Методические рекомендации (стр. 4 )

4. Структура экзаменационной работы и

характеристика заданий

Экзаменационная работа 2009 года состояла из 3 частей, которые различаются по назначению, а также по содержанию, сложности, числу и форме включаемых в них заданий.

В работе использовались три типа заданий: с выбором ответа из четырех предложенных вариантов (тип А), с кратким ответом в виде некоторого целого числа или десятичной дроби (тип В), с развернутым ответом, требующим записи решения поставленной задачи (тип С).

В Часть 1 включены два типа заданий: с выбором ответа (А1 – А10) и с кратким ответом (В1 – В3). В Часть 2 также включены два типа заданий: с кратким ответом (В4 – В11) и с развернутым ответом (С1, С2). В Часть 3 включены задания только с развернутым ответом (С3 – С5).

В 2009 году в структуру работы, назначение частей и числа используемых в них заданий не было внесено никаких изменений по сравнению с 2006, 2007 и 2008 годами. Несколько изменились типы двух заданий базового уровня сложности: А7 и В3. Были предложены задания, так называемого, практического содержания. Планировалось также изменение типа задания В8 повышенного уровня сложности (согласно демонстрационному варианту). Однако в КИМах 2009 года этого изменения не произошло.

Часть 1 содержала 13 заданий базового уровня (А1 – А10, В1 – В3), обеспечивающих достаточную полноту проверки овладения материалом курса математики. При выполнении этих заданий от учащегося требуется применить свои знания в знакомой ситуации.

Часть 2 включала 10 заданий повышенного (по сравнению с базовым) уровня (В4 – В11, С1, С2), при решении которых от учащегося требуется применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Содержание этих заданий отвечает как минимуму содержания средней (полной) школы, так и содержанию, предлагаемому на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому в эту часть работы включаются задания как по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов, так и по некоторым вопросам курса математики основной школы и по курсу геометрии основной и средней (полной) школы.

Часть 3 включала три самых сложных задачи (две – алгебраических – С3 и С5 и одну – геометрическую – С4), при решении которых учащимся надо применять свои знания в новой для них ситуации. При этом от учащихся требуется проанализировать ситуацию, самостоятельно разработать ее математическую модель и способ решения, привести обоснования, доказательства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение. Эти задания можно сравнить с наиболее сложными алгебраическими и геометрическими заданиями, предлагавшимися на вступительных экзаменах в вузы.

Результаты выполнения заданий Части 1 позволяют судить о достижении выпускником уровня обязательной подготовки по курсу математики 10-11 классов, наличие которой принято оценивать положительной отметкой. Результаты выполнения заданий Частей 2 и 3 позволяют осуществить последующую, более тонкую дифференциацию учащихся по уровню математической подготовки.

За верное выполнение задания с выбором ответа и задания с кратким ответом выставляется 1 первичный балл. В зависимости от полноты и правильности ответа за выполнение задания повышенного уровня с развернутым ответом из Части 2 (С1, С2) выставляется от 0 до 2 баллов, а за выполнение задания повышенного уровня с развернутым ответом из Части 3 (С3-С5) выставляется от 0 до 4 баллов.

5. Анализ результатов выполнения ЕГЭ 2009 года

по содержательным блокам

В данном разделе представлен анализ результатов выполнения отдельных заданий (10 заданий типа А и 11 заданий типа).

Опыт проведения ЕГЭ в Свердловской области показывает, что достаточно уверенно выпускники выполняют тождественные преобразования иррациональных, показательных и логарифмических выражений, решение простейших показательных и иррациональных уравнений.

Хуже обстоит дело, когда требуется провести анализ имеющихся выражений (графиков): уметь читать графики функций и иллюстрировать с помощью графика основные свойства функций; находить множество значений функций; владеть геометрическим и физическим смыслом производной. На уровне ниже планируемых результатов решались неравенства различных типов. Но самое слабое место – решение геометрических заданий. Проценты их выполнения значительно ниже, чем проценты выполнения равных им по сложности заданий из алгебры и начал анализа.

При подготовке выпускников к итоговой аттестации следует обратить особое внимание на изучение основных свойств функций и построение их графиков; на решение неравенств, в том числе, дробно – рациональных; на решение планиметрических и стереометрических задач.

При анализе для каждого задания типа А учитывался не только процент правильных ответов, но и проценты для каждого из оставшихся трех неправильных ответов, которые в литературе принято называть дистракторами. Для заданий типа В наряду с процентом правильных ответов учитывались наиболее часто встречавшиеся неправильные ответы.

