Зміст (стр. 5 )

Позначимо .Тоді частинні похідні:

, , .

Обчислимо значення частинних похідних в точці :

,

,

.

Згідно з формулою (2.9), рівняння дотичної площини має вигляд:

,

або .

За формулою (2.10) складемо рівняння нормалі:

.

б) у точці .

Знайдемо , , .

Значення частинних похідних в точці :

,

,

.

Складемо рівняння дотичної площини:

,

або .

Рівняння нормалі:

або .

2. Дослідити функції на екстремум:

а) .

Обчислимо частинні похідні функції: , .

Знайдемо стаціонарні точки. Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

або

Визначаючи з першого рівняння і підставляючи його вираз у

друге, маємо: , звідки , . Тоді , .

Отже, точки і - стаціонарні. Обчислимо частинні похідні другого порядку даної функції: , , .

Знайдемо їх значення в стаціонарних точках:

, , ;

, , .

Враховуємо, що , отже, в точці

екстремуму немає. Обчислимо та , а тому в точці дана функція має мінімум, причому .

б) .

Частинні похідні першого порядку: та . Знайдемо

стаціонарні точки:

, звідки

Отже, точка є стаціонарною. Частинні похідні другого порядку:

, , .

Тоді , , . Обчислимо .

Отже, в точці є екстремум. Так як , то в точці функція має мінімум:

.

Завдання для самостійної роботи

1. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у заданій точці:

а) , ;

б) , ;

в) , .

2. Дослідити функції на екстремум:

а) ; б) .

Розділ 3

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

3.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Метод безпосереднього інтегрування

Функція називається первісною функції на проміжку , якщо диференційовна на і для всіх . Очевидно, що будь-яка з функцій , де - довільна стала, також є первісною функції на цьому проміжку.

Сукупність усіх первісних функції на проміжку називають невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначають

,

де - підінтегральна функція, - підінтегральний вираз, - довільна стала.

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

Властивості невизначеного інтеграла:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо і - довільна функція, що має неперервну похідну, то .

При обчисленні невизначених інтегралів зручно користуватися наступними правилами: якщо , тоді

,

,

,

де та - сталі величини.

Таблиця основних інтегралів

1. ,

1'. ,

2. ,

3. , >, ,

3'. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

8'. , >,

9. ,

9'. , ,

10. , ,

11. ,

,

12. ,

13. ,

14. ,

15. .

Зауваження. Варто відзначити, що задача інтегрування функції вирішується неоднозначно. Тобто один і той же інтеграл може бути обчислений не єдиним методом.

Метод безпосереднього інтегрування полягає у зображенні вихідного інтеграла у вигляді алгебраїчної суми табличних інтегралів.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Користуючись властивостями 4 та 5, будемо мати:

2.

3.

4.

5. .

Тут, крім властивостей 4 та 5, застосуємо правила інтегрування. Дістанемо:

6.

7. .

Інтеграл не є табличним, тому за допомогою алгебраїчних перетворень треба підінтегральну функцію подати у такому вигляді, щоб можна було застосувати властивості невизначеного інтеграла та обчислити його. Для цього в чисельнику дробу додамо і віднімемо 1. Поділивши почленно на , отримаємо алгебраїчну суму двох табличних інтегралів:

8. .

Використаємо формулу тригонометрії: .

Тоді

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

3.2. Метод підстановки (заміни змінної)

Заміна змінної у невизначеному інтегралі виконується за допомогою підстановок двох типів:

1. Інтеграл зображають у вигляді:

,

де функція має обернену функцію і для функції відома первісна .

Тоді .

2. Інтеграл записують у вигляді

,

в якому для функції відома первісна .

Тоді

В обох випадках досягається мета спростити вихідний інтеграл та привести його до табличного інтегралу.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Поклавши , знайдемо . Ця підстановка призведе до того, що під знаком синуса з’явиться змінна інтегрування, а не корінь з неї. Отримаємо:

Відповідь повинна бути виражена через початкову змінну . Підставляючи в результат інтегрування , дістанемо:

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

3.3. Метод інтегрування частинами

Якщо та - функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:

.

Тут вважається заданою ліва частина формули, тобто . Обчислення цього інтеграла зводиться до знаходження диференціала функції та функції за відомим її диференціалом . Функція визначається неоднозначно, з точністю до довільної сталої , тому вибирають ту функцію, яка має найпростіший вигляд (як правило, покладають ).

Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів:

1) інтеграли виду , , , , де - многочлен -ого степеня від , - дійсне число. У цих інтегралах за слід взяти множник , а за - вираз, що залишився;

2) інтеграли виду , , , , . У цих інтегралах слід взяти за множник , , , , , а за - ;

3) інтеграли виду , , де - дійсні числа.

Тут після двократного застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Покладемо , . Тоді , .

Використовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:

Надалі розв’язання прикладів наводяться в конспективному вигляді: після умови вказано вирази , і , .

2.

3.

Інтегрування частинами дозволило знизити на одиницю степінь . Щоб знайти , застосуємо даний метод ще раз.

4.

5.

6.

Складається враження, що інтегрування частинами не призвело до цілі, інтеграл не спростився. Проте спробуємо ще раз застосувати цей метод до отриманого інтеграла.

Нехай .

Застосувавши двічі інтегрування частинами, дістали рівняння, яке містить шуканий інтеграл у якості невідомого. Ми отримали, що

II.

З цього рівняння знаходимо I:

I+I, I

7.

Позначивши , маємо рівняння:

I, звідки , .

8.

Ще раз інтегруємо частинами:

Знову прийшли до вихідного інтегралу Знайдемо його з рівняння:

.

Маємо: , звідки

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;