Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 1 )

Лекции по дифференциальным уравнениям

3 семестр

Лектор

Лекция № 1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Определение 1.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-ого порядка называется соотношение вида между независимой переменной , искомой функцией и её производными .

– искомая функция.

Определение 2.

Решение ДУ (1) – функция , подстановка которой и её производных, обращает его в тождество.

График решений ДУ называется интегральной кривой.

Пример.

1.

2.

Определение 3.

Общее решение ДУ – множество всех его решений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

§1. ДУ I порядка, разрешенные относительно производной.

задана и непрерывна в некоторой области G плоскости Оxy.

Определение 4.

Пусть , тогда промежутком .

Определение 5.

Функция , определённая на , называется решением ДУ (1.1), если:

1. 

2. 

3. 

Замечание.

Область определения решений – связанное множество.

 

Пример.

Понятие о поле направления.

Метод изоклины.

Изоклина – кривая

 

Пример.

§1. ДУ I порядка в симметрической форме.

(2.1)

Лекция №2

Если в некоторой окрестности точки функция

, то из

. (2.2)

Здесь функция зависит от и при подстановке в уравнение (2.1) получаем верное тождество.

А если , то

. (2.3)

В этом случае функция зависит от .

Уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Уравнение (2.1) называется уравнение в полных дифференциалах, если существует функция для которой левая часть уравнения (2.1) является первым дифференциалом: .

Это будет тогда, когда , а .

Пример.

.

Теорема 2.1

Пусть (2.1) – уравнение в полных дифференциалах. Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (2.1) имеет вид:

, (2.4)

где – произвольная постоянная.

Доказательство.

Пусть в окрестности . Пусть также – решение дифференциального уравнения (2.1), т. е. уравнение (2.2).

.

Обратно.

Пусть некоторая гладкая функция удовлетворяет уравнению (2.4) для

=> (2.2) => является решением (2.1).

Случай, когда доказывается аналогично.

Теорема 2.2

Пусть непрерывны в окрестности некоторой точки .

Для того, чтобы уравнение (2.1) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Пусть (2.1) является уравнением в полных дифференциалах и существует функция . Тогда ; .

Т. к. и непрерывны, то =>

Обратно.

Пусть . Тогда положим .

. Функции и непрерывны, значит непрерывно дифференцируема и .

Замечание.

Иногда дифференциальные уравнения (2.1) не являются уравнениями в полных дифференциалах. Однако, найдется функция такая, что при умножении на (2.1)

Если это так, тогда – интегрирующий множитель.

§3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделенными переменными.

По теореме (2.1) – общий интеграл уравнения (3.1), который может быть записан в виде:

Уравнения с разделяющимися переменными.

Можем свести это уравнение к виду:

.

Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

1)

Введем функцию

2) Однородные уравнения.

, , где и однородные функции одной степени однородности равной .

– однородная функция степени .

Пример.

,

Вводится замена

Возможны дополнительные решения!

Если , то

Если , то

3)

Обозначим и .

Лекция 4. Задача Коши

Теорема 5.2 (Теорем Пеано)

Пусть и . Тогда у задачи Коши (5.1) и (5.2) существует решение, определенное на некотором отрезке .

Доказательство.

Подставляя в (5.1) получаем некоторый коэффициент

Получим некоторую ломаную (ломаную Эйлера) – некоторое приближение к искомому решению .

Заметим, что ломаная Эйлера не выйдет из области , в силу построения диагоналей AC и BD: .

,

– равномерно ограничена на (одной константой)

Неравенство гарантирует равномерную непрерывность

В силу леммы Асколи-Арцелла на

Докажем, что и есть решение задачи Коши. Фиксируем . Устремляем

Стремится ли к нулю величина

равномерно непрерывна на S:

равномерно

Переходя к пределам получаем равенство:

Аналогичные рассуждения проводим для отрезка []. Получим, что - решение задачи Коши (5.1), (5.2)

§6. Единственность решения задачи Коши.

(6.1)

(6.2)

Задача Коши (6.1), (6,2) имеет единственное решение, если любые два ее решения, определенные на одном промежутке тоже совпадают. Непрерывность не гарантирует единственность.

Пример:

В качестве решения могут выступать следующие функции:

, , , и т. д.

Лекция № 5. Единственность решения задачи Коши.

Определение.

Пусть , . Если удовлетворяет локальному в условию Липшица по переменной , если

и для

Теорема 6.1.

Пусть , . Если удовлетворяет локальному в условию Липшица по переменной , то решение задачи Коши (6.1), (6.2) единственно.

Доказательство.

Предположим, что существуют два различных решения задачи Коши, определенные на

Графики и принадлежат

(*)

При

Противоречие.

Утверждение.

Если , то удовлетворяет условию Липшица по переменной

Доказательство.

. - открытое со своей окрестностью.

Определение.

удовлетворяет локальному в условию Осгуда по переменной , если и , где - диаметр окрестности , , и при этом выполняется неравенство:

Теорема 6.2 (теорема Осгуда)

Пусть , . Если удовлетворяет локальному в условию Осгуда по переменной , то решение задачи Коши единственно.

Доказательство.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 6.1 до (*).

§7.Продолжение решений.

(7.1)

- решение уравнения (7.1), определенное на некотором промежутке

Определение.

называется продолжением решения вправо, если определена на промежутке является решением дифференциального уравнения (7.1) и

Аналогично вводится определение продолжения решений влево.

Определение.

Решение дифференциального уравнения, которое не может быть продолжено ни влево, ни вправо, называется полным.

Утверждение 7.1.

Пусть - решение дифференциального уравнения (7.1), определенная на промежутке . Тогда решение может быть продолжено вправо.

Доказательство.

, определенное на

В точке должна существовать производная.

Замечание.

Аналогичные рассуждения можно провести для случая продолжения решения влево.

Из доказанного следует, что на отрезке можно продлить в обе стороны.

Пример 1.

Полное на .

Пример 2.

Полное на

Лекция № 6.

Теорема 7.1

Пусть - решение дифференциального уравнения , определенное на промежутке , где . Для того, чтобы решение нельзя было продолжить вправо необходимо и достаточно, чтобы было верно, по крайней мере, одно из следующих свойств решения:

1)

2)

Примеры, приведенные выше, иллюстрируют эти свойства.

§8.О гладкости решений дифференциального уравнения.

(8.1)

- решение, определенное на

на (8.2)

Теорема 8.1

Пусть - решение дифференциального уравнения (8.1), определенное на . Если , где , то .

Доказательство.

…

В итоге

Следствие.

Если правая часть дифференциального уравнения является бесконечно дифференцируемой, то решение тоже является бесконечно дифференцируемым.