X Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
1 тур
Критерии и лучшие решения участников
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Задача №1 (5 баллов)
5 баллов – дан правильный ответ и указаны подробные пояснения
3 балла - дан правильный ответ и приведены частичные пояснения
1 балл - дан правильный ответ и нет никаких пояснений
0 баллов – задание не сделано или нет правильных вариантов
Решения
Абуов Тимур, Школа-лицей №3, Казахстан, г. Кызылорда
Ответ: 10 способов.
Обозначим участки дорог цифрами от 1 до 9 как показано на рисунке. Тогда из города Альфа в город Гамма можно попасть следующими способами:
1. Через город Бета по дорожкам: 1 и 2; 1 и 4; 3 и 2; 3 и 4 (т. е. 4 способа);
2. Через город Дельта по дорожкам: 5 и 6; 5 и 8; 7 и 6; 7 и 8; 9 и 6; 9 и 8 (т. е. 6 способов).
Таким образом, 4 + 6 = 10 (способов).
 |
1 2
3 4
5 6
7 8
9
Задача №2 (5 баллов)
5 баллов – дан правильный ответ и указаны подробные пояснения
3 балла - дан правильный ответ и указаны только действия без пояснений
1 балл - дан правильный ответ и нет никаких пояснений
0 баллов – задание не сделано или нет правильных вариантов
Решения
Аблавацкий Максим, МБОУ «Лицей № 000», г. Железногорск
Решение: если красных и синих звезд всего три, то красных может быть либо 1, либо 2. Представим, что всего 1 красная звезда, тогда синих звезд 2, проверим наше предположение.
Тогда
Следовательно, зеленых звезд 3.
 |  |  | |
 |
Проверим последнее утверждение (синих и зеленых – 5 звезд)
Следовательно, наше предположение верно: в созвездии 1 звезда красная, 2 синих звезды и 3 зеленых.
Ответ: в этом созвездии 1 красная звезда, 2 синих звезды и 3 зеленых.
Айдарбек Айя, Школа-лицей №3, Казахстан, Кызылорда
Решение:
Были вырезаны звездочки из цветоной картонной бумаги (красной, синей, зеленой). Согласно условии задачи было собрано Созвездие.
Для этого, чтобы получить 3 звезды выбрали сначало одну красную и две синих звезд, а затем к нему добавили 3 зеленых звезд. Получилось 4 звезды (1 красная, 3 зеленых). А когда посчитали количество собранных в созвездии синих и зеленых звезд, то у нас собралось 5 звезд.
Ответ:
В результате в созвездии собралось красной звезды-1, синих-2, зеленых-3 звезд.
Задача №3 (5 баллов)
5 баллов – дан правильный ответ и указаны подробные пояснения
3 балла - дан правильный ответ и указаны только действия без пояснений
1 балл - дан правильный ответ и нет никаких пояснений
0 баллов – задание не сделано или нет правильных вариантов
Решения
Дорофеев Артём, МОУ лицей №1, г. Волгоград
1) 
3 созвездия по 5 звёзд 3*5 = 5 + 5 + 5 = 15 звёзд
4 созвездия по 2 звезды 41 4*2 = 2+2+2+2 = 8 звёзд
2 созвездия - ?
41 – 15 – 8 = 18 звёзд в двух созвездиях
2) 
1 созвездие - ? 18
2 созвездие - ? на 2 звезды больше звёзд
18 – 2 = 16 звёзд
16 : 2 = 8 звёзд в 1 созвездии
8 + 2 = 10 звёзд во 2 созвездии
Ответ: 8 и 10 звёзд было в каждом из двух последних созвездий.
Задача №4 (5 баллов)
5 баллов – дан правильный ответ и указаны подробные пояснения
3 балла - дан правильный ответ и указаны только действия без пояснений
1 балл - дан правильный ответ и нет никаких пояснений
0 баллов – задание не сделано или нет правильных вариантов
Решения
Бойченко Дмитрий, Иркутская область, город Тайшет
Решение:
Поливать нужно от 1 яблони, чтобы не возвращаться к колодцу от 8 яблони, тогда путь будет наименьшим.