ЧАСТЬ 1

А1. Упростите выражение 

1)  2)    3)  4) 

Решение. Используя свойство степени с рациональным показателем, получаем, что  

Номер правильного ответа: 2.

Процент правильных ответов: 86,6 %.

Ответ под номером 1 выбрали 1,7 % учащихся.

Ответ под номером 3 выбрали 0,9 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 8,8 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А1: 91,3 %.

Задание этого типа о вычислении частного (или произведения) двух степенных одночленов встречается во всех вариантах ЕГЭ, начиная, по крайней мере, с 2005 г. Несмотря на это, процент правильных ответов остается недостаточно высоким. Самой распространенной ошибкой была замена выражения выражением . Эту ошибку на экзамене допустили 8,8 % учащихся. Нередко встречалась ошибка .

А2. Вычислите: 

1)    2)  3)  3  4)  27

Решение. По свойству корня n-й степени получаем, что . Подкоренное выражение преобразуем к виду .

Извлекая кубический корень, найдем .

Номер правильного ответа: 3.

Процент правильных ответов: 82,5 %

Ответ под номером 1 выбрали 3,1 % учащихся.

Ответ под номером 2 выбрали 6,9 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 7,3 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А2: 85,5 %.

Это задание является тоже типичным. Самая распространенная ошибка была связана с невнимательностью учащихся, которые вместо корня n-й степени (n может принимать значения 3, 4, 5 и другие) вычисляли квадратный корень. Встречались ошибки при разложении натурального числа на простые множители.

А3. Вычислите: Вычислите:  .

1)  1  2)  2  3)  3  4)  4

Решение. Применяя формулу суммы логарифмов, получаем: =3

Номер правильного ответа: 3.

Процент правильных ответов: 80,8 %

Ответ под номером 1 выбрали 4,5 % учащихся.

Ответ под номером 2 выбрали 6,4 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 8,1 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А3: 79,0 %.

Самой распространенной ошибкой при нахождении разности (или суммы) двух логарифмов при одном и том же основании является замена ее логарифмом разности (суммы).

А3. Вычислите: Вычислите:  .

1)  1  2)  2  3)  3  4)  4

Решение. Применяя формулу суммы логарифмов, получаем: =3

Номер правильного ответа: 3.

Процент правильных ответов: 80,8 %

Ответ под номером 1 выбрали 4,5 % учащихся.

Ответ под номером 2 выбрали 6,4 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 8,1 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А3: 79,0 %.

Самой распространенной ошибкой при нахождении разности (или суммы) двух логарифмов при одном и том же основании является замена ее логарифмом разности (суммы).

А4. На рисунке изображен график одной из перечисленных ниже функций. Укажите эту функцию.

 

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Функция, заданная изображенным на рисунке графиком, имеет область определения и является возрастающей на этом множестве.

Только у двух из перечисленных функций областью определения является множество : у функции и у функции. Их них только функция возрастает на данном множестве.

Номер правильного ответа: 4.

Процент правильных ответов: 60,2 %.

Ответ под номером 1 выбрали 14,0 % учащихся.

Ответ под номером 2 выбрали 15,9 % учащихся.

Ответ под номером 3 выбрали 10,0 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А4: 65,9 %.

Задачи на исследование свойств функций, заданных их графиками, в последнее время встречались на итоговой аттестации как в традиционной форме, так и в форме ЕГЭ. И неизменно эти задания вызывали трудности. Во-первых, учащиеся путают свойство монотонности на промежутке со свойством знакопостоянства на этом же промежутке. Во-вторых, учащиеся привыкли к тому, что в качестве промежутков монотонности указываются промежутки максимальной длины. И они теряются, когда промежуток монотонности не является максимальным.

А5. Найдите производную функции  .

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Применяя правила дифференцирования и формулы для производных показательной и степенной функций, находим:

Номер правильного ответа: 2.

Процент правильных ответов: 82,5 %

Ответ под номером 1 выбрали 2,4 % учащихся.

Ответ под номером 3 выбрали 2,6 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 12,6 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А5: 87,3 %.

Опыт показывает, что производную от степенной функции учащиеся находят довольно уверенно.

А6. Найдите множество значений функции  .

1)

2) 

3)   

4) 

Решение. Множeством значений функции является отрезок . Прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получим . Следовательно, функция принимает все значения из отрезка .

Номер правильного ответа: 1.

