, , «Алгоритм оценивания параметров мультисинусоидального сигнала с неизвестным числом гармоник»

УДК 681.518.22

А. А. ВЕДЯКОВ, А. А. ПЫРКИН[1]

(Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики)

Алгоритм оценивания параметров мультисинусоидального сигнала с неизвестным числом гармоник

В работе рассматривается проблема оценивания параметров мультисинусоидального сигнала с неизвестным количеством гармоник. Предлагается адаптивный закон оценивания частот, амплитуд и фаз сигнала при условии наличия возможности разделения частотного спектра сигнала на непересекающиеся диапазоны.

Введение

Задача оценивания параметров периодических сигналов является базовой задачей и кроме теоретической ценности имеет широкое практическое применение как в измерительных системах, так и адаптивных системах регулирования [1,8].

Особенностью постановки задачи в работе является то, что рассматривается семейство алгоритмов работающих в непрерывном времени в режиме онлайн. В известных авторам подходах [2-9], отвечающих данной постановке задачи, число гармоник предполагается заданным. В случае изменения их количества, не только точность, но истинность получаемых оценок не гарантируется.

Параметры сигнала, такие как частоты гармоник, амплитуды, фазы и общее смещение считаются неизвестными. Априорными данными о частотной характеристике сигнала является информация о возможности разделения его спектра на непересекающихся диапазонов, содержащих каждый из них ярко выраженную гармонику. Количество компонент в конкретной реализации сигнала может изменяться во времени и при этом быть меньше, равно или превышать число . Число соответствует максимальному количеству гармоник, параметры которых подлежат оцениванию.

Предлагаемый доклад посвящен рассмотрению возможности применения разработанных ранее алгоритмов [1] в непрерывном времени в задаче получения оценок параметров мультисинусоидальных сигналов с неизвестным количеством гармоник при наличии априорных данных о частотном спектре сигнала.

Постановка задачи

Рассматривается измеряемый сигнал вида

где – количество гармоник сигнала, – общее смещение, – частота, – амплитуда, – начальная фаза -й гармоники. Константы , и являются неизвестными. Здесь и далее символ означает номер гармоники .

Допущение 1. Для из гармоник сигнала, где , предполагаются известными нижняя и верхняя границы частоты , удовлетворяющие следующим соотношениям

,

,

,

где .

Допущение 2. Нижние границы частоты и амплитуды сигнала (1) известны: и .

Амплитуда гармоники может принимать нулевое или пренебрежимо малое значение, что означает отсутствие указанной компоненты в конкретной реализации сигнала.

Цель работы может быть сформулирована как решение задачи синтеза устройства оценивания параметров сигнала, обеспечивающего для гармоник с ненулевой амплитудой , частотой удовлетворяющим ограничениям -, произвольным и получение оценок частоты , амплитуды и фазы , удовлетворяющих условиям

,

,

,

где – текущая оценка частоты ; – текущая оценка амплитуды ; – текущая оценка фазы ; , и – некоторые малые константы, зависящие от параметров сигнала и схемы оценивания.

Оценивание частоты гармоник сигнала

Рассмотрим схему оценивания -й гармоники входного сигнала. Параметры остальных гармоник могут быть оценены аналогичным образом. Для сокращения записи и, так как рассматривается лишь одна гармоника, у вновь вводимых величин индекс опущен.

При выполнении условия допущения 1, для выделения -й гармоники сигнала может быть использован полосовой линейный фильтр с некоторой передаточной функцией

,

где – оператор Лапласа.

Параметры фильтра выбираются согласно следующим соотношениям: нижняя граница частоты пропускания , верхняя граница частоты пропускания , нижняя граница частоты задержания , верхняя граница частоты задержания .

Так как фильтр линейный, то для выходной переменной линейного фильтра справедливо выражение

,

где – общее смещение сигнала , и – амплитуды гармоник на выходе фильтра, и – фазы гармоник на выходе фильтра, – экспоненциально затухающая функция времени с экспоненциально затухающими производными.

Для амплитуд сигнала после прохождения линейного фильтра можно записать соотношение

.

Неравенство в общем случае может не выполняться при амплитудах разного порядка, тогда следует обеспечить его выполнение путем выбора параметров линейного фильтра. Аналогичным образом может быть рассмотрено соотношение

.