3 м надо пройти, чтобы полить 1,2 яблони.
3+3=6 м надо пройти, чтобы полить 1,2 яблони и вернуться к колодцу.
3+3+3=9 м надо пройти, чтобы полить 3,4 яблони.
9+9=18 м надо пройти, чтобы полить 3,4 яблони и вернуться к колодцу.
3+3+3+3+3=15 м надо пройти, чтобы полить 5,6 яблони.
15+15=30 м надо пройти, чтобы полить 5,6 яблони и вернуться к колодцу.
3+3+3+3+3+3+3=21 м надо пройти, чтобы полить 7,8 яблони.
6+18+30+21=75 м надо пройти, чтобы полить все яблони.
Ответ: 75 м наименьший путь, который преодолеет садовник, чтобы полить все яблони.
Волобоева Софья, МАОУ "Гимназия № 42", г. Кемерово
Решение:
Изобразим ряд яблонь в виде схемы:
Садовник пользуется одним ведром, поэтому за одну ходку он может полить только две яблони. В задаче не сказано, что после того как садовник польет все яблони он должен вернуться к колодцу. Поэтому минимальное расстояние он пройдет, если в последнюю очередь будет поливать седьмую и восьмую яблони, так как чтобы их полить нужно пройти самое большое расстояние, а соответственно и, возвращаясь к колодцу, он тоже его пройдет.
Посчитаем количество пройденных садовником метров в каждую ходку.
Первая ходка. Садовник поливает первую и вторую яблони и возвращается к колодцу:
3 + 3 = 6 м.
Вторая ходка. Садовник поливает третью и четвертую яблони и возвращается к колодцу:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18м.
Третья ходка. Садовник поливает пятую и шестую яблони и возвращается к колодцу:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 30м.
Четвертая ходка. Садовник поливает седьмую и восьмую яблони:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21м.
Итого:
6 + 18 + 30 + 21 = 75м.
Ответ: 75 метров.
Андрюнина Александра, МОУ Прогимназия № 48, Раменский р-он, д. Коняшино
Решение: Путь, который нужно проделать садовнику:
С учетом того, что расстояние от первой яблони до колодца - 0 метров!
(0+3 м)- полил первую и вторую яблоню
3 м - вернулся к колодцу
(6м+3м)- полил третью и четвертую яблоню
9 м - вернулся к колодцу
(12 м+ 3 м)- полил пятую и шестую яблоню
15м — вернулся обратно
(18 м + 3 м)- полил седьмую и восьмую яблоню
ИТОГО= 75 м
ОТВЕТ: 75 метров
Задача №5 (5 баллов)
5 баллов – дан правильный ответ и указаны подробные пояснения
3 балла - дан правильный ответ и указаны только действия без пояснений
1 балл - дан правильный ответ и нет никаких пояснений
0 баллов – задание не сделано или нет правильных вариантов
Решения
Бабак Данила, МАОУ "Гимназия №42", г. Кемерово
Ответ: 0 воинов.
Решение: 1) 24/2+2=14 воин. - носят красные мундиры.
2) 24-14=10 воин. - осталось одеть, после того как одели в красные
мундиры.
3) 10/2+1= 6 воин. - носят зелёные мундиры.
4) 14+6=20 воин. - одели всего воинов в красные и зелёные мундиры.
=4 воин. - осталось одеть из всего войска, после того как одели в
красные и зелёные мундиры.
6) 4/2+2=4 воин. - одели в синие мундиры.
7) 20+4= 24 воин. - одели в красные, зелёные и синие мундиры.
8) 24-24=0 воин.- одеты были в чёрные мундиры.
