Актуарная математика

		Тестовые задачи.
1		Известно, что . Для заданной силы процента d максимальное значение дисперсии случайной величины текущих выплат для бессрочного страхования жизни с незамедлительной выплатой страховой суммы достигается при значении равном A. B. C. D. E. [6]
2		Если =0.55, то при i=0.6 величина равна A. 0.206 B. 0.925 C. 0.0077 D. 1.467 E. 2.347 [5]
3		При =14.2, =0.046, =0.35 расчетная норма доходности i равна A. 0.0656 B. 0.0556 C. 0.00456 D. 0.0356 E. 0.0256 [5]
4		Величины =1.542, =1.671, =0.357 . Значение n равно A. 7 B.8 C 9 D. 10 E. 11 [3]
5		Согласно А67\70 для [78] вероятность смерти наиболее велика в возрасте A. 79 B.80 C 81 D. 82 E. 83 [1]
6		В страховой компании практически неизменно работает 40 % сотрудников моложе 35 лет. Сотрудники оформляются на работу либо в 20 лет, либо в 35, либо в 50 лет. В возрасте 20 лет приходят работать 198 человек, при этом 62% в возрасте 35 лет увольняются. По достижении 50 лет 25% сотрудников переходят на другую работу. В возрасте 50 лет приходят работать 50 человек. В 65 лет все сотрудники уходят на пенсию. Согласно ELT 12 – males:
	(1)	Сколько сотрудников работает в компании? A. 6965 B.7065 C 7165 D. 7265 E. 7365 [2]
	(2)	Сколько сотрудников компании, находящихся в возрастном интервале от 35 до 50 лет, пришло работать в 20 лет? A. 1089 B.1189 C 1289 D. 1389 E. 1489 [2]
	(3)	Сколько сотрудников приходит работать в возрасте 35 лет? A. 59 B.69 C 79 D. 89 E. 99 [5]
7		При выполнении условий: а. гипотезы равномерного распределения смертей б. какие из перечисленных ниже трех утверждений верны? 1. 2. 3. =0.5 A. Только 1 и 2 B. Только 1 и 3 C. Только 2 и 3 D. 1, 2 и 3 E. Все 3 утверждения неверны [4]
8		Значение равно A. 1/15 B. 1/20 C 1/25 D. 1/30 E. 1/35 [2]
9		Известно, что Здесь w-предельный возраст. Значение v равно A. 0.957 B. 0.9585 C 0.96 D. 0.9615 E. 0.963 [2]
10		Если , i=0.05, то при условии справедливости гипотезы равномерного распределения смертей
	(1)	Величина равна A. 14.658 B. 14.758 C 14.858 D. 14.958 E. 15.058 [1]
	(2)	Значение равно A. 0.295 B. 0.285 C 0.275 D. 0.265 E. 0.255 [1]
11		[60] заключает договор, согласно которому по достижении возраста 65 лет он будет получать пенсию в начале каждого года. Размер первой годовой пенсии составляет 150000 руб., далее величина пенсии увеличивается на 20000 руб. ежегодно. Начальные издержки по договору составляют 40% от единовременной премии. Текущие издержки на начало каждого года действия полиса составляют 1200 руб. плюс 3% от каждой годовой пенсии в момент выплаты. Согласно A67/70 4% единовременная премия по данному договору составляет A. 4077440 руб. B. 4177440 руб. C 4277440 руб. D. 4377440 руб. E. 4477440 руб. [5]
12		По договору, заключенному с женщиной возраста 55 лет в случае ее смерти на возрастном интервале от 60 до 70 лет предполагается возврат в конце года смерти без начисления процентов всех уплаченных ранее годовых авансовых взносов. Последние уплачиваются в течение 15 лет и каждые пять лет увеличиваются на 50%, так что в 65 лет размер взноса вдвое больше начального уровня. В случае дожития до 70 лет гарантирован аннуитет на срок 5 лет, в случае дожития до 75 лет выплачивается пожизненный аннуитет. Гарантированный аннуитет выплачивается в начале каждого месяца и составляет 25000 руб. в месяц. Пожизненный аннуитет выплачивается так же в начале месяца и составляет 6000 руб. в месяц. Смертность после 75 лет учитывается на основе а(55) 4% окончательная, в других случаях расчеты соответствуют A67/70 4% отборочная.
	(1)	Ожидаемая современная стоимость гарантированного аннуитета равна A. 568443 руб. B. 568543 руб. C 568643 руб. D. 568743 руб. E. 568843 руб. [2]
	(2)	Ожидаемая современная стоимость пожизненного аннуитета равна A. 160428руб. B. 160228 руб. C 160028 руб. D. 150828 руб. E. 150628 руб. [2]
