Программа вступительных испытаний по дисциплине «Математика»

ПРОГРАММА

вступительных испытаний по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

1.Нормативные документы, определяющие содержание контрольных измерительных материалов по дисциплине

Содержание контрольных измерительных материалов определяется на основании следующих документов:

1) Обязательный минимум содержания основного общего образования по предмету (Приказ Минобразования России № 000 от 01.01.2001 г.);

2) Обязательный минимум содержания среднего (полного) общего образования по предмету (Приказ Минобразования России №56 от 01.01.2001 г.);

3)Федеральный компонент государственного стандарт общего образования. Математика (Приказ Минобразования России № 000 от 5.03.2004 г.).

Кроме нормативных документов, учитываются также требования к подготовке выпускников основной и средней (полной) школы, представленные и в рекомендованных Минобразования и науки РФ документах:

- Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. /Сост. , . – М.: Дрофа, 2000, 2002.

- Примерные программы вступительных экзаменов (испытаний) в высшие учебные заведения РФ /Автор-составитель и др.- М.: Высш. шк.,2000;

- Оценка качества подготовки выпускников средней (полной) школы по математике / и др. – М.: Дрофа, 2002;

- , , Седова . Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс: Пособие. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2000.

2.Вид контрольных измерительных материалов

Контрольные измерительные материалы представлены в виде бланков.

3. Структура контрольных измерительных материалов

Контрольный измерительный материал состоит из двух частей, которые различаются по назначению, а также по содержанию, сложности, числу и форме включаемых в них заданий.

В приведенной таблице 1 представлена информация о структуре, общем числе, сложности и типах заданий в вариантах контрольных измерительных материалов.

Таблица 1.

	Часть I	Часть II
Общее число заданий - 19	13	6
Тип заданий и форма ответа	1.1 – 1.13 С кратким ответом (в виде целого числа или числа записанного в виде десятичной дроби)	2.1 –2.6 Задания с развернутым Ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий)
Уровень сложности	Базовый	Повышенный
Проверяемый учебный материал курсов математики	1. Математика 5-6 классов 2. Алгебра 7-9 классов 3. Алгебра и начала анализа 10-11 классов 4. Геометрия 7-11 классов	1.Алгебра 7-9 классов. 2.Геометрия 7-11 классов 3.Алгебра и начала анализа 10-11 классов

4.Содержание контрольных измерительных материалов

Содержание контрольных измерительных материалов определяется требованиями к аттестации выпускников школы по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов и вступительных экзаменов в вузы обуславливают необходимость включения в работу достаточно представительного числа алгебраических заданий, отвечающих материалу, изучаемому в данном курсе. Кроме того, требования вступительных экзаменов в вузы определяют необходимость включения в материалы алгебраических заданий, составленных в материале некоторых разделов курса алгебры основной школы.

5. Распределение заданий работы

Виды знаний и умений	Число заданий	Виды заданий (1/2)	Максимальный первичный балл	Относительное значение максимального балла, %	Примерный норматив времени на выполнение задания (мин)
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни	4	1.1, 1.2, 1.5,1.10	4 (16)	13,3	5(20)
Уметь решать уравнения и неравенства	1	1.3	4 (4)	8,3	5(5)
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	3	1.4,1.6,1.9	4 (12)	16,0	3 (15)
Уметь выполнять вычисления и преобразования	1	1.7	4 (4)	3,3	5(5)
Уметь выполнять действия с функциями	2	1.8, 1.11	4 (8)	6,7	5(10)
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели	2	1.12, 1.13	4 (8)	11,2	5(10)
Уметь решать уравнения и неравенства	1	2.1	8	8,3	20
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	1	2.2	8	5,3	25
Уметь решать уравнения и неравенства	1	2.3	8	8,3	25
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	1	2.4	8	5,3	25
Уметь решать уравнения и неравенства	1	2.5	8	8,3	25
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели	1	2.6	8	5,6	25
Итого:	19		100	100	210

В соответствии со структурой и содержанием контрольных измерительных материалов Часть I включает 13 алгебраических заданий (1.1 – А.13) составленных на материале курса «Алгебра и начала анализа 10 – 11 классов». Эти задания обеспечивают достаточную полноту проверки овладения материалом данного курса на базовом уровне. При их выполнении от абитуриента требуется применить свои знания в знакомой ситуации.

Часть II включает 6 заданий повышенного (по сравнению с базовым) уровня (2.1 –2.6), при решении которых от абитуриента требуется применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Содержание этих заданий отвечает как минимуму содержания средней (полной) школы, так и содержанию, предлагаемому на вступительных экзаменах в вузы.

