Р(В1) = 
Событие В2 (в пяти выбранных шарах один белый шар) также являет собой событие, состоящее в совместном появлении черных шаров, за исключением лишь того, что черных шаров по отношению к предыдущему случаю на один меньше, а белых – на один больше, т. е. появлении в выборке четырех черных и одного белого шаров. Значит, событие В2 есть произведение событий – появления четырех черных и одного белого шаров. Следовательно, по следствию теоремы умножения вероятностей событий, вероятность события В2 вычисляется следующим образом:
Р(В2) = 
=
Событие В3 (в пяти выбранных шарах два белых шара) по аналогии равно произведению совместных событий появления двух белых шаров и трех черных. Вероятность, соответственно, равна произведению событий на их условные вероятности:
Р(В3) = 
Итак, искомая вероятность Р(В) равна Р(В) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3) = =
3. Введем событие С – в выбранных случайным образом пяти шарах имеется хотя бы один белый шар.
Решим эту задачу, используя понятие полной группы. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. По теореме сложения противоположных событий сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
Введем событие 
– в выборке из пяти шаров нет ни одного белого. События С и 
– противоположные события.
Следовательно, Р(С) + Р(
) = 1. Из решения данной задачи в пункте 2 Р() = 
Р(С) = 1 - Р() = 1- =
Ответ: 1. 
2.
3.
Задача2. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами–изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве 10, 15 и 20 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,94, 0,85 и 0,8. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца рабочего срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым и третьим заводами–изготовителями.
Решение.
Введем событие А, вероятность которого необходимо найти – “смонтированный двигатель работает безотказно до конца рабочего срока”. Обозначенное событие является сложным, разбиваемым на элементарные события
А1 – выбран электродвигатель первого завода;
А2 – выбран электродвигатель второго завода;
А3 – выбран электродвигатель третьего завода.
Вероятности этих событий находятся делением числа двигателей данного завода на общее число складируемых двигателей и соответственно равны:
Р(А1) =
Р(А2) = 
Р(А3) = 
События А1, А2, А3 образуют полную группу, т. к. в результате испытания (выбор электродвигателя) появится только одно из них (или выберут двигатель первого завода, или выберут двигатель второго завода, или третьего). По теореме сложения несовместных событий сумма событий, образующих полную группу, равна единице. Проверим данное нами утверждение с помощью этой теоремы:
Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = 
. Следовательно, события А1, А2, А3 образуют полную группу. Мы можем найти вероятность того, что выбранный двигатель обладает хорошими качественными показателями, т. е. прослужит с определенной вероятностью до конца гарантийного срока. Для этого нам необходимо воспользоваться формулой полной вероятности, которая является одновременно и алгебраической иллюстрацией соответствующей теоремы: вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий 
, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А)=
Из условия задачи имеем следующие условные вероятности (вероятности того, что электродвигатели безотказно проработают до конца гарантийного срока при условии их выпуска определенным заводом–изготовителем) равны соответственно 
Находим, что вероятность того, что взятый двигатель работоспособен в течение всего гарантийного срока равна Р(А)=
Теперь, наконец, найдем вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока двигатель поставлен соответственно первым, вторым и третьим заводами по формуле Бейеса. Вероятность того, что работающий двигатель поставлен первым заводом, есть условная вероятность, что событие А1 (взят и смонтирован двигатель первого завода) произойдет при условии, что событие А (двигатель проработает безотказно в течение всего гарантийного срока) совершилось. По аналогии можем сказать и про оставшиеся два завода и поставляемые ими двигатели.
Формула Бейеса имеет общий вид 
Для первого завода имеем, что вероятность того, что выбранный безотказно работающий двигатель поставлен именно им, равна 
=
;
для второго завода имеем 
=
;
наконец, для третьего получаем 
=
Ответ: Вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно двигатель поставлен первым, вторым или третьим заводами, равны 
, 
и 
соответственно.
