщо , то . Знайшли, що графік перетинає вісь у точці . Якщо , то , звідки , тому . Знову отримали ту саму точку , в якій графік перетинає вісь . З’ясовано, що тільки у початку координат графік перетинає обидві координатні осі.

3) Функція не періодична, не є парною або непарною та .

4) Функція неперервна в області визначення, тому точок розриву не має.

5) Обчислимо .

З умови знайдемо критичні точки.

Будемо мати: , тому , звідки .

Функція зростає на інтервалі та спадає на інтервалі . Зрозуміло, що - точка максимуму функції.

.

Точка - екстремальна точка функції.

6) Знайдемо .

Тоді , тому , звідки - критична точка функції.

Функція вгнута на інтервалі та опукла на інтервалі .

Отже, у точці функція має перетин.

.

Тому - точка перетину графіка функції.

7) Вертикальної асимптоти графік функції не має.

Для похилих асимптот знайдемо і .

Отримаємо: ,

.

Тому - пряма, яка співпадає з віссю , буде горизонтальною асимптотою.

У випадку коли : , тому ніякої асимптоти не буде.

8) Будуємо графік.

5. .

1) Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в тих точках, де знаменник дорівнює нулю: , звідки .

Отже, .

2) Нехай , тоді , звідки .

Нехай , тоді . Отже, графік перетинає обидві координатні осі в точці , тобто проходить через початок координат.

3) Функція не періодична, вона непарна, тому що

.

Її графік є симетричним відносно початку координат.

4) Маємо дві точки розриву II-го роду: та , тому що та .

Отже, прямі та є вертикальними асимптотами.

5) Знайдемо .

Розв’яжемо рівняння , звідки , - критичні точки функції.

Помітимо, що похідна не існує при , але вони обидві не входять до області визначенності функції.

Функція зростає на інтервалах , функція спадає на інтервалах .

Похідна змінює знак при переході через точки . А саме: є точкою мінімуму функції, а - точкою максимуму.

, .

Отже, екстремальні точки , .

6) Обчислимо

.

Розв’яжемо рівняння , звідки , а саме - це критична точка функції.

Помічаємо, що не існує при .

Функція вгнута на інтервалах , функція опукла на інтервалах .

При переході через змінює знак.

.Точка є точкою перегину.

7) Вертикальні асимптоти: . Для похилих асимптот знайдемо і .

,

.

Отже, рівняння похилої асимптоти: .

8) Побудуємо графік функції.

y

Завдання для самостійної роботи

Дослідити функції та побудувати їхні графіки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Розділ 2

ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

2.1. Означення та область визначення. Частинні похідні першого порядку

Нехай - множина упорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і і записують .

Змінну називають залежною змінною (функцією), а змінні та - незалежними змінними (аргументами).

Множину пар чисел , для яких функція визначена, називають областю визначення функції і позначають . Множину значень позначають .

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел відповідає в прямокутній системі координат єдина точка площини, і, навпаки, кожній точці площини відповідає єдина упорядкована пара чисел , то функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати . Областю визначення функції у цьому випадку є деяка множина точок площини .

Значення функції в точці позначають або , або .

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається

.

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається

.

При обчисленні частинних похідних функції двох змінних користуються вже відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної. Слід лише пам’ятати, що при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції змінної , вважаючи змінну сталою. При знаходженні похідної сталою вважається змінна .

Зразки розв’язування задач

1. Знайти та зобразити області визначення функцій двох змінних:

а) .

Функція не визначена лише тоді, коли . Геометрично це означає, що область визначення функції складається із двох півплощин, одна з яких лежить вище, а друга нижче прямої (рис. 2.1)

б) .

Функція визначена при умові , тобто . Рівняння визначає в площині коло з центром в початку координат і радіусом . Функція визначена в точках, які лежать усередині кола та на його межі, так як для всіх точок, які лежать поза колом, має місце нерівність (рис.2.2).

в) .

Область визначення цієї функції визначається з нерівності . Межа області – парабола , яка ділить всю площину на дві частини. Щоб виявити, яка з частин є областю визначення даної функції, тобто задовольняє умову , достатньо перевірити цю умову для якої-небудь однієї точки, яка не лежить на параболі. Наприклад, точка належить області визначення, тому що . Отже, область визначення даної функції є множина точок, розташованих нижче параболи. Межа (парабола ) не належить до області визначення функції. (рис. 2.3).

г) z.

Областю визначення цієї функції є сукупність пар і , які задовольняють нерівностям . На площині ця область є смуга, обмежена прямими і (рис.2.4)

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) .

Функція є функцією двох змінних і . Припускаючи, що стала й обчислюючи похідну від функції по , знаходимо частинну похідну по : . Припускаючи, що стала й обчислюючи похідну від функції по , знаходимо частинну похідну по :

.

б) .

Вважаючи, що , маємо: .

Якщо, , то .

в) .

; .

г) .

;

.

д) .

При диференціюванні по функція має вигляд . Тому

.

При диференціюванні по функція набуває вигляду , тому

.

є) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо:

;

.

ж) .

При знаходженні частинних похідних і маємо функцію у вигляді дробу, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться змінні. Тому застосуємо правило диференціювання частки двох функцій, а саме:

;

.

з) .

При диференціюванні по задану функцію треба розглядати як степеневу . Тоді отримаємо . При диференціюванні по функція має вигляд показникової . Будемо мати .

і) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо: по функція є показниковою, а по - степеневою. Знаходимо: ; .

к) .

Обчислюючи , вважаємо і знаходимо частинну похідну від складеної функції по : .

Обчислюючи похідну , вважаємо , а функцію - складеною по : .

л) .

;

.

м) .

; .

н) .

;

.

3. Довести, що функція задовольняє рівняння .

Знайдемо частинні похідні функції :

; .

Підставимо саму функцію та її частинні похідні в наведене рівняння:

.

Будемо мати:

;

.

Отримано тотожність, це означає, що функція задовольняє рівняння.

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ; в) ; г) .