Процент правильных ответов: 67,8 %

Ответ под номером 2 выбрали 10,4 % учащихся.

Ответ под номером 3 выбрали 18,5 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 3,3 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А6: 77,1 %.

Задачи на нахождение множества значений функции являются для учащихся трудными. Они часто путают эту задачу с задачей нахождения области определения функции. В этом задании 10.4 % учащихся указали в качестве ответа область определения. Нередко наблюдается ошибка, когда наименьшие и наибольшие значения, ограничивающие множество значений, подменяются значениями функции в точках экстремума.

А7. Хозяйка установила на утюге режим «хлопок». В этом режиме спираль утюга нагревается до 80°C, и терморегулятор размыкает цепь. Когда утюг остывает до 70°C, цепь снова замыкается, и утюг нагревается опять до 80°C, и т. д. На рисунке представлен график зависимости температуры T утюга в промежутке времени t между двумя последовательными размыканиями цепи. Сколько секунд цепь находится в разомкнутом состоянии? 

Решение. Цепь находится в разомкнутом состоянии с момента, когда "терморегулятор размыкает цепь" до момента, когда "цепь снова замыкается". За это время утюг остывает, то есть его температура понижается. Из представленного на рисунке графика изменения температуры следует, что утюг остывает в промежутке времени с момента до момента . Поэтому в разомкнутом состоянии он находится 50.

Номер правильного ответа: 3.

Процент правильных ответов: 77,5 %.

Ответ под номером 1 выбрали 6,6 % учащихся.

Ответ под номером 2 выбрали 2,1 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 13,7 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А7: 70,0 %.

Это задание приводится, например, в варианте 191 и относится к заданиям с практическим содержанием.

В других вариантах, например в вариантах 192 и 193, в этом задании требовалось дать ответ на два других вопроса: 1) через сколько секунд после замыкания цепи температура утюга достигнет заданной максимальной величины? и 2) через сколько секунд после размыкания цепи температура утюга достигнет заданной максимальной величины?

При ответе на первый вопрос учащиеся получили процент правильных ответов, примерно совпадающий с указанным. При ответе на второй вопрос учащиеся ошибочно считали, что в рассматриваемое время температура утюга должна возрастать до заданной максимальной величины. Процент правильных ответов в этом случае составил 47,4 %.

А8. Решите неравенство  .

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Решим неравенство методом интервалов. Нанесем на числовую ось числа 5 и -29, при которых числитель и знаменатель дроби соответственно обращаются в нуль. Изобразим число -29, нуль знаменателя, выколотым кружком. Поскольку неравенство строгое, то нуль числителя, число 5, также изобразим выколотым кружком. Эти числа разбивают числовую ось на три интервала,

+ o – o +

-29 5

на каждом из которых дробь, стоящая в левой части, сохраняет знак. С помощью "пробных" ("контрольных") точек найдем знак дроби в каждом интервале. Выпишем интервал, где выполняется неравенство .

Номер правильного ответа: 1.

Процент правильных ответов: 73,2 %.

Ответ под номером 2 выбрали 14,5 % учащихся.

Ответ под номером 3 выбрали 7,3 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 5,0 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А8: 76,6 %.

Основная ошибка при решении этого неравенства состоит в том, что учащиеся решают неравенство противоположного знака. Еще одна ошибка связана с неправильным определением нуля числителя и нуля знаменателя (7,3 % учащихся).

А9. Решите уравнение  .

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Решая простейшее уравнение , получим серию решений .

Поскольку  , то .

Номер правильного ответа: 2.

Процент правильных ответов: 66,4 %

Ответ под номером 1 выбрали 11,7 % учащихся.

Ответ под номером 3 выбрали 11,4 % учащихся.

Ответ под номером 4 выбрали 10,3 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А9: 67,4 %.

Решение тригонометрических уравнений вызывают традиционные трудности у учащихся. Прежде всего это связано с тем, что они не знают формул для решения простейших тригонометрических уравнений и .

А10. Решите неравенство  .

1)   2)  3)  4) 

Решение. Поскольку функция , является возрастающей, то данное неравенство равносильно неравенству , откуда . Получим ответ: .

Номер правильного ответа: 4.

Процент правильных ответов: 80,6 %

Ответ под номером 1 выбрали 11,6 % учащихся.

Ответ под номером 2 выбрали 5,2 % учащихся.

Ответ под номером 3 выбрали 2,6 % учащихся.

Процент правильных ответов в заданиях А10: 81,8 %.

