§9.Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производных.
(9.1)
(9.2)
Пример 9.1.
Для задачи Коши добавим условие 
(одного уже не достаточно)
Пример 9.2
, 
Методы решения.
1.
2. 
метод введения параметра.
3. 
метод введения параметра.
Это равенство справедливо в силу инвариантности формы первого дифференциала.
Уравнение Лагранжа.
метод введения параметра.
Уравнение Клеро.
Частный случай уравнения Лагранжа. Но при решении методом ввода параметра возникает деление на ноль.
Лекция № 7.
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
Теорема 9.1.
Пусть 
задана и непрерывна в некоторой окрестности 
точки 
. Пусть также 
, 
непрерывны в этой окрестности и выполняется условия:
1)
2) 
Тогда существует решение дифференциального уравнения (9.1), определенное на отрезке 
, удовлетворяющее условиям (9.2), (9.3).
Если дополнительно 
, непрерывная в , то это решение единственно.
Доказательство.
По теореме о неявной функции при выполнении условий непрерывности и 
, где 
- непрерывная функция, заданная в некоторой окрестности 
точки 
и такая, что 
, - единственная.
Из теоремы Пеано получаем, что существует решение, определенное на .
- непрерывная функция, следовательно выполняется условие Липшица по переменной 
. Значит решение единственно.
§10.Неравенство Гронуолла.
(10.1)
Теорема 10.1 (лемма Гронуолла)
Пусть 
, удовлетворяющая дифференциальному неравенству (10.1), где 
.
Тогда справедливо неравенство Гронуолла:
(10.2)
Доказательство.
Решение дифференциального неравенства оценивается сверху решением дифференциального уравнения.
Проинтегрируем от 
до 
(текущей точки):
Следствие 10.1
Пусть неотрицательная функция удовлетворяет неравенству
, где 
(10.3)
Тогда функция 
удовлетворяет неравенству Гронуолла (10.2).
Доказательство.
Фиксируем точку 
. Рассмотрим 
. Могут быть два варианта.
1) 
- очевидно, ведь правая часть неотрицательна.
2) 
2а) 
2б) 
2а)
на 
2б) Пусть 
, но 
Используя предельный переход, можем включить точку 
в отрезок 
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§1.Нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка.
(1.1)
заданы и непрерывны в некоторой области 
- искомые функции.
Введем вектор-функцию 
Лекция №8.
(1.1)
Чтобы задать задачу Коши:
, (1.2)
Если 
непрерывна в , подразумевается применимость этого свойства по всем компонентам вектор-функции.
Определение.
Вектор-функция 
, определенная на промежутке 
, называется решением системы (1.1), если
1) 
2) 
3) 
Лемма 1.1
Вектор-функция - является решением задачи Коши (1.1), (1.2) на 
тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения 
(1.3)
Пусть последовательность 
непрерывна на 
вектор-функций.
Определение.
Последовательность равномерно ограничена, если 
Определение.
Последовательность называется равностепенно непрерывной, если 
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна 
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна для всех 
.
Теорема 1.1 (Лемма Асколи-Арцелла)
Если последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на , то из нее можно выделить подпоследовательность
Доказательство.
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. В силу леммы Асколи-Арцелла для последовательности скалярных функций:
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна
На 
- том этапе выбираем подпоследовательность - ных компонент, 
Теорема 1.2 (Теорема Пеано)
Пусть 
. Тогда задача Коши (1.1), (1.2) имеет решение, определенное на отрезке
Доказательство.
- замкнутый шар 
, 
- радиус. 
(1.4)
Вопрос: не выйдем ли за границу области ?
- равномерно ограниченна и равностепенно непрерывна. По лемме Асколи-Арцелла
-фиксир.
Устремим 
. Тогда
является решением (1.3), а значит и решением (1.1), (1.2).
Единственность решения задачи Коши.
Определение.
удовлетворяет в локальному условию Липшица по переменной , если 
окрестность 
и постоянная 
такие, что
Теорема 1.3.
Пусть 
. Если удовлетворяет в локальному условию Липшица по переменному 
, то решение задачи Коши (1.1), (1.2) единственно.
Доказательство.
Пусть существуют два различных решения на промежутке 
и 
.
на 
Неравенство Гронуолла:
на
Получено противоречие.
Лекция №9.
(1.1)
(1.2)
Когда правая часть удовлетворяет локальному по условию Липшица, то для случая одного уравнения:
Лемма 1.1
Пусть 
. Тогда 
Доказательство.
Пусть 
Лемма 1.2
Пусть 
. Тогда для всех 
справедлива формула конечных приращений для вектор-функций:
Доказательство:
Утверждение 1.1
Если у существует матрица Якоби 
, то удовлетворяет локальному в условию Липшица (непрерывность в матрице подразумевает непрерывность всех ее компонент).
Доказательство.
- замкнутая окрестность. В этой окрестности любая непрерывная функция ограничена. 
Продолжение решений
Все определения и утверждения, относящиеся к продолжению решений, имеют место и для системы (1.1). Следует лишь заметить
§2.Сведение систем дифференциальных уравнений произвольного порядка к системам дифференциальных уравнений первого порядка.
(2.1) 
непрерывны в 
- искомые функции.
Определение.
Решение системы
1. 
2. 
3. Функции 
обращают уравнения (2.1) в тождества.
При 
получаем нормальную систему дифференциальных уравнений первого порядка
Введем новые функции
(2.2)
нормальная система ДУ I порядка
решение (2.1)
решение (2.2)
(2.1) (2.2)
(2.3)
(2.2)+(2.3)=задача Коши. Для (2.1) задача Коши ставится так:
(2.4)
(2.2)+(2.3)(2.1)+(2.4)
Теорема 2.1. (Теорема Пеано)
Пусть 
и 
Тогда у задачи Коши (2существует решение, определенное на некотором отрезке
Доказательство проводится сведением к системе уравнений первого порядка и применении теоремы Пеано.
Теорема 2.2
Пусть выполняются условия теоремы 2.1 и удовлетворяет локальному в условию Липшица по переменной . Тогда решение задачи Коши (2.1), (2.4) единственно.
Лекция №10.
§3.Уравнения, допускающие понижение порядка.
(3.1)
1) не зависит от 
2) не зависит от
-искомая функция.
3) однородна относительно 
Получили дифференциальное уравнение порядка 
относительно переменной 
. 
.
4) удовлетворяет обобщенному условию однородности.
Далее решаем по 2).
5) Уравнение имеет вид:
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
, 
, 
(1.1)
§1.Следствие из общей теории нормальных систем.
непрерывна на 
. 
непрерывна на .
(1.2)
Задача Коши (1.1), (1.2).
- непрерывна, значит работает теорема Пеано о существовании решения.
непрерывна, следовательно, выполняется условие Липшица.
Теорема 1.1
Решение задачи Коши (1.1), (1.2) существует, единственно и определено на .
Нельзя продолжить решение вправо.
§2.Однородные системы. Определитель Вронского.
Лемма 2.1.
Если 
- решения системы (2.1), то 
- решения системы (2.1).
Доказательство.
.
Определение.
- система вектор-функций, заданных на 
. Эта система называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация
(*) 
на , и называется линейно независимой, если (*) выполняется только для 
.
Определение.
Определителем Вронского системы вектор-функций 
называется 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
