Зміст (стр. 4 )

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

є) ;

ж) ;

з) .

3. Довести, що функція задовольняє рівняння .

2.2. Повний диференціал функції. Похідні складених функцій

Повний приріст функції визначається за формулою

, (2.1)

де і - прирости незалежних змінних.

Повним диференціалом функції називається головна лінійна відносно і частина приросту функції, яка обчислюється за формулою

, (2.2)

де , .

Для наближеного обчислення значення функції двох змінних користуються наближеною рівністю

. (2.3)

Ця наближена рівність тим точніша, чим менше величини і .

Нехай - функція двох змінних і , кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної : , . Тоді функція є складеною функцією змінної .

Похідну цієї функції знаходять за формулою

. (2.4)

Зокрема, якщо , а , то

. (2.5)

Нехай - функція двох змінних та , які також залежать від змінних та : , . Тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та , а її частинні похідні по цим змінним обчислюються за формулами:

(2.6)

Зразки розв’язування задач

1. Знайти повний диференціал функцій:

а) .

Знайдемо частинні похідні:

; .

За формулою (2.2) будемо мати:

.

б) .

; .

Отже, .

в) .

; . Будемо мати: .

г) .

;

.

Тоді отримаємо:

.

2. Обчислити наближено за допомогою повного диференціала: .

Розглянемо функцію , тоді ; . Покладемо, що , , обчислимо , . Тоді . Знаходимо частинні похідні і їх значення в точці , а саме

, тоді ;

, тоді .

Повний диференціал

.

Користуючись формулою (2.3), отримаємо: , а саме: .

3. Знайти , якщо , , .

Функція є складеною функцією змінної , тому за формулою (2.4) отримаємо:.

Будемо мати: , , , .

Тоді шукана похідна запишеться у вигляді:

.

Підставляючи замість і їхні вирази через , дістанемо:

.

4. Знайти , якщо , , .

Функція є складеною функцією змінної , тому її похідна обчислюватиметься за формулою (2.4):

.

Будемо мати: , , , .

Тоді

.

5. Знайти , якщо , .

Згідно з формулою (2.5): . Обчислимо:

,

,

.

Тоді .

Підставляючи замість його значення через , дістанемо:

.

6. Знайти і , якщо , , .

Функція є складеною функцією змінних та . Для обчислення її похідних застосуємо формули (2.6).

Будемо мати: , .

Знайдемо частинні похідні: , , , , , .

Підставляючи, отримаємо:

,

.

Замінюючи і виразами через і , остаточно дістанемо:

,

.

7. Знайти і , якщо , , .

Як і в попередньому прикладі - складена функція змінних та . Обчислимо: , , , ,, .

За формулами (2.6) маємо:

,

.

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти повний диференціал функцій:

а) ;

б) ;

в) .

2. Обчислити наближено .

3. Знайти , якщо , , .

4. Знайти , якщо , .

5. Знайти і , якщо , , .

2.3. Частинні похідні вищих порядків. Похідні неявно заданих функцій

Якщо задано функцію і обчислені її частинні похідні і , то вони також є функціями незалежних змінних і , а тому від кожної із них можна обчислити похідні як по змінній так і по змінній .

Частинні похідні від частинних похідних першого порядку називаються частинними похідними другого порядку. Вони позначаються:

, ,

, .

Аналогічно означаються і позначаються частинні похідні вищих порядків.

Частинні похідні, які відмінні одна від одної лише порядком диференціювання, називаються мішаними похідними. Вони є рівними між собою при умові їх неперервності, тобто .

Похідна від неявної функції, яку задано рівнянням може бути обчислена за формулою:

. (2.7)

Частинні похідні неявної функції , заданої рівнянням , можуть бути обчисленні за формулами:

, . (2.8)

Зразки розв’язування задач

1. Знайти частинні похідні другого порядку:

а) .

Знайдемо перші похідні:

, .

Знайдемо другі похідні:

, ,

, .

б) .

, ;

, ,

, .

в) .

, ;

,

,

.

2. Перевірити, що для функції .

Знаходимо перші похідні:

, .

Обчислимо мішані похідні другого порядку:

,

.

Як бачимо, .

3. Перевірити, що функція задовольняє рівняння .

Знайдемо частинні похідні першого та другого порядку, які є в даному рівнянні:

, ;

.

Підставляємо знайдені похідні в наше рівняння:

або .

Отримаємо: , а саме .

Ми отримали тотожність, тому функція задовольняє дане рівняння.

4. Знайти похідну від функцій, заданих неявно:

а) .

.

Знайдемо частинні похідні: , .

За формулою (2.7) маємо: .

б) .

.

, .

За формулою (2.7) маємо: .

в) .

.

Тоді , .

Отримаємо: .

5. Знайти та від неявно заданих функцій:

а) .

.

Обчислимо , , .

Зауважимо, що у кожному випадку беручи похідну по одній змінній, дві другі вважаються сталими. За формулами (2.8) маємо: , .

б) .

.

Обчислимо , , .

Тоді будемо мати: ,

.

6. . Знайти та у точці .

.

Знайдемо , , .

За формулами (2.8):

, тоді .

, тоді .

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти частинні похідні другого порядку:

а) ;

б) ;

в) .

2. Показати, що функція задовольняє рівняння .

3. . Знайти , .

4. Знайти від функцій, заданих неявно:

а) ; б) .

5. Знайти та , якщо .

2.4. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Екстремум функції двох змінних

Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в даній її точці мають вигляд:

; (2.9)

. (2.10)

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо знайдеться такій окіл точки , в якому для будь-якої точки виконується нерівність: . Максимуми і мінімуми функції називаються її екстремумами, а точки, в яких досягаються екстремуми - точками екстремуму.

Необхідна умова існування екстремуму.

Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то в цій точці виконуються рівності:

, . (2.11)

Точки, в яких виконуються рівності (2.11), називаються точками можливого екстремуму або стаціонарними.

Достатня умова існування екстремуму функції.

Нехай у точці можливого екстремуму і деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Позначимо і покладемо . Тоді:

а) якщо , то - точка екстремуму, причому при - точка максимуму, при - мінімуму;

б) якщо , то в точці екстремуму немає;

в) у випадку , функція у стаціонарній точці може мати екстремум або ні.

Зразки розв’язування задач

1. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці :

а) у точці .

Знайдемо : . Отже, .