Основная ошибка при решении показательных неравенств происходит при переходе к сравнению показателей степеней. Учащихся порой совершают грубую ошибку, считая функцию убывающей. После этого они получают неравенство противоположного знака.

B1. Найдите значение выражения если

Решение. Перепишем выражение в виде

Из основного тригонометрического тождества получаем, что

=.

Подставляя в это выражение значение , найдем, что .

Ответ: 1,4.

Процент правильных ответов: 44,5%.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 15,7%.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 0,6 выбрали 5,6 % учащихся,

ответ 3,0 выбрали 3,9 %,

ответ 1,0 выбрали 3,2 %,

ответ 1,2 выбрали 2,3 %,

ответ 1,08 выбрали 2,1 %.

Наибольший процент правильных ответов – 49,9 % получен при решении задания: найдите значение выражения если

Процент правильных ответов заданий В1: 47,4%.

Отметим две наиболее часто встречающиеся ошибки при выполнении такого задания. Первая ошибка связана с незнанием основного тригонометрического тождества. Вторая ошибка вызвана тем, что учащийся путает первую степень и вторую степень заданного значения тригонометрической функции. Для этого задания характерны также вычислительные ошибки.

B2. Решите уравнение .

Решение. Применяя основное (>0, >0, ), получим: , (>0). Тогда при >0 уравнение имеет вид: , , .

Ответ: 0,4.

Процент правильных ответов: 61,4 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 16,9 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 2,4 выбрали 2,8 % учащихся,

ответ 4,0 выбрали 2,1 %,

ответ 2,5 выбрали 1,4.

Процент правильных ответов заданий В2: 64,0 %.

В целом, учащиеся успешно справляются с преобразованием исходного уравнения к линейному. Основные ошибки при выполнении такого задания происходят на последнем шаге – при решении линейного уравнения.

В3. Для наружной окраски стен и двери справочного киоска с окнами только спереди (см. рисунок) необходимо приобрести краску, которая продаётся в банках по 1,5 кг. Сколько банок потребуется купить для выполнения этой работы, если средний расход краски равен 100 г на 1 м2?

Решение. Площадь фронтальной части киоска, которую необходимо окрасить, составляет м2. Площадь боковых стен киоска составляет м2. Площадь задней стены киоска составляет м2. Общая площадь для окраски равна 14,4 м2. Количество краски для выполнения этой работы равно кг. Это количество краски содержится в одной банке.

Ответ: 1.

Процент правильных ответов: 42,4 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 15,7 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 2,0 выбрали 5,9 % учащихся,

ответ 3,0 выбрали 5,6 %,

ответ 4,0 выбрали 2,7 %,

ответ 5,0 выбрали 2,2 %.

Процент правильных ответов заданий В3: 34,4 %.

Это задание практического содержания. К сожалению, составители вариантов предложили такое условие этого задания, которое трудно назвать понятным. Основная ошибка при решении этого задания состояла в том, что учащиеся считали площадь для окраски либо расположенной только на фронтальной части поверхности киоска (только спереди), либо заштрихованной на рисунке.

В4 Решите уравнение .

(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму корней).

Решение. Разложим число 12 на произведение и используем свойство степени с действительным показателем: . Вынесем за скобки общие сомножители слагаемых в обеих частях уравнения, после чего найдем: ,,. Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений: или . При этом оба уравнения имеют смысл при всех х. Решаем первое уравнение совокупности: , , откуда . Решаем второе уравнение совокупности: , , , , откуда . Таким образом, уравнение имеет два корня: или . Сумма корней уравнения равна 3,5.

Ответ: 3,5.

Процент правильных ответов: 13,5 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 33,2 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 2,0 выбрали 15,5 % учащихся,

ответ 1,5 выбрали 7,4 %,

ответ 3,0 выбрали 3,6 %,

ответ 4,0 выбрали 3,0 %.

Наибольший процент правильных ответов задания В4: 16,6 % получен при решении задания: решите уравнение . (Если имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму корней).

Процент правильных ответов заданий В4: 13,6 %.

Почти четверть учащихся (22,9%) при решении этого уравнения не смогла проделать равносильные преобразования и получить совокупность простейших показательных уравнений, хотя при этом правильно нашла один из двух корней.

В5. Функция у=f(x) определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной. Укажите число точек максимума функции у=f(x) на промежутке . (Вариант 191).

Решение. Из приведенного на рисунке графика производной функции следует, что в трех точках интервала .

