Тема 2. Временные ряды (стр. 3 )

Сглаживание временных рядов. Сглаживание временного ряда, т. е. замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные данные является простым методом выявления тенденции развития. Соответствующее преобразование называется фильтрованием.

Сглаживание временных рядов проводится по следующим причинам:

В ряде случаев при графическом изображении временного ряда тренд прослеживается недостаточно отчетливо. Поэтому ряд сглаживают, на график наносят сглаженные значения и, как правило, тенденция проявляется более четко. Некоторые методы анализа и прогнозирования требуют в качестве предварительного условия сглаживание временного ряда. Сглаживание временных рядов используется при устранении аномальных наблюдений. Методы сглаживания в настоящее время применяются для непосредственного прогнозирования экономических показателей.

Существующие методы сглаживания делят на две группы:

Методы первого типа (аналитические). Сглаживание с использованием кривой, проведенной относительно фактических значений ряда так, чтобы эта кривая отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от мелких незначительных колебаний. Такие кривые называют еще кривыми роста, и они используются главным образом для прогнозирования экономических показателей. Методы механического сглаживания. При использовании этих методов производится сглаживание каждого отдельного уровня ряда с использованием фактических значений соседних с ним уровней. Для сглаживания временных рядов часто используются методы простой и взвешенной скользящей средней, экспоненциального сглаживания.

Метод простой скользящей средней.

1. Согласно этому методу определяется количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания. При этом используют правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний, возникающих, например, из-за автокорреляций уровней.

2. Вычисляется среднее значение наблюдений, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при условии, что m - нечетное число, по формуле:

, (3.4.8)

где m - количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

При нечетном m значение параметра значение параметра p вычисляют следующим образом:

- среднее значение наблюдения , которое одновременно является сглаженным значением наблюдения, находящегося в центре интервала сглаживания при нечетном m.

p - количество наблюдений, стоящих по разные стороны от сглаживаемого.

Первым сглаженным будет наблюдение , где t=p+1.

3. Интервал сглаживания сдвигается на один член вправо и по формуле (3.4.8) находится сглаженное значение для t+1 наблюдения. Затем снова производят сдвиг и т. д.

Процедура продолжается до тех пор, пока в интервал сглаживания не войдет последнее наблюдение временного ряда.

Недостатком метода является невключение в процедуру сглаживания первых и последних p наблюдений временного ряда.

Метод простой скользящей средней возможно использовать, если графическое изображение ряда напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика развития исследуемого процесса. Однако когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и к тому же желательно сохранить мелкие волны, использовать для сглаживания ряда метод простой скользящей средней нецелесообразно, поскольку при этом:

выравниваются и выпуклые, и вогнутые линии;

происходит сдвиг волны вдоль ряда;

изменяется знак волны, т. е. на кривой, соединяющей сглаженные точки, вместо выпуклого участка образуется вогнутый и наоборот. Последнее имеет место в случаях, когда интервал сглаживания в полтора раза превышает длину волны.

Таким образом, если развитие процесса носит нелинейный характер, то применение метода простой скользящей средней может привести к значительным искажениям исследуемого процесса. В таких случаях более надежным является использование других методов сглаживания, например, метода взвешенной скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней.

Этот метод отличается от предыдущего тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка. Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу наименьших квадратов.

Если сглаживание производится с помощью полинома (многочлена) второго или третьего порядка, то веса берутся следующие:

для m=5 - веса (-3; 12; 17; 12; -3);

для m=7 - веса (-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2) .

Особенности весов:

1) симметричны относительно центрального члена;

2) сумма весов с учетом общего множителя равна 1.

Недостаток метода: первые и последние p наблюдений ряда остаются не сглаженными.

Метод экспоненциального сглаживания.

Рассмотренные методы простой и взвешенной скользящей средней не дают возможности сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так важно по сравнению с последними наблюдениями, особенно если целью исследования является прогнозирование развития процесса. Есть методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных. К их числу относится метод экспоненциального сглаживания.

Особенность этого метода заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение. Сглаженное значение наблюдения ряда St на момент времени t определяется по формуле:

St = ayt + (1-a) St-1, (3.4.9)

где a - сглаживающий параметр, характеризующий вес выравниваемого наблюдения, причем 0<a<1.