Аханин Глеб, МБОУ Гимназия №86, г. Уфа
Первоначально найдем, чему равна половина королевского войска:
1) 24:2=12 (воинов)
Так как, нам известно, что половина войска и еще два война были в красных мундирах:
2) 12+2=14 (воинов) в красных мундирах
Найдем, сколько осталось воинов после того, как королевское войско одели в красные мундиры:
3) 24-14=10 (воинов)
Нам известно, что половину из оставшихся воинов и еще одного воина одели в зеленые мундиры:
4) 10:2+1=6 (воинов) в зеленых мундирах
5) 10-6= 4 (воина) осталось после того, когда всех распределили
Нам известно, что половину из оставшихся и еще двух воинов одели в синие мундиры:
1) 4:2+2=4 (воина) в синих мундирах
2) =0 (воинов) в черных мундирах
Ответ: в черных мундирах воинов не было.
Гультяева Ульяна, СОШ №13, Мурманская область, н. п. Белое Море
В красные мундиры одели половину из 24 воинов и еще двух, т. е. 24: 2 + 2 = 14 воинов. Осталось не одетыми 24 – 14 = 10 воинов.
Половина из оставшихся и еще один воин – это 10 : 2 + 1 = 6 воинов – оделись в зеленые мундиры. Осталось 10 – 6 = 4 воина не одетых.
Половину из четырех и еще двух воинов, т. е. 4 : 2 + 2 = 4 воина, одели в синие мундиры. Осталось не одетых 4 - 4 = 0 воинов.
В черные мундиры одели оставшихся, т. е 0 воинов.
Решение оформим в таблице.
Одели воинов | Осталось воинов | |
24 | ||
Красные мундиры | 14 | 10 |
Зеленые мундиры | 6 | 4 |
Синие мундиры | 4 | 0 |
Черные мундиры | 0 |
Ответ: в черные мундиры было одето 0 воинов.
Задача №6 (5 баллов)
1 балл – за каждый правильно решенный ребус
1 балл – за пояснения к решению
Решения
Волобоева Софья, МАОУ "Гимназия № 42", г. Кемерово
1) Ю + Я + Я = ЯЯ
Решение:
Из правой части равенства видно, что буквами «ЯЯ» обозначено двузначное число, состоящее из одинаковых цифр, такое как 11, 22, 33, 44 …. 99.
Пусть буквой «Я» обозначается цифра 1, тогда:
Ю + 1 + 1 = 11;
Ю = 11 – 1 – 1;
Ю = 9;
Проверяем вероятность другого ответа.
Буквой «Я» обозначена цифра 2:
Ю + 2 + 2 = 22;
Ю = 22 – 2 -2;
Ю = 18;
Так как буквой «Ю» обозначается одна цифра, то полученное нами значение «18» не подходит. По той же причине не подходят варианты, где буквой «Я» обозначаются цифры 3, 4, 5, ….9:
Ответ: 9 + 1 + 1 = 11.
2) Й + Й + Й = ЭЙ.
Решение:
Из равенства следует, что сумма трех одинаковых однозначных цифр должно быть двузначным числом больше 10. Сумма трех однозначных чисел будет больше 10, если эти числа больше либо равны 4. Пусть буквой «Й» обозначена цифра 4, тогда:
4 + 4 + 4 =12;
Так как вторая цифра в числе стоящем в правой части равенства должна быть такой же, как и цифра обозначенная буквой «Й», то этот вариант не подходит.
Пусть буквой «Й» обозначена цифра 5, тогда:
5 + 5 + 5 = 15;
Это равенство соответствует условию задачи, следовательно, буквой «Э» обозначена цифра 1.
Проверяем остальные варианты (Й = 6,7,8,9):
6 + 6 + 6 = 18; 7 + 7 + 7 = 21: 8 + 8 + 8 = 24; 9 + 9 + 9 = 27.
Все эти варианты не подходят по той же причине, что и первый рассмотренный («Й» = 4).
Ответ: 5 + 5 + 5 = 15.
3) Ё + Ж + Ж = ЁЖ.
Решение:
Пусть буквой «Ё» обозначается цифра 1, тогда в правой части равенства должно находится двузначное число, первая цифра в котором 1, т. е. это число должно быть больше либо равно 10.
