XVI Открытая городская олимпиада по математике г. Петропавловск-Камчатский, 2011

XVI Открытая городская олимпиада по математике.

г. Петропавловск-Камчатский, 2011.

8 класс

Ответы и решения

1.  Вася и Петя получили от своих родителей по 50 рублей и решили покататься по городу. Вася катался на маршрутках за 12 рублей и на лошади за 5 рублей, а Петя на общественном транспорте за 7 рублей. К вечеру оказалось, что они сделали поровну поездок и потратили одинаковое количество денег. Сколько денег у них осталось?

Ответ: Осталось по 1 рублю

Решение: Пусть Вася совершил x поездок на маршрутках и y поездок на лошади, тогда Петя совершил x+y поездок. Получаем равенство 12x+5y=7(x+y), откуда 5x=2y. Видно, что x должно быть четным, x=2n. Тогда y=5n и каждым мальчиком потрачено 7(2n+5n)=49n рублей. Эта сумма меньше 50 только при n=1. Тогда получаем, что каждый мальчик потратил 49 рублей, а осталось у них по 1 рублю.

2.  Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые делятся или только на 4, или только на 5?

Ответ: 315.

Решение: Всего трёхзначных чисел 900 (от 100 до 999). На 4 делится каждое четвёртое число, т. е. кратных 4 чисел 225. Аналогично, 180 чисел, кратных 5. И 45 чисел, кратных и 4, и 5 (т. е. кратных 20). Чисел, которые делятся только или на 4, или на 5 – всего .

Числа и удовлетворяют условию . Какое наименьшее значение может принимать выражение ?

Ответ: 4,5.

Решение: Заменим . Тогда , откуда . Наименьшее значение достигается при (т. е. при ) и равно 4,5.

В треугольнике АВС выполняется равенство . На стороне ВС выбрана такая точка D, что . Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла С в точке Е. Докажите, что АЕ=АВ.

Ответ: Пусть . Тогда , . Пусть точка М – середина стороны ВС. Тогда ВМ = МС­­ = АС, следовательно, , откуда . Следовательно, треугольники ВМА и АСЕ равны по второму признаку (ВМ = АС, , ). Значит, АЕ = ВА как соответственные элементы в равных треугольниках.

На доске 9×9 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если король идет с любой незакрашенной клетки до любой другой незакрашенной клетки, то он обязательно пройдет через клетки двух цветов. Какое наибольшее количество незакрашенных клеток могло быть на доске?

Ответ: 9.

Решение: С любой клетки квадрата 3×3 король может добраться до любой другой его клетки, пройдя не больше, чем через одну промежуточную клетку. Поэтому в любом квадрате 3×3 есть не больше одной незакрашенной клетки. Так как доску 9×9 можно разбить на 9 квадратов 3×3, незакрашенных клеток на ней не больше девяти. Раскраска, когда незакрашенных клеток ровно 9, может быть, например, такой (это не единственный возможный пример!): красим в красный цвет третью и седьмую вертикали, а также третью и седьмую горизонтали, незакрашенными оставляем угловые клетки, центральную клетку и клетки в серединах сторон доски, а все остальные клетки красим в синий цвет.