Левее двух из этих точек производная положительна, а правее – отрицательна. То есть, при переходе через каждую из этих двух точек производная меняет знак с «+» на «-». На основании достаточных условий экстремума функции в точке заключаем, что это точки являются точками максимума. Третья точка, в которой , является точкой минимума.

Ответ: 2.Процент правильных ответов: 48 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 10,7 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 3,0 выбрали 20,9 % учащихся,

ответ 1,0 выбрали 12,8 %,

ответ 4,0 выбрали 4,4 %.

Наибольший процент правильных ответов задания В5: 50,6 % получен при решении задания варианта 199.

Процент правильных ответов заданий В5: 43,5 %.

Задания, в которых нужно сделать заключение о точках экстремума или характере монотонности функции на основании изображенного на рисунке графика производной этой функции, встречаются практически во всех заданиях ЕГЭ последних лет. Типичной является и основная ошибка, допускаемая учащимися при выполнении таких заданий: они ошибочно считают, что на рисунке изображен график функции у=f(x), а не ее производной. Так, при выполнении рассмотренного задания пятая часть (20,9%) учащихся указали в ответе три точки максимума. Это ровно столько точек максимума, сколько имеет производная, график которой изображен на рисунке, а не сама функция.

В6. Найдите значение выражения

Решение. Применяя в знаменателе дроби формулу сокращенного умножения, получим . Домножая числитель и знаменатель дроби на сумму , найдем: .

Ответ: -6.

Процент правильных ответов: 26,3 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 39,7 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 6,0 выбрали 7,6 % учащихся,

ответ 35,0 выбрали 2,7 %,

ответ 5,0 выбрали 1,8 %.

Наибольший процент правильных ответов задания В6: 31,0 % получен при решении задания: найдите значение выражения

.

Процент правильных ответов заданий В6: 25,4 %.

Почти половина из числа учащихся, приступивших к выполнению этого задания, правильно проделала тождественные преобразования выражений с радикалами. Четвертая часть тех, не решил задание, сделали досадную ошибку на последнем шаге – не учли знака минус перед дробью.

В7. Функция определена на множестве всех действительных чисел и является периодической с периодом 5. Найдите значение выражения , если и .

Решение. Так как функция является периодической с периодом Т = 5, то

.

На том же основании получаем

, а .

Подставляя найденные значения, найдем:

.

Ответ: 6.

Процент правильных ответов: 29,8 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 43,5 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 8,0 выбрали 3,7 % учащихся,

ответ 0,0 выбрали 1,9 %,

ответ 1,5 выбрали 1,4 %.

Наибольший процент правильных ответов задания В7: 39,2 % получен при решении задания:

, если и

Процент правильных ответов заданий В7: 33,6 %.

В8. Найдите все x, при каждом из которых выполняется соотношение (Если таких значений х более одного, то в бланке ответов запишите наибольшее значение).

Решение. Выделяя полные квадраты в квадратных трехчленах, получим:

и =.

Поскольку , а функция является возрастающей на области определения , то для левой части неравенства получаем: . Для правой части неравенства получаем Отсюда следует, что исходное неравенство равносильно системе уравнений:

И первое, и второе уравнения системы имеют единственный корень х = 5, который является решением исходного неравенства.

Ответ: 5.

Процент правильных ответов: 15,5 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 60,8 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 3,0 выбрали 2,6 % учащихся,

ответ 2,0 выбрали 2,1 %,

ответ 0,0 выбрали 2,1 %.

Наибольший процент правильных ответов задания В8: 24,4 % получен при решении задания: найдите все x, при каждом из которых выполняется соотношение

Процент правильных ответов заданий В8: 18,5 %.

В9. Магазин выставил на продажу товар с наценкой 25 % от закупочной цены (стоимости единицы товара). После продажи 0,9 части всего товара магазин снизил назначенную цену на 40 % и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной стоимости товара составила прибыль магазина?

Решение. Пусть S – закупочная цена товара. Тогда назначенная цена, по которой магазин выставил товар на продажу. После продажи 0,9 части всего товара магазин получил сумму, равную . Оставшуюся часть товара, составляющую 0,1 часть всего товара, магазин распродал по цене, составляющей 60 % от назначенной цены . Поэтому за распродажу этой части товара магазин получил сумму, равную , что составляет . За весь товар магазин получил сумму, равную +=. Прибыль магазина от закупочной стоимости товара в процентах составила: .

Ответ: 20.

