Утверждение.
Если система 
линейно зависима, то 
.
Доказательство.
.
Теорема 2.1
Пусть 
- система решений однородной системы (2.1). Если 
, 
, то система - линейно зависима и на 
.
Доказательство.
- линейно зависима. Следовательно, существует нетривиальный набор 
По лемме 2.1
. Это означает, что вектор-функции линейно зависимы.
- система решений (2.1)
Пример.
- линейно независимая система, но . Это получилось, т. к. не существует системы дифференциальных уравнений, для которой 
и 
были бы решениями.
Лекция №11.
§3.Формула Остроградского-Лиувилля.
Лемма 3.1
Справедлива формула дифференцирования определителя:
Доказательство.
Таким образом получили формулу (3.1).
Теорема 3.1
Пусть - есть вектор-функции, являющиеся решением однородной системы 
. Тогда справедлива формула Остроградского-Лиувилля:
(3.2)
Доказательство.
Посчитаем определитель Вронского.
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем и приходим к формуле:
§4.Фундаментальная система решений. Структура общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Определение.
Система из 
линейно независимых вектор-функций (4.2), которые являются решениями системы (4.1), называется фундаментальной системой решений системы (4.1). Тогда матрица (4.3) , составленная из системы ФСР, называется фундаментальной матрицей.
Теорема 4.1
ФСР существуют.
Доказательство.
Рассмотрим систему (4.1) на некотором интервале 
и зафиксируем . Рассмотрим базис в 
, состоящий из функций 
.
- решение, соответствующее 
-той задаче Коши.
Определитель Вронского этих решений в т. 
:
(в силу линейной независимости векторов)
Воспользуемся свойством формулы Остроградского-Лиувилля, именно: раз 
, то 
.
Для того, чтобы решения были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы 
.
- линейно независимы, значит образуют фундаментальную систему решений.
Чтд
Теорема 4.2. Об общем решении однородной системы.
Пусть (4.2) – ФСР системы (4.1).
Тогда любое решение 
системы (4.1) можно представить в виде линейной комбинации
, (4.4)
где 
- произвольные константы.
С другой стороны, любая функция вида (4.4) является решением.
Доказательство.
Фиксируем . Пусть - произвольное решение системы (4.1).
Вычислим значения
Они ФСР, значит вектора линейно независимы, следовательно, образуют базис в пространстве . 
можно разложить по этому базису:
Рассмотрим функцию
с найденными .
, 
.
Воспользовавшись теоремой единственности, получаем 
.
справедливо всюду на .
Обратно.
По лемме 2.1 функция (4.4)
Чтд
Рассмотрим систему (4.2)
(4.5)
Теорема 4.3
Если непрерывно-дифференцируемые вектор-функции (4.2) удовлетворяют условию (4.5), то существует система (4.1) с ФСР (4.2).
Доказательство.
То, что (4.2) образует ФСР 
. Можем посчитать правую часть. Значит 
существует и единственна.
Чтд
Замечание 4.1
Вектор-функции (4.2) 
при 
удовлетворяют системе
Если разложить этот определитель по I столбцу, то получим систему (4.1)
§5.Общее решение линейных неоднородных систем. Метод вариации постоянных.
(5.1)
Лемма 5.1
Пусть 
- частное решение неоднородной системы (5.1), а 
- решение однородной системы (4.1). Тогда 
является решением неоднородной системы (5.1).
Доказательство.
Чтд
Лемма 5.2
Пусть и 
- является решением неоднородной системы (5.1). Тогда их разность 
является решением однородной системы (4.1).
Доказательство.
Чтд
Теорема 5.1. (Об общем решении неоднородной системы)
Пусть 
- ФСР системы (4.1), а 
- частное решение неоднородной системы (5.1).
Тогда 
решение 
системы (5.1) представимо в виде линейной комбинации
(5.2)
С другой стороны, вектор-функция (5.2) удовлетворяет системе (5.1).
Доказательство.
В силу леммы 5.2 разность 
- является решением системы (4.1).
В силу теоремы 4.2 можем представить любое решение однородной системы в виде линейной комбинации
(5.2)
Обратно.
Из леммы 5.1 и теоремы 4.2 получаем, что функция вида (5.2) удовлетворяет системе (5.1)
Чтд
Из этой теоремы получаем, что общее решение линейной неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения, соответствующего однородной системе.
Лекция №12.
Метод вариации постоянных.
- ФСР
- частное решение.
- формула общего решения.
Вопрос: где взять 
?
§6.Линейное дифференциальное уравнение m-ного порядка
(6.1)
- линейный дифференциальный оператор m-ного порядка.
(6.1)
Для решения задачи Коши возведем 
(6.3)
(6.1)~(6.3)
Теорема 6.1
При любых 
решение задачи Коши (6.1), (6.2) существует, единственно и определено на всем
Рассмотрим 
- решение однородного уравнения 
(6.6)
является решением системы 
.
(6.5) линейно зависима 
(6.6) линейно зависима.
(6.5) линейно независима (6.6) линейно независима.
Определение.
Определителем Вронского системы функций 
называется 
Теорема 6.2 (О свойствах определителя Вронского)
1) Если система функций (6.5) линейно зависима, то 
на .
2) Если (6.5) – система решений однородного уравнения (6.1), то
· Либо на и система линейно зависима
· Либо 
на 
и система линейно независима
Теорема 6.3 (Формула Остроградского-Лиувилля)
Пусть - система решений однородного уравнения .
Пусть - произвольно. Тогда 
.
Определение.
Система линейно зависимых решений однородного уравнения называется ФСР.
(6.5) – ФСР для
(6.6) – ФСР для 
Теорема 6.4
ФСР для однородного уравнения существуют (их бесконечно много).