Результаты выполнения заданий Часть I позволяют судить о достижении абитуриента уровня образовательной подготовки по курсу алгебры и начал анализаклассов, наличие которой принято оценивать положительной отметкой «3». Результаты выполнения заданий Часть II позволяют осуществить более тонкую дифференциацию абитуриента по уровню математической подготовки и на этой основе выставить более высокие аттестационные отметки «4» и «5».

Верное выполнение заданий базового уровня (1.1 – 1.13) оценивается 4 балла. Выполнение заданий повышенного уровня (2.1 – В.6) в зависимости от полноты и правильности ответа оценивается от 0 - 8 баллов:

- 0 баллов – если дан неверный ответ;

- 4 балл – если ответ частично правильный, но не сделан ответ.

- 8 балла – если правильный ответ.

ОБРАЗЕЦ

выполнения задания

Часть 1

1.1. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 120625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 120802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

Решение.
Расход электроэнергии за ноябрь составляет 12 802 − 12 625 = 177 киловатт-часов. Значит, за электроэнергию за ноябрь нужно заплатить 1,8  177 = 318,6 рубля.

Ответ: 318,6.

1.2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.
Из графика видно, что 15 июля наибольшая температура составляла 21 °C, а наименьшая 8 °C. Их разность составляет 13 °C.

Ответ: 13.

1.3. Найдите корень уравнения:

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 0.

1.4. В треугольнике угол равен 90°, угол равен , . Найдите .

 

Решение.

.

Ответ: 6.

1.5.  Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка стекла (руб. за одно стекло)	Дополнительные условия
A	300	17
Б	320	13
В	340	8	При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно.

Решение.

Общая площадь стекла, которого нужно изготовить равна 20  0,25 = 5 м2. Стоимость заказа в фирме А складывается из стоимости стекла 300  5 = 1500 руб. и стоимости его резки и шлифовки 17  20 = 340 руб. Всего 1840 руб.

Стоимость заказа в фирме Б складывается из стоимости стекла 320  5 = 1600 руб. и стоимости его резки и шлифовки 13  20 = 260 руб. Всего 1860 руб.

Стоимость заказа в фирме В складывается из стоимости стекла 340  5 = 1700 руб. и стоимости его резки и шлифовки 8  20 = 160 руб. Всего 1860 руб.

Стоимость самого дешевого заказа составляет 1840 рублей.

Ответ: 1840.

1.6. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (7;9).

Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому

см2.

Ответ: 12.

1.7. Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

= .

Ответ: 2.

1.8. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

.

Ответ: 0,5

1. 9. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение.
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: . Тогда объем шара

.

Ответ: 4,5.

1.10. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле , где м/с – скорость звука в воде, – частота испускаемых импульсов (в МГц), – частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала , если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства м/с при известных значениях м/с – скорости звука в воде и МГц – частоты испускаемых импульсов:

МГц.

Ответ: 751.

1.12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

.

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 0.

1.13. Расстояние между городами и равно 150 км. Из города в город выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе и повернул обратно. Когда он вернулся в , автомобиль прибыл в . Найдите расстояние от до . Ответ дайте в километрах.

Решение.
Обозначим км – расстояние от до , км/ч – скорость автомобиля. Тогда по условию задачи

и .

Решим полученную систему:

Ответ: 90.

Часть 2

2.1. Решите систему уравнений

Решение.

Решение.

Из второго уравнения получаем:

или .

Если , то из первого уравнения . Уравнение не имеет решений. Если то , и из первого уравнения получаем: .

Ответ: .

2.2. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

Решение.

Пусть, DN — высота грани BCD, O — центр треугольника BCD, MK — средняя линия треугольника ADO. Тогда , , значит, и, следовательно,  — искомый.

Кроме того, , откуда .
Далее имеем:

;

.

Ответ: .

2.3. Решите неравенство .

Решение.

Разделим обе части неравенства на :

.

Решение будем искать при условиях

При этих условиях получаем неравенство .

Получаем:

.

Ответ: .

2.4. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что . Найдите BC если .

Решение.

Пусть E — точка пересечения биссектрис, BM=x, MN=y NC=z. Так как , то точка M лежит между точками B и N возможны 2 случая.

1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, следовательно, , откуда, .

2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда , откуда .

Ответ: 16 или 48.

2.5. При каких значениях параметров а и b система имеет бесконечно много решений?

Решение.

На координатной плоскости хОу множество точек , удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. В общем случае две прямые, заданные уравнениями и совпадают, если, и (при они имеют одну точку пересечения, при и точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

,

где и .

Решая систему, получаем , .

Ответ: , .

2.6.  Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Решение.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11.

Запишем все цифры подряд: . В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, становится равной 11.

Меняя местами, например, 4 и 7, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.

Примечание: в задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством.

Ответ: найдутся.