Задача3. В каждом из 790 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,53. Найти вероятность того, что событие А происходит:
1. точно 360 раз;
2. меньше, чем 360 и больше, чем 311 раз;
3. больше, чем 360 раз.
Решение.
1. Вероятность появления определенного события точное число раз при повторных испытаниях можно определить двумя способами: по формуле Бернулли и с помощью локальной теоремы Лапласа. Различие в методике использования заключается в том, что первый способ дает точный результат, второй применяется для приближенных вычислений. Но, несмотря на сравнительное преимущество, формула Бернулли (а точнее — ее применение) имеет один существенный недостаток — она, применима лишь для небольшого числа повторов (обычно — порядка десяти), превышение лимита рациональности ведет к трудоемким вычислениям и неизбежным ошибкам (в таблице факториалов, например, факториалы больших чисел даны приближенными). Формула, основанная на локальной теореме, дает в этом плане перевес в преимуществах. По этой причине мы воспользуемся именно ей. Но для начала сформулируем локальную теорему Лапласа: Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 
того, что событие А появится в п испытаниях k раз, приближенно равна значению функции
y=
, где
x=(k–np)/
,
q=1–p.
То есть 
.
Таким образом, искомая вероятность появления события А 360 раз в 790 повторных испытаниях с частотой появления этого события 0,53 равна 
.
x=
; 
.
2.Для определения вероятности происхождения события при повторных испытаниях не определенное число раз, а находящееся в интервале от одного числа до другого необходимо использовать интегральную теорему Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 
того, что событие А появится в п испытаниях от 
до 
раз, приближенно равна определенному интегралу
,
где x"=( - np)/
,
Используя формулу Ньютона-Лейбница для определенного интеграла, можем переписать данный интеграл с помощью функции Ф(x), значения которой есть в специально разработанных таблицах. Эта функция обладает следующими свойствами:
· она нечетна;
· для x>5 Ф(x)=0,5.
Здесь мы имеем в данных:
=311;
=360;
n=790;
p=0,53.
Рассчитаем x" и 
: x'' имеем из предыдущего пункта данной задачи равным -4,18. Найдем x':
x'=
.
Ф(x') = Ф( -7,68) = - Ф(7,68) = -0,5;
Ф(x'') = Ф(-4,18) = - Ф(4,18) = - 0,
Ф(-7,68) - Ф(-4,18) = -0,499968 + 0,5 = =0,000032.
В условии задачи сказано, что событие произошло число раз, большее 360. То есть событие А произошло 361, 362, … ,790 раз. В данном случае мы ищем вероятность Р(360<x<790) = P(361
x<790). Она рассчитывается также с помощью интегральной теоремы Лапласа. Выведем данные:
=361;
= n = 790;
p=0,53.
Найдем для них x', x''.
x' = 
-4,11;
x'' = 
26,47.
Для них имеем:
Ф(x') = Ф(-4,11) = - Ф(4,11) = -0,
Ф(x'') = Ф(26,47) = 0,5.
Ф(x'') - Ф(x') = 0,5 + 0,499968 = 0,999968 
0,99997.
Ответ: 1. 0;
2. 0,000032;
3. 0,99997.
Задача4. Случайная величина X задана рядом распределения:
X | 12 | 15 | 18 | 24 |
P |
|
|
|
|
Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее среднее значение M(x), дисперсию D(x) и моду 
.
Решение.
Для решения данной задачи необходимо определиться, что является случайной величиной. Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Различают дискретные (прерывные), непрерывные и прерывно-непрерывные случайные величины.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные. Изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Прерыно-непрерывной случайной величиной является случайная величина, совмещающая в себе признаки двух предыдущих.
По определению мы имеем в данном случае дискретную случайную величину. Ряд распределения представляет собой форму закона распределения дискретной случайной величины. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. События образуют полную группу (в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение), следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:
+ 
+ 
+ 
= 1.
Главное условие задания случайной величины выполняется. Условие — верно. Следовательно, мы можем продолжать решение этой задачи.
Функцией распределения случайной величины X называется вероятность случайной величине быть меньше заданного числа. Найдем ее, рассмотрев пять промежутков:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. x>24.
1. если 
, то
F(x) = P(X<x) = P(X<12) = 0;
2. если , то
F(x) = P(X<x) = 
;
3. если , то
F(x) = P(X<x) = + = 
;
4. если , то
F(x) = P(X<x) = + + = 
;
5. если x>24, то
F(x) = P(X<x) = + + + = + = 1.
Действительно, по свойству функции распределения, если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то:
1. F(x) = 0 при x 
a;
2. F(x) =1 при x 
b.
Мы имеем при x 12 (нижняя граница) F(x) = 0;
при x 24 (верхняя граница) F(x) = 1.
Таким образом, мы имеем следующую функцию распределения:
F(x) = 
Графиком полученной функции будет кусочно-заданная функция на пяти интервалах.
Среднее значение дискретной случайной величины X M(x) есть математическое ожидание, которое есть сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
M(x) = 
.
Используя имеющиеся данные, получаем, математическое ожидание равно M(x)=
M(X)=
Дисперсией (рассеяньем) D(x) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(x) = M(X – M(x)
, т. е.
D(x) = 
.
Модой называется наивероятнейшее значение случайной величины. То есть это значение x, которому соответствует наибольшая вероятность.
= 18 (соответствующая ей частота, равная >>>).
Ответ:
¨ F(x) =
¨ М(x) = 17,95;
¨ D(x) = 13,1975;
¨ M0 =18.
Задача5. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности
f(x)= 
Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Построить графики функций F(x) и f(x). Вычислить для X ее среднее значение M(x), дисперсию D(x), среднее квадратичное отклонение 
(x).
Решение.
По определению плотности распределения плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) –– первую производную от функции распределения F(x):
f(x) = F’(x).
Таким образом, для нахождения функции распределения необходимо проинтегрировать функцию плотности распределения:
F(x) = 
1. По свойству плотности распределения
.
. Получаем, множитель 
Таким образом, функция плотности распределения примет вид:
f(x)= 
2. Проинтегрируем функцию f(x):
2.1. если x0, то
2.2. если 0<x
, то
2.3.если x>22, то
Таким образом, мы имеем следующую функцию распределения F(x):
F(x) =
Среднее значение M(x) непрерывной случайной величины X (в данном случае мы имеем дело именно с непрерывной случайной величиной, так как плотность распределения присуща только ей и является ее характеристикой) вычисляется как определенный интеграл на отрезке интегрирования, составляющем все возможные значения случайной величины X:
M(x) = 
.
Мы имеем M(x) = 
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
D(x) =
.
Получаем, что дисперсия равна D(x) ==
=
=
=
=
.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством
(x) = 
Ответ:
· F(x) =
· M(x) = 14
;
· D(x) = 26
;
· (x) 5,19.
Задача 6. В партии яиц средний вес яйца равен 57 граммам. Считая, что вес яйца распределяется по нормальному закону,
1. определить:
а)процент яиц, идущих в заготовку, если в заготовку принимают яйца весом от 53 до 58 граммов;
б)указать интервал, содержащий практически все возможные значения веса одного яйца;
2. построить график плотности распределения;
3. построить график F(x) функции распределения.
( = 5).
Решение.
1. Процент яиц, идущих в заготовку, определяется как вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:
P(
<x<
) = Ф
– Ф
P(53<x<58) = Ф
- Ф
Ф + Ф
0,0793 + 0,2881 =0,3674, или 36,74%.
2.По правилу трех сигм, которое говорит, что при нормально распределяемой случайной величине все ее значения отклоняются от среднего по модулю не дальше чем на три сигмы, определяем, интервал, содержащий практически все возможные значения:
;
;
-15<x-57<15;
42<x<72;
x
(42; 72).
3.
Рис.. График функции распределения F(x).
Ответ:
1.36,74%
2. x(42; 72).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