	(3)	Величина годового взноса составляет A. 65976 руб. B. 64976 руб. C 63976 руб. D. 62976 руб. E. 61976 руб. [2]
	(4)	Ожидаемая современная стоимость выплат по смерти превосходит величину годового взноса на A. 93% B. 88% C 85% D.80% E. 75% [6]
13		Известно, =6.04, i=0.12. Нетто-премия равна A. 0.05542 B. 0.05642 C. 0.05742 D. 0.05842 E. 0.05942 [2]
14		Страхователь возраста 55 лет купил полис смешанного страхования на срок 10 лет со страховой суммой 500000 руб., в начале каждого года объявляется сложный бонус в размере 1.9231% в год. Взносы выплачиваются в начале каждого года в течение 5 лет. Выплаты по смерти производятся в конце полисного года. Начальные издержки составляют 20% от начальной страховой суммы, текущие издержки равны 3% от годового взноса, расходы по закрытию полиса равны 5% от выплачиваемой суммы.
	(1)	В соответствии с A67/70 6% отборочная величина годового взноса составляет A. 101328 руб. B. 102328 руб. C 103328 руб. D. 104328руб. E. 105328 руб. [5]
	(2)	В соответствии с A67/70 4% окончательная величина резерва перед внесением последнего взноса равна A. 510565 руб. B. 509565 руб. C 508565 руб. D. 507565 руб. E. 506565 руб. [3]
15		Для стандартного договора смешанного страхования, заключенного со страхователем возраста 45 лет на срок 20 лет, взносы годовые авансовые, вычисляется резерв непосредственно перед уплатой шестого взноса. Расчет премий производится на основе A67/70 6% селективная, резерв вычисляется на основе A67/70 4% окончательная, издержки не учитываются. Значение резерва, вычисленного по ретроспективной формуле, изменится по сравнению с проспективным резервом следующим образом A. Увеличится на 43% B. Уменьшится на 43% C. Не изменится D. Увеличится на 23% E. Уменьшится на 23% [4]
16		Страхователь возраста 60 лет заключил договор сроком на 5 лет согласно которому СК выплачивает 50000 руб. в конце года смерти если таковая случается в период действия договора, в случае дожития до 65 лет страхователь получает 360000 руб. Премии выплачиваются в начале каждого года, перед выплатой последнего взноса страхователь попросил уменьшить размер данного взноса вдвое, при этом указав, что СК не будет иметь обязательства выплаты по случаю смерти на последнем году. СК вычисляет премии на основе A67/70 6% селективная, резервы – согласно A67/70 4% окончательная, издержки не учитываются. Выплата по дожитию в таком случае будет составлять A. 307344 руб. B. 317344 руб. C 327344 руб. D. 337344 руб. E. 347344 руб. [5]
17		В портфеле СК имеется 50 одинаковых договоров на срок 20 лет, заключенных со страхователями в возрасте 40 лет. По такому договору выплата по смерти составляет 50000 руб. и производится в конце года, величина выплаты по дожитию до возраста 60 лет равна 50% от суммы уплаченных годовых авансовых взносов. Премии вычисляются по A67/70 6% селективная, резервы - согласно A67/70 4% окончательная. Ожидаемое напряжение смертности для 19 –го года действия полиса равно A. 307344 руб. B. 317344 руб. C 327344 руб. D. 337344 руб. E. 347344 руб. [5]
18		Для договора страхования дожития на срок 5 лет, заключенного со страхователем мужского пола возраста 65 лет, со страховой суммой 500000 руб. авансовые годовые премии вычисляются по таблице a(55) 6% окончательная, резервы согласно А67\70 4% окончательная, а денежные потоки исходя из параметров смертности a(55) при норме доходности i=4.13%.
	(1)	Координата профиля прибыли, соответствующая четвертому году действия полиса, равна A. 213.5 руб. B. 153.5 руб. C 91.5 руб. D. 3.5 руб. E. -38.5 руб. [5]
	(2)	Современная стоимость будущей прибыли при рисковой ставке дисконта r=10% равна A. 53.66 руб. B. 23.66 руб. C -13.66 руб. D. -43.66 руб. E. -73.66 руб. [2]

Экзаменационное упражнение

Функция , где .

(1). Выразить каждую из величин как функцию k.

(2). Доказать, что , , , , .

[13]