Вариант 4 (стр. 1 )

Вариант 4.

Задача №1. Предприятие выпускает два вида продукции используя три вида ресурсов. Приняты обозначения:

А – матрица норм затрат сырья;

В – запасы ресурсов;

С – прибыль на единицу продукции

С помощью следующих данных составить математическую модель. Определить план выпуска изделий, обеспечивающих максимальную прибыль с помощью графического метода.

Решение.

Обозначим через -объем выпуска продукции 1, а через - объем выпуска продукции 2. Целевая функция задачи выражает требование получения максимальной прибыли. Она имеет вид:

Ограничения задачи выражают требование допустимого расхода ресурсов. Выглядят они так.

Построим область возможных решений, полученной задачи. Для этого найдем области плоскости , удовлетворяющие каждому неравенству, и выделим область, все точки которой удовлетворяют всем неравенствам системы (заштрихованная область). Получим область возможных решений.

Построим вектор нормали к линиям уровня функции цели. Это линии, на которых функция цели постоянна. Функция цели принимает максимальное значение в точке А. Найдем координаты этой точки, которая лежит на пересечении двух прямых. и . Решим систему этих уравнений.

Таким образом, имеем оптимальный план закупки кормов , при котором прибыль будут максимальной

Задача №2. Используя данные предыдущей задачи, определить план выпуска изделий, обеспечивающих максимальную прибыль с помощью симплексного метода.

Решение.

Решим задачу симплекс методом, для этого приведем ее к каноническому виду, вводя дополнительные переменные

Перепишем функцию цели так

Занесем данные в таблицу Гаусса и выполним симплексные преобразования. Разрешающий элементы на каждом шаге преобразований выделены жирным шрифтом и цветом.

	ХБ	А1	А2	А3	А4	А5	А0	min
Исходная	Х3	4	2	1	0	0	32	16
система	Х4	4	6	0	1	0	48	8
	X5	0	10	0	0	1	60	6
	Z	-4	-8	0	0	0	0	0
1-е	Х3	4	0	1	0	-0.2	20	5
преобразование	Х4	4	0	0	1	-0.6	12	3
	X2	0	1	0	0	0.1	6
	Z	-4	0	0	0	0.8	48	0
2-е	Х3	0	0	1	-1	0.4	8
преобразование	Х1	1	0	0	0.25	-0.15	3
	X2	0	1	0	0	0.1	6
	Z	0	0	0	1	0.2	60

Среди значений индексной строки последней таблицы нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Оптимальный план задачи имеет вид: . Целевая функция при этом равна 60

Задача №3.Транспортная задача открытого типа.

В регионе расположено несколько НГДУ, обеспечивающих определённые объёмы добычи нефти, которая поступает в НПЗ, расположенные в различных регионах страны и имеющие различные производственные мощности. В силу разноудалённости потребителей от НГДУ затраты на транспортировку нефти различаются.

В задаче необходимо составить план закрепления поставщиков за потребителями, который учитывает, по возможности, наиболее полное удовлетворение потребителей НПЗ и при этом обеспечивает минимальные затраты на транспортировку нефти.

Введены условные обозначения:

i – индекс НГДУ, i=1,m

m – общее число НГДУ в регионе

j – индекс НПЗ, j=1,n

n – общее число НПЗ.

Известно:

- объёмы добычи нефти в i-ом НГДУ, тыс. т.;

- потребность j-го НПЗ в нефти, тыс. т.;

- издержки на транспортировку 1000 т. нефти, тыс. руб.

	130	120	160	140	180	100
320	7	8	5	8	4	8
340	9	5	7	2	6	7
370	9	4	6	7	9	5

Модель задачи. В качестве неизвестных задачи принимаются переменные , означающие объём перевозок нефти i-го НГДУ к j-му НПЗ. В качестве коэффициентов целевой функции выступают издержки на перевозку 1000 т. нефти. Целевая функция минимизируется. Модель задачи записывается в общем виде, при этом необходимо учесть, что по исходным данным задача является открытой.

Решение задачи. Данную транспортную задачу необходимо решить методомпотенциалов. Поскольку по исходным данным имеем открытую задачу, то до начала её решения следует получить закрытую модель. Первоначальный опорный план поставок следует построить на основе метода северо-западного угла.

Решение. Транспортная задача является открытой, так как запасы больше потребностей на 200 един. Приведем задачу к закрытому типу, добавив фиктивного потребителя В7

								Запасы
		7		8		5		8		4		8		0	320
		9		5		7		2		6		7		0	340
		9		4		6		7		9		5		0	370
Потребности	130	120	160	140	180	100	200

Найдем опорный план по правилу северо-западного угла