Процент правильных ответов: 11,4 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 40,9 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 15 выбрали 5,3 % учащихся,

ответ 10 выбрали 3,5 %,

ответ 35 выбрали 2,4 %,

ответ 31 выбрали 2,3 %

Наибольший процент правильных ответов задания В9: 13,9 % .

В10. Угол между образующими и конуса равен , высота конуса равна 1, а радиус основания равен . Найдите градусную меру угла между плоскостью и плоскостью основания конуса.

Решение. Обозначим через О и Н соответственно центр основания конуса и основание высоты треугольника . Радиус основания конуса , высота конуса . Из прямоугольного треугольника найдем длину образующей : =. Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен , то его высота равна . Синус угла между плоскостью и плоскостью основания конуса равен отношению катета к гипотенузе прямоугольного треугольника , то есть . Поскольку - острый, то градусная мера составляет .

Ответ: 30.

Процент правильных ответов: 14,4 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 60,8 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 60 выбрали 9,1 % учащихся,

ответ 90 выбрали 4,5 %,

ответ 45 выбрали 3,7 %.

Наибольший процент правильных ответов задания В10: 20,1 %.

В11. В параллелограмме биссектриса угла В пересекает сторону в точке Т и прямую в точке М. Найдите периметр треугольника , если ВС=12, АВ=21, ВТ=20.

Решение. Поскольку - биссектриса , то =. Так как - параллелограмм, то =. Следовательно, углы и равны и, поэтому треугольники , и являются равнобедренными.

Тогда , . Треугольники и подобны и коэффициент подобия равен . Поэтому . Периметр треугольника равен .

Ответ: 33.

Процент правильных ответов: 11,2 %.

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 58,9 %.

Приведем наиболее часто встречающиеся неправильные ответы:

ответ 26,5 выбрали 1,4 % учащихся,

ответ 36 выбрали 1,4 %,

ответ 53 выбрали 1,3 %.

Наибольший процент правильных ответов задания В11: (Вариант 195 и 200).

Процент правильных ответов заданий В11: 9,9 %.

6. Научно-методическая и учебно-педагогическая

работа Института развития регионального

образования по подготовке к ЕГЭ

С момента принятия решения об участии Свердловской области в экспе-рименте по введению ЕГЭ Институтом развития регионального образования осуществлялась целенаправленная работа по двум направлениям:

- подготовка учащихся и учителей к ЕГЭ с учетом его специфики;

- подготовка экспертов по проверке открытой части С заданий ЕГЭ.

По первому направлению Институтом было принято решение об организации группы учителей высокой квалификации – тьюторов, в которую вошел хотя бы один представитель от каждой территории области. Каждый тьютор проходил подготовку по специальной образовательной программе ИРРО. Преподавателями кафедры математики ИРРО было подготовлено более 100 тьюторов. В дальнейшем каждый из них проводил в своей территории установочные занятия для учителей, которые, в свою очередь, проводили занятия с учащимися. Сотрудниками кафедры математики в 2006г. и в 2008г. были разработаны и переданы учителям в бумажном и в электронном вариантах методические пособия для занятий с учащимися. Отметим, что в электронном варианте эти методические материалы имела каждая школа. Кроме того, на других образовательных программах ИРРО по данному направлению было дополнительно подготовлено более 300 учителей математики.

Работа по подготовке экспертов по проверке заданий части С проводится с 2004 года. Всего было обучено почти 450 педагогов; 140 экспертов участвовали в проверке заданий части С на основном экзамене в 2009 г.

Результатом всей этой работы явилось достаточно высокое качество проверки экспертами заданий открытой части ЕГЭ. По содержательному аспекту проверки было подано около 500 апелляций о несогласии с оценкой экспертов, из них 16 были удовлетворены независимой конфликтной комиссией.

Анализ состояния качества математической подготовки учащихся проводился с использованием компьютерного программного обеспечения «Комплект компьютерного программного обеспечения обработки данных ЕГЭ», разработанного сотрудниками ИРРО в рамках ВНИКа. Этот комплект позволяет не только получить статистическую информацию по области в целом, но и детально проанализировать итоги ЕГЭ по большому числу показателей. В частности, получены данные о качестве выполнения различных типов заданий учащимися конкретных классов, школ, территорий. Возможно также осуществлять анализ полученных результатов и по другим показателям.

Методические рекомендации по использованию результатов единого государственного экзамена. Математика

,

Ответственный за выпуск Жигулина М. Л.

Оригинал макет подготовил

Подписано в печать 18.11.09. Формат 60´90/8

Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 300 экз.

6