Это число не может быть равно 10, так как:
1 + 0 + 0 ≠ 10.
Это число не может быть равно 11, так как буквами «Ё» и «Ж» обозначены разные числа.
Путем перебора значений цифр обозначенных буквой «Ж» от 2 до 9 находим, что условию задачи удовлетворяет значение 9:
1 + 9 + 9 = 19;
Проверим другие варианты.
Пусть буквой «Ё» обозначена цифра 2, тогда:
2 + Ж + Ж = 2Ж.
Т. е. левая часть равенства должна быть большеона равна быть не может, так как 2 + 0 + 0 ≠20), т. е. числа обозначенные буквами «Ж» в сумме должны давать больше 18, это значит что число обозначенное буквой «Ж» должно быть больше 10, а это не удовлетворяет условию задачи, так как буквой «Ж» обозначается однозначное число. Следовательно, варианты при которых буквой «Ё» обозначаются однозначные числа больше 1 не правильные.
Ответ: 1 + 9 + 9 = 19.
4) ЦЦ + ЦЦ + А = ААА.
Решение:
Из правой части равенства видно, что буквами «ААА» обозначено трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр, такое как 111, 222, 333, 444 …. 999.
Пусть буквой «А» обозначена цифра 1, тогда:
ЦЦ + ЦЦ + 1 = 111;
ЦЦ + ЦЦ = 111 – 1;
ЦЦ + ЦЦ =110;
ЦЦ = 110/2 = 55. т. е. буквой «Ц» обозначена цифра 5.
Проверяем другие варианты.
Пусть буквой «А» обозначена цифра 2, тогда:
ЦЦ + ЦЦ + 2 = 222;
ЦЦ + ЦЦ = 222 – 2;
ЦЦ + ЦЦ = 220;
ЦЦ = 220/2 = 110.
Но буквами «ЦЦ» обозначается двузначное число, поэтому этот вариант не может быть правильным. По той же причине не правильными будут все остальные варианты («А» = 3, 4, 5, 6 ….9).
Ответ: 55+ 55 + 1 = 111.
Гультяева Ульяна, СОШ №13, Мурманская область, н. п. Белое Море
1) Каждая буква – это цифра. Если складывать три цифры, то самое большое что можно получить – это+ 9 + 9) , т. е. Я может быть либо 1, либо 2. Но 2 не подходит, т. к. тогда ЯЯ = 22, а Ю = 22 – 2 – 2 = 18, а это не цифра, а число. То есть Я – это цифра 1. Тогда ЯЯ – это 11, а Ю = 11 – 1 – 1 = 9.
Ответ: Ю = 9, Я = 1.
2) Й + Й + Й = 3 х Й, т. е. Й – это цифра, которая при умножении на 3 даст число, которое заканчивается на такую же цифру. А такое число только 5 ( 5 х 3 = 15). То есть Й = 5. 5 + 5 + 5 = 15, а значит Э = 1.
Ответ: Й = 5, Э = 1.
3) Каждая буква – это цифра. Если складывать три цифры, то самое большое что можно получить – это+ 9 + 9). Т. е. Ё может быть либо 1, либо 2. Пусть Ё = 1. Ж + Ж = 2 х Ж, т. е. Ж – это такая цифра, которая при умножении на 2 даст нам двухзначное число, заканчивающееся на цифру, на 1 меньше (т. к. Ё = 1), чем цифра Ж. Такой цифрой является цифра 9 ( 9 х 2 = 18). Всё сходится.
Ответ: Ё = 1, Ж = 9.
4) Если сложить два даже самых больших двухзначных числа, то мы не выйдем за число 100 с чем то (99 + 99 = 198). То есть А – это точно 1. Тогда ААА – это 111. ЦЦ + ЦЦ = 111 – 1 = 110. ЦЦ + ЦЦ = 2 х ЦЦ, тогда ЦЦ = 110 / 2 = 55, а значит Ц – это цифра 5.
Ответ: Ц = 5, А = 1.