Величину St-1 в формуле (3.4.9) можно представить в виде суммы фактического значения уровня yt-1 и сглаженного значения предшествующего ему наблюдения St-2, взятых с соответствующими весами. Процесс такого разложения можно продолжить для членов St-2, St-3 и т. д. В результате получится следующее выражение:

St = ayt + (1-a) St-1 = ayt + (1-a) {ayt-1 + (1-a) St-2} =

= ayt + a(1-a) yt-1 + (1-a)2 {ayt-2 + (1-a) St-3} = (3.4.10)

= ayt + a(1-a) yt-1 + (1-a)2 yt-2 + ... + a(1-a)k yt-k +...+ (1-a)ty0,

в котором среднее сглаженное значение является комбинацией всех предшествующих уровней ряда. Величина y0 характеризует начало условия процесса.

Формулу (3.4.10) можно переписать короче через знак суммы:

St = a å (1-a)k yt-k + (1-a)t y0 (3.4.11)

где 0 £ k £ t-1 - число периодов отставания от момента t.

Относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение (отсюда произошло название этого метода сглаживания).

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают следующие затруднения: выбор сглаживающего параметра a и определение начального условия y0. От численного значения параметра a зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра a, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

Задачу выбора параметра y0, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: если есть данные о развитии процесса в прошлом, то их среднее значение можно принять в качестве y0, если таких сведений нет, то в качестве y0 используют исходное (первое) значение наблюдения временного ряда y1.

Расчет показателей развития динамики экономических процессов.

Традиционными показателями, характеризующими развитие экономических процессов, были и остаются показатели роста и прироста.

Для характеристики динамики изменения уровней временного ряда используются следующие показатели, формулы расчета которых приведены в табл.3.****.

Табл.3.4.6. Основные показатели динамики.

	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста
Цепной
Базисный
Средний	САП =

Показатель среднего абсолютного прироста используется для построения простейших так называемых наивных прогнозов.

Прогноз на k - шагов вперед на момент вре­мени t=n+1получается по формуле:

Этот способ является очень привлекательным для многих экономис­тов и практических работников статистических органов ввиду своей простоты и легкости реализации. Однако, кроме указанных достоинств он имеет несколько существенных недостатков. Во-первых, все факти­ческие наблюдения являются результатом закономерности и случайнос­ти. Следовательно, "отталкиваться" от последнего наблюдения непра­вомерно. Во-вторых, нет возможности оценить правомерность использо­вания среднего прироста в каждом конкретном случае. В-третьих, дан­ный подход не позволяет сформировать интервал, внутрь которого по­падет прогнозируемая величина и указать степень уверенности в этом. В этой связи данный подход используется лишь как первый ориентир будущего развития или же в условиях очень малого объема наблюдений при невозможности использования описываемых ниже статистических ме­тодов.

Автокорреляция во временных рядах.

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции, которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т. п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При этом длину временного смещения называют обычно лагом (t).

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле

(3.4.12)

Порядок коэффициентов автокорреляции определяет временной лаг: первого порядка (при t= 1), второго порядка (при t= 2) и т. д.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, третьего и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией. Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1, но из стационарности следует, что = -. График автокорреляционной функции называется корреллограммой.

Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:

(3.4.13)

Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34. Тогда коэффициент автокорреляции равен:

=КОРРЕЛ(А1:А33;А2:А34).

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы поз­воляет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограм­мы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля­ции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенден­цию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорре­ляции порядка t, то ряд содержит циклические колебания с перио­дичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициен­тов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреля­ционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компонен­ты (f(t)) и сезонной компоненты (S).

Пример 3.4.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта

Валовой внутренний продукт (ВВП) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 3.4.7). График этого ряда приведен на рис.3.4.6.

Рис.3.4.6.

Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.

Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 3.4.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 3.4.7).

Табл. 3.4.7. ВВП[4]

Дата	4кв.1994	1кв.1995	2кв.1995	3кв.1995	4кв.1995	1кв.1996	2кв.1996	3кв.1996	4кв.1996	1кв.1997
ВВП	225.00	235.00	325.00	421.00	448.00	425.00	469.00	549.00	565.00	513.00
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Дата	2кв.1997	3кв.1997	4кв.1997	1кв.1998	2кв.1998	3кв.1998	4кв.1998	1кв.1999	2кв.1999	3кв.1999
ВВП	555.00	634.00	641.00	551.00	602.00	676.00	801.00	901.00	1102.00	1373.00
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Дата	4кв.1999	1кв.2000	2кв.2000	3кв.2000	4кв.2000	1кв.2001	2кв.2001	3кв.2001	4кв.2001	1кв.2002
ВВП.	1447.00	1527.00	1697.00	2038.00	2044.00	1922.00	2120.00	2536.00	2461.00	2268.00
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Дата	2кв.2002	3кв.2002	4кв.2002	1кв.2003
ВВП	2523.00	3074.00	2998.00	2893.10
№	31	32	33	34

Табл. 3.4.8.