Задания для выполнения расчетно-графической работы (стр. 2 )

Значения параметров х1, х2, х3, х4, р1, р2, р3, р4 вычислить по следующим формулам:

R = [остаток ()]+2; х1 = V+3; х2= х1 +R; х3 = х2+R; х4 = х3+2R;

р1 = ; р2 = ; р3 = 1 - (р1 + р2 + р4); р4 =

Задача 5

Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x) =

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить графики функций F(x) и f(x). Вычислить для Х ее среднее значение М(х), дисперсию D(х), среднее квадратичное отклонение (х).

Значение К и R вычислить по следующим формулам:

К=2+V; R=2*K

Задача 6

В партии яиц средний вес яйца равен “а”. Считая, что вес яйца распределяется по нормальному закону:

1.определить:

ü  процент яиц, идущих в заготовку, если в заготовку принимают яйца весом от с до d граммов;

ü  указать интервал, содержащий практически все возможные значения веса одного яйца;

2. построить график плотности распределения;

3. построить график функции F(x) распределения.

Данные по вариантам приведены в таблице:

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9
а	58	58	58	58	60	59	59	58	57
(х).	6	6	6	6	6	5	6	4	5
с	50	55	55	50	57	55	55	54	53
d	60	65	60	65	61	60	65	59	59

Вариант	10	11	12	13	14	15	16	17	18
а	59	60	58	57	58	58	59	59	59
(х).	6	7	7	6	7	6	7	7	6
с	56	55	55	55	50	60	50	55	55
d	61	61	65	60	60	65	65	65	60

Вариант	19	20	21	22	23	24	25	26	27
а	58	60	56	57	59	58	57	59	58
(х).	7	8	5	5	6	6	5	6	4
с	50	54	54	55	50	54	54	54	55
d	60	61	59	59	60	59	59	60	59

Задача №1: В урне содержится 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают по одному 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся:

1.  три белых шара;

2.  меньше чем три белых шара;

3.  хотя бы один белый шар.

Решение.

1.Введем событие А ­­­­­­­– из пяти выбранных случайным образом шаров три шара – белые.

Событие А является сложным событием, т. е. таким, которое возможно разбить на множество неделимых (элементарных) событий. Эти события есть:

Событие А1 ­­­– первый выбранный шар ­­– белый;

событие А2 – второй выбранный шар – белый;

событие А3 – третий выбранный шар – белый;

событие А4 –четвертый выбранный шар – черный;

событие А5 –пятый выбранный шар – черный;

Надо отметить, что события А1 , А2, А3 зависимые, т. к. появление события А1 изменяет вероятность появления событий А2 и А3 (число белых шаров ограничено и по условию они не возвращаются в урну). Также эти события совместны, т. к. появление одного белого шара в первом испытании не исключает появление белого шара во втором (оно всего лишь уменьшает вероятность его появления). А событие, состоящее в совместном появлении событий, есть произведение этих событий, т. е.

А=А1 А2 А3 А4 А5

Р(А) = Р(А1 А2 А3 А4 А5).

По следствию теоремы умножения вероятностей вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Условная вероятность РА(В) – вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Значит, Р(А) = Р(А1) РА1 ( А2) РА1 А2 (А3) РА1 А2 А3(А4) РА1 А2 А3 А4 (А5).

Вероятность любого события можно рассчитать по формуле классического определения вероятности события H:

P(Аi) = ,

где m – число исходов, благоприятствующих появлению события Аi;

n – число всех возможных исходов.

Р(А) = Р(А1)Р А1 ( А2) РА1 А2 (А3) =

2. Введем событие В – в выбранных наудачу пяти шарах белых шаров меньше трех.

Событие В также является сложным, т. е. его можно разбить на элементарные события

В1 – в пяти выбранных шарах 0 белых шаров;

В2 – в пяти выбранных шарах один белый шар;

В3 – в пяти выбранных шарах два белых шара.

Эти события – В1, В2, В3 – несовместные, независимые, т. к. появление события В1 (в пяти выбранных шарах нет ни одного белого) исключает появление в выбранной пятерке двух белых шаров (событие В3) или одного шара (событие В2). Поэтому событие В есть сумма событий В1, В2 и В3 (суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них):

В = В1 + В2 + В3.

Р(В) = Р(В1 + В2 + В3).

По следствию теоремы сложения несовместных событий вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(В1 + В2 + В3) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3).

Р(В) = Р(В1 + В2 + В3) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3).

Необходимо заметить, что событие “в пяти выбранных шарах ни одного белого” равносильно событию “все пять выбранных шара – черные”, которое, в свою очередь, равно произведению пяти зависимых событий появления черного шара при извлечении шаров из урны. Следовательно, вероятность появления пяти черных шаров по следствию теоремы умножения вероятностей равна произведению вероятности событий появления черных шаров на их условные вероятности: