Радианное измерение дуг и углов, переход от градусов к радианам и наоборот

1. Радианное измерение дуг и углов. Переход от градусов к радианам и наоборот.

В тригонометрии для измерения углов применяется на ряду с градусной радианная мера. В ней за единицу измерения принимается острый угол, дуга которого равна радиусу окружности. Такой угол равен одному радиану. Так как полуокружность отделяет угол в 1800, а длинна его равна радиусам то радиан в раз меньше чем угол в 1800 , т. е. 1 радиан равен 1800 разделить на градусов, а один градус равен разделить на 1800радиан.

2. Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции вводятся при рассмотрении прямоугольных треугольников:

Возьмём для примера угол А.

1.  синус : sinA= ( отношение противолежащей стороны к гипотенузе.

2.  косинус: (отношение прилежащей стороны к гипотенузе).

3.  тангенс: (отношение противолежащего катета к прилежащему).

4.  котангенс: (отношение прилежащего катета к прилежащему).

5.  секанс: (отношение гипотенузы к прилежащему катету).

6.  косеканс: (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Тригонометрические функции на единичной окружности: проведём в окружности из центра угол, взяв за центр окружности точку на двумерной системе координат точку (0; 0): тогда синус угла а будет равен координате точки А по оси ординат, т. е. отношению противолежащей стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе, которая равна 1, следовательно только противолежащей стороне. Косинус же равен координате точки А по оси абсцисс. Тангенс и котангенс равны соответственно отношению ординаты на абсциссу, и отношению абсциссы на ординату.

3, Основные тригонометрические тождества.

4. Чётность, нечётность тригонометрических функций. Косинус – чётная функция, синус, тангенс, котангенс – нечётные. Доказательство: рассмотрим два любых противоположных действительных числа а, и –а. на единичной окружности они изображаются двумя точками и , симметричными относительно оси абсцисс:

эти точки будут иметь следующие координаты:

из симметричности этих точек относительно оси абсцисс следует, что их абсциссы совпадают, а ординаты противоположны. Поэтому при любых а справедливы равенства:

5. периодичность тригонометрических функций.

Рассмотрим функции на единичной окружности, при каждом обороте, например, из угла 300 на 3600 координата по оси абсцисс и по оси ординат будут снова приравниваться к и соответственно, следовательно через каждые синус и косинус будут приобретать снова предыдущие значения, следовательно синус и косинус – периодичны и их период равен 3600 или . Тангенс и котангенс также периодичны. Это доказывается через синус и косинус: возьмём две точки на окружности, с координатами координаты этих точек противоположны. Если , тогда из этого следует, что и

, значит у тангенса период равен. Так же доказывается, что и у котангенса период равен .

6.знаки тригонометрических функций.

Знак функции синус определяется по оси ординат, т. е. если у ординаты точки на единичной окружности, к которой проведена прямая, ограничивающая угол, вторая граница – прямая (0; 0) – (1; 0) знак отрицательный, то у функции синус знак то же отрицателен и наоборот, то же наблюдается и у косинуса, но тут знак определяется по оси абсцисс:

знаки косинуса: знаки синуса:

знак тангенса определяется отношением ординаты и абсциссы: если знак положителен, т. е. они либо обе отрицательны, либо обе положительны, то тангенс положителен, иначе отрицателен:

Единичную окружность в таких случаях разбивают на четверти:

Знаки по четвертям:

I

II

III

IV

Синус

+

+

-

-

Косинус

+

-

-

+

Тангенс

+

-

+

-

Котангенс

+

-

+

-

7. формулы приведения.

Для нахождения тригонометрических функций угла, большего 900 удобно использовать формулы приведения. Эти формулы позволяют заменить тригонометрические функции больших значений аргументов тригонометрическими функциями острого угла. Из того, что период функций синус, косинус равны 3600 следует, что , а период функций тангенс и котангенс равен 1800, следовательно

пользуясь теоремами сложения выведем другие формулы приведения:

так же вычисляется и для других функций, которые доказывают, что при прибавлении угла к (отнимании от) 900 и 2700 функция меняется, при прибавлении к (отнимании от) 1800, 3600 функция не меняется, для определения знака перед функцией, надо определить, в какой четверти она находится, в соответствии с четвертью ставится знак (смотри вопрос 31). Тоже наблюдается и у тангенса и котангенса, которые можно вычислить через синус и косинус соответствующих углов:

.

8. свойства и графики тригонометрических функций.

1.  область определения – вся числовая прямая.

2.  область значений – от 1 до -1 включительно.

3.  синус – нечётная функция.

4.  синус – периодическая функция, наименьший положительный период – 3600.

5. синус равен нулю, если аргумент равен .

6.  для всех

7.  для всех

8.  функция синус непрерывна.

9.  функция синус возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

10. функция синус имеет экстремумы: максимум при , минимум при .

График:

2.

1.  область определения – вся числовая прямая.

2.  область значений – от 1 до -1 включительно.

3.  функция чётная.

4.  косинус – периодическая функция, наименьший положительный период – 3600.

5.  при

6.  для всех

7.  для всех

8.  функция косинус непрерывна.

9.  функция косинус возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

10. функция косинус имеет экстремумы: максимум при , минимум при .

График:

3.

1. область определения – вся числовая прямая, кроме чисел вида .

2. область значений – вся числовая прямая.

3. функция тангенс нечётная.

4. тангенс – периодическая функция, с наименьшим общим периодом .

5. для всех .

6. для всех

7. для всех

8. функция тангенс прерывна при

9. тангенс возрастает на всей области определения.

10. экстремумов не имеет.

График:

4.

1. область определения – вся числовая прямая, кроме чисел вида .

2. область значений – вся числовая прямая.

3. функция котангенс нечётная.

4. котангенс – периодическая функция, с наименьшим общим периодом .

5. катангенс равен нулю при

6. для всех

7. для всех

8. функция котангенс прерывна при

9. котангенс убывает на всей области определения.

10. экстремумов не имеет.

График:

9.обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Поскольку функция может иметь обратную только если она определена, непрерывна и монотонна, значит для тригонометрических функций нельзя найти обратную. Но можно найти обратную для их определённых промежутков.

1.  для функции синус обратная находится на промежутке это .

1. .

2.  функция - возрастающая.

3.  функция нечётная.

4.  непериодическая функция.

5.  при .

6.  при .

7.  при .

8.  непрерывна на всей области определения.

9.  симметричен относительно начала координат.

10. экстремумов не имеет.

График:

2. для функции косинус обратная находится на промежутке , это функция .

1. .

2. функция - убывающая.

3. функция общего вида.

4. непериодическая функция.

5. при .

6. на всей области определения, кроме .

7. непрерывна на всей области определения.

8. экстремумов не имеет.

График:

3. для функции тангенс обратную берут на промежутке , это функция

1. .

2. функция - возрастающая.

3. функция нечётная.

4. непериодическая функция.

5. при .

6. при .

7. при .

8. непрерывна на всей области определения.

9. симметричен относительно начала координат.

10. экстремумов не имеет.

График:

4. для функции тангенс обратную берут на промежутке , это функция

1. .

2. функция - убывающая.

3. функция общего вида.

4. непериодическая функция.

5. .

6. на всей области определения.

7. непрерывна на всей области определения.

8. экстремумов не имеет.

График:

10. простейшие тригонометрические уравнения и их решение.

Тригонометрическими называются уравнения содержащие неизвестное под знаком тригонометрических функций. Рассмотрим решение уравнений

.

1. при и у ур-я нет корней, т. к. .

Период синуса равен , поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины . Из графика синуса ясно, что на отрезке синус возрастает и принимает каждое своё значение один раз. Следовательно на этом отрезке . На отрезке синус убывает и принимает каждое своё значение тоже один раз. Чтобы найти решение уравнения на этом отрезке, вспомним, что . Если , то .

Уравнение равносильно уравнению

таким образом множество решений уравнения состоит из двух подмножеств:

.

Эти формулы можно объединить в одну:

при и уравнение не имеет решений, так как период косинуса равен то для нахождения всех решений достаточно рассмотреть отрезок , удобно взять отрезок , так как в нём функция последовательно пробегает все свои возрастающие и убывающие значения по одному разу.

Следовательно уравнение на отрезке имеет решение , а на отрезке , т. К. функция х чётная. Значит на отрезке уравнение имеет решение , учитывая период .

период функции тангенс равен , поэтому каждое из своих значений функция принимает на промежутке

один раз. Рассмотрим промежуток по определению арктангенса на этом промежутке решением уравнения будет добавив период получим .

период функции котангенс равен , поэтому каждое из своих значений функция принимает на промежутке один раз. Рассмотрим промежуток по определению арккотангенса на этом промежутке решением уравнения будет добавив период получим .

11. формулы суммы и разности двух аргументов. Формулы двойного и половинного аргумента.

Пусть i1 и i2 единичные векторы образующие с осью углы а и с тогда между собой они будут образовывать угол из курса геометрии известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними, т. е. из того, что по формуле скалярного произведения векторов в координатах сравнивая эти формулы получим

Следствие:

Докажем, что

из того, что косинус – чётная, а синус – нечётная выводим формулу

Докажем, что

Следствие:

докажем, что

Докажем, что

(дробь после второго равно получили разделив числитель и знаменатель дроби после первого равно на ).

Следствие:

Формулу

Получают таким же образом.

Рассмотрим следующие тождества:

вычтем из первого тождества второе, и получим

(1)

Сложив почленно тождества, получим

(2)

разделим почленно равенство (1) на равенство (2):

12. преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение и наоборот.

Почленно сложив функции

и

получим

и

получим

вычтя из первой вторую получим:



Подпишитесь на рассылку:

Градус

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.