Перепишем выражение в виде

,

где – гладкая дифференцируемая функция

.

С учетом соотношения можно записать

Лемма 1. Для фильтра и входного сигнала вида справедливо соотношение

где , =, – экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными, и – соответствующие производные выходного сигнала фильтра

,

,

Следуя [12], представим адаптивную схему оценивания частоты в сигнале в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть алгоритм оценивания имеет вид

,

,

,

где – положительный параметр.

Тогда существует такие , и что

,

Доказательство теоремы 1. Оцениваемым параметром является , на основе, которой можно получить оценки частоты используя соотношение. С учетом леммы 1 рассмотрим производную ошибки оценивая

Рассмотрим функцию Ляпунова

где положительная функция, ограниченная сверху и снизу, которая будет определена далее при анализе. Дифференцируя, имеем

.

Из найдем производную выходного сигнала фильтра

,
где – экспоненциально затухающая функция времени. Откуда

.

Подставляя в, имеем

.

Выберем функцию так, что

.

Достаточно воспользоваться частным решением в виде

,

где определяется следующим выражением

Так как функция зависит от ограниченных синусоидальной и экспоненциальной составляющих, то она ограничена . Откуда нетрудно получить границы в виде . Следовательно, функция Ляпунова определена.

Подстановка в (27) дает

,

где .

Используя лемму сравнения [5] для, получим

,

где откуда имеем

.

Из и получим

.

На основе неравенства получим выражение для ошибки оценивания частоты в виде, где , и . Теорема 1 доказана.

Алгоритм оценивания амплитуд и фаз сигнала

После получения оценок частот гармоник входного сигнала , для улучшения качества получаемых оценок амплитуды и фазы вводится дополнительный полосовой фильтр с передаточной функцией

,

где параметр определяет ширину полосы пропускания фильтра; определяется согласно правилу на основе допущения 2:

Выходы фильтра определяются согласно следующим выражениям

.

Из основного тригонометрического тождества получим соотношение для амплитуды гармоники на выходе фильтров, с учетом передаточных коэффициентов используемых фильтров выражение примет вид:

.

В силу присутствия в выходном сигнале кроме рассматриваемой гармоники остальных гармоник сигнала, нижняя граница амплитуды может быть использована для выявления отсутствия компоненты сигнала, подлежащей оцениванию с использованием фильтра.

Фаза гармоники может быть оценена согласно следующему выражению

,

где – оценка фазового сдвига вносимого фильтрами.

Заключение

В работе рассмотрена возможность применения предложенного в [1] алгоритма оценивания параметров гармонического сигнала в задаче получения оценок параметров сигналов с неизвестным количеством гармоник, при наличии априорных данных о частотном спектре сигнала. Дальнейшее направление исследований будет посвящено развитию подхода на случай отсутствия априорных данных о частотном спектре сигнала и рассмотрению влияния аддитивного шума и ошибок измерений на получаемые оценки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адаптивный алгоритм компенсации параметрически неопределенного смещенного гармонического возмущения для линейного объекта с запаздыванием в канале управления // Автоматика и Телемеханика. 2010. №8. С 62-78.

2. Carnevale D., Astolfi A. A minimal dimension observer for global frequency estimation // American Control Conference. 2008. P.

3. Hou M. Parameter Identification of Sinusoids // IEEE Transactions on Automatic Control. 2012. Vol. 57, P. 467–472.

4. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. Vol. 46. P. 967-972.

5. Marino R., Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1324–1328.

6. Obregon-Pulido G., Castillo-Toledo B., Loukianov A. A. Globally Convergent Estimator for n–Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 857–863.

7. Sharma B. B., Kar I. N. Design of Asymptotically Convergent Frequency Estimator Using Contraction Theory // IEEE Transactions on Automatic Control. 2008. Col.53. №.8. P. .

8. Stoica P., Li H. B., Li J. Amplitude estimation of sinusoidal signals: Survey, new results, and an application // IEEE Transactions on Signal Procesing. 2000. Vol. 48. P. 338–352.

9. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1188–1193.

Текст доклада согласован с научным руководителем.

Бобцов А.А., д.т. н., НИУ ИТМО

[1] Научный руководитель – (д. т.н., профессор, НИУ ИТМО)