Теорема 6.5 (об общем решении однородного уравнения)
Пусть 
- ФСР. Тогда всякое решение однородного уравнения может быть представлено в виде
, (6.7)
где 
- некоторые постоянные.
С другой стороны, при любом выборе постоянных формула (6.7) дает решение однородного уравнения .
Теорема 6.6. (Об общем решении неоднородного уравнения )
Пусть - ФСР, а 
- частное решение неоднородного уравнения . Тогда всякое решение неоднородного уравнения имеет вид
(6.8)
с некоторыми постоянными .
С другой стороны, при любом выборе (6.8) дает решение неоднородного уравнения.
Метод вариации постоянных.
Лекция №13.
Восстановление уравнения по фундаментальной системе его решений.
- ФСР
- непрерывно дифференцируемы на и линейно независимы, 
Разложим определитель по первому столбцу (начиная снизу):
- решения, причем линейно независимые. Их m штук.
§7.Структура общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- постоянные
Комплексная экспонента:
- решение
Пусть А – некоторая матрица. Тогда 
- Жорданова форма матрицы А.
- циклическое подпространство, соответствующее 
.
Базис в 
(7.1)
(7.2)
(7.2) распадается на n независимых частей. Одна из них:
Упростим:
Дифференцируем:
Решение (7.1) может быть выписано в явном виде
(7.3)
Для матрицы А простой структуры (в ней 
-диагональна)
(7.4)
А – матрица с постоянными и вещественными коэффициентами.
Лекция №14.
- общее решение. (*)
В частности, для матриц простой структуры:
(*)
Когда матрица А с вещественными коэффициентами 
- решение.
Пусть А – вещественна с постоянными элементами и А простой структуры.
1) ситуация, когда 
- вещественны, имеем дело с вещественной экспонентой. порождает 
вещественные.
стало произвольным вещественным числом.
2) ситуация, когда 
, 
- вещественные числа, 
.
- произвольны и вещественны.
§8.Частные решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для правых частей специального вида.
(8.1)
Принцип суперпозиций.
Утверждение.
- является решением системы (8.1).
Доказательство.
Чтд
(8.1)
Умножим на 
:
Подсистема с номером 
:
экспонента исчезает, но степень оставшегося многочлена нарастает от 
до 
.
, если 
, если 
. 
- максимальный из размеров жордановой клетки, соответствующей .
Получен общий вид. Для поиска коэффициентов используем метод неопределенных коэффициентов.
При этом учли, что:
§9.Линейное дифференциальное уравнение порядка m с постоянными коэффициентами.
(9.1)
(9.1)
(9.2)
Лекция №15.
, 
Однородное уравнение
Раскроем определитель по последней строке
Умножим на 
:
Найдем собственные числа 
и их кратность 
(= числу жордановых клеток).
Число жордановых клеток = 
любому соответствует одна жорданова клетка.
первая компонента собственного вектора
Зададимся произвольным набором коэффициентов с
Итак,
Частное решение дифференциального уравнения для правых частей специального вида.
кратность корня.
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§1.Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости.
(1.1)
(1.2)
Будем полагать, что 
существует, единственно и определено для всех 
.
(1.3)
- возмущенное начальное значение.
Определение.
Решение 
задачи (1.1), (1.2) называется устойчивым по Ляпунову, если 
Определение.
Решение задачи (1.1), (1.2) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и 
Лекция №16.
Пример.
Проведем исследование на устойчивость
- некоторое комплексное число.
Вычтем:
, 
Итог – устойчивость по Ляпунову.
Если 
, то устойчивости по Ляпунову нет.
есть асимптотическая устойчивость.
нет асимптотической устойчивости.
Вычтем из (1:
Определение.
Точка покоя системы (1.5) называется устойчивой по Ляпунову, если 
Определение.
Точка покоя системы (1.5) называется асимптотически устойчивой, если она устойчива по Ляпунову и 
Неустойчивость:
Ограничение, накладываемое на правую часть системы (1.5): 
§2.Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
А – матрицы с постоянными элементами.
Теорема 2.1
Точка покоя системы (2.3) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда справедливо следующее свойство:
(А)
Доказательство.
Разложение Тейлора:
Предположим, что (А) выполняется:
- Если
- Если
(А)
Точка покоя устойчива по Ляпунову
Обратно:
от противного, пусть точка покоя устойчива и не выполнено свойство (А), т. е.
- Либо
Либо 
В обоих случаях устойчивости нет. Противоречие.
Лекция №17.
, А – матрица с постоянными коэффициентами.
Теорема 2.2
Для того, чтобы точка покоя 
была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы 
Доказательство.
устойчивость по Ляпунову.
Обратно:
Асимптотическая устойчивость. Пусть 
§3.Простейшие типы точек покоя
(пропущено. См. конспект)
Лекция №18.
§4.Исследование на устойчивость по первому приближению.
дифференцируема по 
(4.2)
- система уравнений первого приближения. (4.3)
Рассмотрим случай, когда матрица А не зависима, или система (4.1) стационарна в первом приближении.
(4.4)
Теорема 4.1.(Достаточное условие асимптотической устойчивости)
Пусть система (4.1) стационарна в первом приближении и выполнено условие (4.4). Если 
, то точка покоя системы (4.1) асимптотически устойчива.
Доказательство.
Замена в (4.2) 
(4.5)
Скалярно умножим (4.5) на 
Положим 
(4.6)
Устойчивость по Ляпунову.
(4.6) справедливо 
, если 
Асимптотическая устойчивость.
Чтд
Лекция №19.
Лекция №20.
Лекция №21.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
